Artinの消滅定理
概要
Artinの消滅定理（Artin vanishing theorem）とは、分離閉体 $k$ 上有限型のアフィンスキーム $X$ の上の捩れ層 $F$ について、エタールコホモロジー $H^q(X,F)$ が $q>\dim X$ で消えるという定理である。アフィンとは限らない場合の上界 $2\dim X$（標数と異なる素数の冪で消える層の場合）を半分にし、複素数体上の滑らかなアフィン多様体が次元以下の CW 複体とホモトピー同値であるという Andreotti–Frankel の定理の類似にあたる。一般の体 $K$ の上では $\operatorname{cd}(X)\le\dim X+\operatorname{cd}(K)$ となる。超平面切断についての Lefschetz の定理のエタール版や偏屈層の理論で使われる。
前提知識: エタールコホモロジー, コホモロジー次元, アフィンスキーム, Lerayスペクトル系列
Artin の消滅定理（Artin vanishing theorem）は、分離閉体の上で有限型のアフィンスキームのエタールコホモロジーが、次元を超える次数で消えることを述べる定理である。$k$ を分離閉体、$X$ を $k$ 上有限型のアフィンスキームとし、$n=\dim X$ とすると、$X$ のエタール位相の上の捩れ層 $F$ について $H^q(X,F)=0$（$q>n$）が成り立つ。M. Artin が SGA 4 で証明した（SGA4 XIV 系 3.2）。
アフィンとは限らない有限型の $k$ スキームでは、標数と異なる素数 $\ell$ の冪で消える層のコホモロジーは次数 $2n$ まで残りうる（コホモロジー次元 の定理「エタールコホモロジー次元の上界」）。たとえば射影直線では $H^2(\mathbb P^1_k,\mu_\ell)\cong\mathbb Z/\ell$ である。アフィンであるという仮定は、上界を $2n$ から $n$ へ半分にする。これは、複素数体上の $n$ 次元の滑らかなアフィン多様体が $n$ 次元以下の CW 複体とホモトピー同値であるという Andreotti–Frankel の定理（Lefschetzの超平面定理）の類似である。ただしエタール版は任意の分離閉体の上で、標数 $p>0$ の $p$ 冪で消える層も含めて成り立つ。
この定理は、射影多様体の超平面切断の補集合がアフィンであることを通して Lefschetzの超平面定理 のエタール版を導く。偏屈層 の理論でも基本的な道具として使われる。
設定と主張
スキームのコホモロジーはすべてエタール位相でとる。$X$ の小エタール景の上のアーベル群の層 $F$ が捩れ層であるとは、各エタール射 $U\to X$ について $F(U)$ のすべての元の位数が有限であることをいう。
準コンパクトかつ準分離なスキーム $X$ について、すべての捩れ層 $F$ と $q>c$ で $H^q(X,F)=0$ となる最小の $c\in\{0,1,2,\dots\}\cup\{\infty\}$ を $X$ のコホモロジー次元といい、$\operatorname{cd}(X)$ と書く。
コホモロジー次元 の $\operatorname{cd}_\ell(X)$ は、$\ell$ 冪で消える層に限って同じ量を考えたものであり、$\operatorname{cd}_\ell(X)\le\operatorname{cd}(X)$ である。体 $K$ については $\operatorname{cd}(K):=\operatorname{cd}(\operatorname{Spec}K)$ とおく。$\operatorname{Spec}K$ の上のエタール層は $K$ の絶対 Galois 群の連続加群と同じものなので、$\operatorname{cd}(K)$ は絶対 Galois 群のコホモロジー次元である。とくに分離閉体 $k$ では $\operatorname{cd}(k)=0$ である。
$k$ を分離閉体、$X$ を $k$ 上有限型のアフィンスキームとする。このとき $X$ の上のすべての捩れ層 $F$ について
$$
H^q(X,F)=0\qquad(q>\dim X)
$$
が成り立つ。すなわち $\operatorname{cd}(X)\le\dim X$ である。
