準同型

群 $(G,\cdot)$、$(H,*)$ の間の写像 $f:G\to H$ が群準同型であるとは、$f(gg')=f(g)*f(g')$ がすべての $g,g'\in G$ に成り立つことである。この式から $f(e_G)=e_H$ と $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$ が従う。例えば指数関数 $\exp:(\mathbb R,+)\to(\mathbb R_{>0},\times)$ は $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ により準同型である。

単位元を持つ環 $R,S$ の間では、$f(a+b)=f(a)+f(b)$、$f(ab)=f(a)f(b)$、$f(1_R)=1_S$ を満たす写像を環準同型とする。加法の群構造から $f(0_R)=0_S$ と $f(-a)=-f(a)$ は自動的に従う。一方 $1$ の保存は、加法と乗法の保存だけからは一般に従わないので条件に明記する。例えば $n\ge2$ に対する $\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z$ の剰余類写像は環準同型である。

同じ環 $R$ 上の加群 $M,N$ の間で $f(m+m')=f(m)+f(m')$ と $f(rm)=rf(m)$ を満たす写像を $R$ 加群準同型という。$R$ が体なら、これは線形写像である。例えば行列 $A\in K^{m\times n}$ が与える $f:K^n\to K^m$、$v\mapsto Av$ は、行列積の分配律から $f(v+w)=f(v)+f(w)$ と $f(av)=af(v)$ を満たす。

写像 $q:(\mathbb Z,+)\to(\mathbb Z,+)$、$q(n)=n^2$ は準同型ではない。$q(1+1)=4$ だが $q(1)+q(1)=2$ だからである。同じ式 $x\mapsto x^2$ でも、零以上の実数を乗法について見れば $(xy)^2=x^2y^2$ なので乗法の準同型になる。式の形ではなく、定義域と終域の演算を指定してから判定する。

可換環 $R$ と $c\in R$ に対し、$R[t]\to R$、$p(t)\mapsto p(c)$ は環準同型である。$(p+q)(c)=p(c)+q(c)$、$(pq)(c)=p(c)q(c)$、$1(c)=1$ を満たすからである。像は $R$ 全体で、核は $c$ を根とする多項式のイデアル $(t-c)$ になる。剰余環 $R[t]/(t-c)$ が $R$ と同型になるのは、上の像と商の定理の具体例である。

二つの群 $G,H$ の直積から第一成分への射影 $\pi_G:G\times H\to G$、$(g,h)\mapsto g$ は群準同型である。直積の演算は成分ごとだから、$\pi_G((g,h)(g',h'))=gg'=\pi_G(g,h)\pi_G(g',h')$ である。核は $\{e_G\}\times H$、像は $G$ 全体であり、$(G\times H)/(\{e_G\}\times H)\cong G$ を得る。同じ射影は環や加群の直積でも準同型になる。

加法群または加群の間の零写像 $z(x)=0$ は準同型である。和やスカラー倍の結果を零へ送っても、零ベクトルどうしの演算結果と一致する。一方、$1\ne0$ の単位的環 $R,S$ の間の零写像 $R\to S$ は $1_R$ を $0_S$ へ送るので、ここでの規約では環準同型ではない。どの定数を保つべきかを忘れると、この例で判定を誤る。

$(\mathbb Z,\times)$ は $1$ を単位元とするモノイドである。$f(n)=0$ と定めると $f(mn)=0=f(m)f(n)$ で積を保つが、$f(1)=0\ne1$ である。ex-homomorphism-groupの証明では $f(e_G)=f(e_G)*f(e_G)$ の両辺に $f(e_G)^{-1}$ を掛けて消去したが、$(\mathbb Z,\times)$ では $0$ に逆元がないので消去できない。破る仮定は「逆元の存在」、崩れる結論は「積を保てば単位元を保つ」である。そのためモノイドの準同型では単位元の保存を条件に明記する。

直積環 $\mathbb Z\times\mathbb Z$（成分ごとの演算、単位元 $(1,1)$）への写像 $f(n)=(n,0)$ は、$f(m+n)=(m+n,0)=f(m)+f(n)$、$f(mn)=(mn,0)=(m,0)(n,0)=f(m)f(n)$ を満たす。しかし $f(1)=(1,0)\ne(1,1)$ である。乗法についての群ではないので、群の場合の消去は使えない（$(1,0)$ は $\mathbb Z\times\mathbb Z$ で可逆でない）。ex-homomorphism-ringで $1$ の保存を条件に明記した理由がこれである。

$f:(\mathbb Z_{\ge0},+)\to(\{0,1\},\times)$ を $f(0)=1$、$n\ge1$ で $f(n)=0$ と定める。$a=b=0$ なら $f(0)=1=f(0)f(0)$、$a,b$ の一方が正なら $a+b\ge1$ なので $f(a+b)=0=f(a)f(b)$ であり、単位元 $0\mapsto1$ も保つのでモノイドの準同型である。単位元の逆像 $f^{-1}(1)=\{0\}$ は一点だが、$f(1)=f(2)=0$ で単射でない。群では $f(a)=f(a')\iff a^{-1}a'\in\ker f$ なので核が自明なら単射だが、この書き換えは逆元を使う。定義「準同型の核合同関係」が単位元の逆像ではなく元の組で核を定めるのは、このような場合も扱うためである。

$\mathbb R_{\mathrm{d}}$ を離散位相を入れた加法群 $\mathbb R$、$\mathbb R$ を通常の位相の加法群とする。恒等写像 $\operatorname{id}:\mathbb R_{\mathrm{d}}\to\mathbb R$ は加法を保ち、離散空間からの写像なので連続であり、位相群の準同型である。全単射だが、逆写像 $\mathbb R\to\mathbb R_{\mathrm{d}}$ は一点集合 $\{0\}$（$\mathbb R_{\mathrm{d}}$ の開集合）の逆像 $\{0\}$ が $\mathbb R$ で開でないので連続でない。命題「全単射な準同型の逆」は構造が演算だけから成ることを使っており、連続性のような演算でない条件を加えると成り立たない。