この記事では、thm-artin-vanishing を一般の次元では証明しない。Artin の原証明は SGA4 XIV（定理 3.1、p. 159、系 3.2、p. 160）にある。そこでは、アフィン射 $f\colon X\to Y$ と捩れ層 $F$ について、高次順像 $R^qf_*F$ の台の次元を評価する相対版（定理 3.1）を示し、$Y=\operatorname{Spec}k$ として系を得ている。下では、次元 $0$ の場合を証明し、次元 $1$ の場合を引用し、一般の場合の証明の流れを述べる。そのあと帰結を証明する。
thm-artin-vanishing は次の一般形の、$\operatorname{cd}(k)=0$ の場合である。
$K$ を体、$X$ を $K$ 上有限型のアフィンスキームとする。このとき $\operatorname{cd}(X)\le\dim X+\operatorname{cd}(K)$ である。
Stacks Proposition 59.95.6（Tag 0F0V、pp. 4962–4963）である。この記事では証明しない。証明の流れは rem-artin-vanishing-outline に述べる。
次元が低い場合
$k$ を分離閉体、$X$ を $k$ 上有限型で $\dim X=0$ のスキームとする。このとき $X$ の上のすべてのアーベル群の層 $F$ について $H^q(X,F)=0$（$q>0$）である。
$X$ は $k$ 上有限型で次元 $0$ なので、有限個の点からなる離散空間であり、$X=\coprod_{i=1}^r\operatorname{Spec}A_i$ と書ける。ここで $A_i$ は $k$ 上有限次元の局所環であり、Artin 局所環である。エタールコホモロジーは非交和を直和に移すので、各 $\operatorname{Spec}A_i$ で示せばよい。
$A=A_i$ の極大イデアルを $\mathfrak m$、剰余体を $\kappa$ とする。$\kappa$ は $k$ の有限次拡大である。$k$ は分離閉なので $\kappa/k$ の分離閉包は $k$ 自身であり、$\kappa/k$ は純非分離拡大である。さらに $\kappa$ は分離閉である。実際、$k$ の代数閉包 $\bar k$ は $k$ 上純非分離なので $\kappa$ 上でも純非分離であり、$\bar k$ の元で $\kappa$ 上分離的なものは $\kappa$ に属する。
Artin 局所環は $\mathfrak m$ が冪零なので完備局所環であり、Hensel 局所環である。剰余体が分離閉なので、$A$ は 狭義Hensel局所環 である。狭義 Hensel 局所環のスペクトルの上では、大域切断の関手が閉点での茎をとる関手に一致してエタール層について完全になる（狭義Hensel局所環 の定理「エタール位相の茎としての狭義Hensel化」、コホモロジー次元 の例「狭義Hensel局所環とその分数体」）。よって $q>0$ で $H^q(\operatorname{Spec}A,F)=0$ である。$\square$
次元 $1$ の場合は、曲線の関数体のコホモロジー次元が $1$ 以下であるという Tsenの定理 を使って示される。
$k$ を分離閉体、$X$ を $k$ 上有限型で $\dim X\le1$ のアフィンスキームとする。このとき $X$ の上のすべての捩れ層 $F$ について $H^q(X,F)=0$（$q\ge2$）である。
Stacks Proposition 59.95.6 の証明の流れ
次元 $d$ についての帰納法による。$X$ が次元 $d$ のとき、Noetherの正規化定理 により有限射 $\pi\colon X\to\mathbb A^d_K$ がある。有限射の高次順像は捩れ層について消えるので（Stacks Proposition 59.55.2）、Lerayスペクトル系列 により $\mathbb A^d_K$ の上の層 $\pi_*F$ について示せばよい。次に開埋め込み $j\colon\mathbb A^d_K\to\mathbb P^1_K\times\mathbb A^{d-1}_K$ と射影 $g\colon\mathbb P^1_K\times\mathbb A^{d-1}_K\to\mathbb A^{d-1}_K$ をとり、相対的な Leray スペクトル系列 $R^pg_*R^qj_*F\Rightarrow R^{p+q}(g\circ j)_*F$ を調べる。$g$ は相対次元 $1$ の固有射なので、固有基底変換定理 から $p>2$ で $R^pg_*=0$ となる。$q>0$ の $R^qj_*F$ は無限遠の因子に台をもち、その台の点の剰余体の超越次数は $d-q$ 以下である（帰納法の仮定による）。超越次数が $a$ 以下の点に台をもつ層のコホモロジーは次数 $a+\operatorname{cd}(K)$ を超えると消える（これも帰納法の仮定から出る）。以上を $\mathbb A^{d-1}_K$ の上の Leray スペクトル系列に入れると、次数 $d+\operatorname{cd}(K)$ を超える項が消える。
帰結
$k$ を分離閉体、$X$ を $k$ 上有限型で分離的なスキーム、$n=\dim X$ とし、$X$ が $m$ 個のアフィン開集合で覆われるとする（$m\ge1$）。このとき $X$ の上のすべての捩れ層 $F$ について $H^q(X,F)=0$（$q>n+m-1$）である。
$m$ についての帰納法で示す。$m=1$ は thm-artin-vanishing である。$m\ge2$ とし、$X=U_1\cup\dots\cup U_m$（$U_i$ はアフィン開集合）、$V:=U_2\cup\dots\cup U_m$ とおく。$X$ は分離的なので、アフィン開集合の共通部分 $U_1\cap U_i$ はアフィンである。よって $U_1\cap V=\bigcup_{i=2}^m(U_1\cap U_i)$ と $V$ はともに $m-1$ 個のアフィン開集合で覆われる。どちらも $X$ の開部分スキームなので、分離的・有限型で、次元は $n$ 以下である。
エタールコホモロジーの Mayer–Vietoris 完全列（Stacks Lemma 59.50.1、Tag 0A50、p. 4837）
$$
H^{q-1}(U_1\cap V,F)\to H^q(X,F)\to H^q(U_1,F)\oplus H^q(V,F)
$$
を $q>n+m-1$ で考える。$q>n$ なので $H^q(U_1,F)=0$ である。$q>n+(m-1)-1$ なので帰納法の仮定から $H^q(V,F)=0$ である。$q-1>n+(m-1)-1$ なので $H^{q-1}(U_1\cap V,F)=0$ である。よって $H^q(X,F)=0$ である。$\square$
射影空間 $\mathbb P^n_k$ は $n+1$ 個の標準的なアフィン開集合 $\{x_i\ne0\}$ で覆われるので、cor-artin-vanishing-cover から $\operatorname{cd}(\mathbb P^n_k)\le2n$ が出る。$\ell$ を $k$ の標数と異なる素数とすると $H^{2n}(\mathbb P^n_k,\mu_\ell^{\otimes n})\cong\mathbb Z/\ell$ なので（コホモロジー次元 の例「反例：アフィンでないと次元で抑えられない」）、この上界は等号になる。
次の系は、コンパクト台コホモロジーが低い次数で消えることを述べる。超平面切断の定理のエタール版（Lefschetzの超平面定理）はこの形で使う。
$k$ を代数閉体、$\ell$ を $k$ の標数と異なる素数、$\Lambda:=\mathbb Z/\ell^\nu$ とする。$U$ を $k$ 上滑らかで純 $n$ 次元のアフィンスキーム、$G$ を $U$ の上の局所定数構成可能な $\Lambda$ 加群の層とする。このとき $H^i_c(U,G)=0$（$i< n$）である。
$G^\vee:=\mathcal{H}om_\Lambda(G,\Lambda)$ とおき、$G^\vee(n):=G^\vee\otimes_\Lambda\mu_{\ell^\nu}^{\otimes n}$ とする。Poincaré 双対性（SGA4 XVIII (3.2.6.2)。$U$ は $k$ 上分離的・有限型なので、固有なスキームへの開埋め込みをもつ）により、有限 $\Lambda$ 加群の同型
$$
H^{2n-i}(U,G^\vee(n))\cong\operatorname{Hom}_\Lambda\bigl(H^i_c(U,G),\Lambda\bigr)
$$
がある。$G^\vee(n)$ は $\ell^\nu$ で消えるので捩れ層であり、$U$ はアフィンで $\dim U=n$ だから、thm-artin-vanishing により $2n-i>n$、すなわち $i< n$ で左辺は $0$ である。$\Lambda=\mathbb Z/\ell^\nu$ は自分自身への入射的な加群なので、有限 $\Lambda$ 加群 $M$ について $\operatorname{Hom}_\Lambda(M,\Lambda)=0$ なら $M=0$ である（$M$ の $0$ でない元 $x$ について、巡回部分加群 $\Lambda x$ から $\Lambda$ への $0$ でない写像が $M$ 全体に延びる）。よって $H^i_c(U,G)=0$ である。$\square$
例
$k$ を分離閉体、$\ell$ を標数と異なる素数とし、$X=\mathbb G_{m,k}=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ とする。Kummer完全列 から単射 $\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times/\ell\hookrightarrow H^1(X,\mu_\ell)$ があり、$\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times=k^\times t^{\mathbb Z}$ で $k^\times$ は $\ell$ 可除なので、左辺は $\mathbb Z/\ell$ である。よって $H^1(X,\mu_\ell)\ne0$ で、$\dim X=1$ の上界は等号になる（コホモロジー次元 の例「乗法群と射影直線」）。$n$ 次元のトーラス $\mathbb G_{m,k}^n$ では、Künnethの公式 のエタール版により $H^n(\mathbb G_{m,k}^n,\mu_\ell^{\otimes n})\ne0$ であり（Stacks Section 59.97。この記事では証明しない）、どの次元でも thm-artin-vanishing の上界は改良できない。
$k$ の標数が $p>0$ のとき、thm-artin-vanishing は $p$ 冪で消える層にも当てはまる。この場合はもっと強く、標数 $p$ のアフィンスキーム（有限型でなくてもよい）について $H^q(X,\mathbb Z/p)=0$（$q\ge2$）である（コホモロジー次元 の命題「アフィンスキームの $p$ 次元」。Artin–Schreier 列による）。一方、同じ Artin–Schreier 列から $H^1(\mathbb A^1_k,\mathbb Z/p)\cong k[t]/\wp(k[t])$（$\wp(f)=f^p-f$）であり、これは無限群である（$p$ と互いに素な $m$ についての $t^m$ の類は 1 次独立である。エタール基本群 の例「標数 $p$ のArtin–Schreier被覆」）。捩れ層のコホモロジーは高い次数で消えても、有限になるとは限らない。
仮定を外したときの反例
$\ell$ は標数と異なる素数とする。各行は thm-artin-vanishing の仮定を 1 つだけ外している。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $X$ がアフィン | $X=\mathbb P^1_k$（$k$ は分離閉体）、$F=\mu_\ell$ | $H^2(X,F)=0$（$\dim X=1$） |
| $k$ が分離閉 | $k=\mathbb R$、$X=\operatorname{Spec}\mathbb R$、$F=\mu_2$ | $H^2(X,F)=0$（$\dim X=0$） |
| $X$ が $k$ 上有限型 | $k$ は代数閉体、$X=\operatorname{Spec}k(t)$、$F=\mu_\ell$ | $H^1(X,F)=0$（$\dim X=0$） |
詳細
1 行目：$\mathbb P^1_k$ は射影的で次元 $1$ である。Kummer完全列 の長完全列から $\operatorname{Pic}(\mathbb P^1_k)/\ell\hookrightarrow H^2(\mathbb P^1_k,\mu_\ell)$ であり、$\operatorname{Pic}(\mathbb P^1_k)\cong\mathbb Z$ なので $H^2\ne0$ である。$\mathbb P^1_k$ はアフィンでない（大域切断が $k$ だけで、アフィンなら $\mathbb P^1_k\cong\operatorname{Spec}k$ となってしまう）。
2 行目：$\operatorname{Spec}\mathbb R$ は $\mathbb R$ 上有限型のアフィンスキームで次元 $0$ である。エタールコホモロジーは $G=\operatorname{Gal}(\mathbb C/\mathbb R)\cong\mathbb Z/2$ の群コホモロジーであり、$\mu_2=\{\pm1\}$ には $G$ が自明に作用する。巡回群 $\mathbb Z/2$ の自明な加群 $\mathbb Z/2$ 係数のコホモロジーは周期 $2$ の分解から $H^2(\mathbb Z/2,\mathbb Z/2)\cong\mathbb Z/2$ である（コホモロジー次元 の例「反例：実数体では有限にならない」）。
3 行目：$X=\operatorname{Spec}k(t)$ はアフィンで次元 $0$ だが、$k(t)$ は $k$ 上有限生成な $k$ 代数ではない（有限生成なら Hilbertの零点定理 の弱形により $k$ の有限次拡大になる）。Kummer完全列 と Hilbertの定理90 から $H^1(X,\mu_\ell)\cong k(t)^\times/(k(t)^\times)^\ell$ であり、$t$ は $k(t)$ の中で $\ell$ 乗ではない（$t=g^\ell$ なら $t$ の零点での位数が $\ell$ の倍数になる）。よって $H^1(X,\mu_\ell)\ne0$ である。Tsenの定理 の系「Brauer 群とコホモロジー次元」により $\operatorname{cd}_\ell(k(t))\le1$ なので、$\operatorname{cd}_\ell(X)=1$ である。次元 $0$ のアフィンスキームでも、有限型でなければ、コホモロジー次元は環の超越次数の分だけ大きくなりうる。
複素数体上の位相との関係
$X$ を $\mathbb C$ 上有限型のスキーム、$X(\mathbb C)$ をその複素数点に古典位相を入れた空間とする。構成可能な捩れ層について、エタールコホモロジーと $X(\mathbb C)$ の層コホモロジーは一致する（比較定理、SGA4 XVI 定理 4.1）。したがって $X$ が $n$ 次元のアフィン多様体なら、thm-artin-vanishing から $H^q(X(\mathbb C);\mathbb Z/m)=0$（$q>n$、$m\ge1$）が出る。
$X$ が滑らかなら、Andreotti–Frankel の定理により $X(\mathbb C)$ は $n$ 次元以下の CW 複体とホモトピー同値であり（Lefschetzの超平面定理 の定理「Andreotti–Frankel の定理」）、整数係数を含むどんな係数でも $n$ を超える次数のコホモロジーは消える。位相の側の証明は、原点からの距離の 2 乗の関数の Morse 指数が $n$ 以下であることによる。エタールの側は、この Morse 理論の議論が使えない正標数の体の上でも同じ上界を与える。
SGA4 XIV 系 3.3（p. 160）は、thm-artin-vanishing の帰結として、分離閉体 $k$ の上の $n$ 次元の射影スキーム $X\subset\mathbb P^N_k$ と超平面切断 $Y=X\cap H$ について、局所コホモロジーの写像 $H^q_Y(X,F)\to H^q(X,F)$ が $q>n+1$ で全単射、$q=n+1$ で全射であることを述べる。補集合 $X\setminus Y$ がアフィンであることを使う。これを制限写像の形に直したものが Lefschetzの超平面定理 のエタール版である。
関連項目
- 前提: エタールコホモロジー, コホモロジー次元, アフィンスキーム, 狭義Hensel局所環
- 道具: Lerayスペクトル系列, Noetherの正規化定理, 固有基底変換定理, Tsenの定理, Kummer完全列
- 比較: Poincaré双対性, コンパクト台コホモロジー, Morse理論
- 応用: Lefschetzの超平面定理, 偏屈層, ℓ進層
参考文献
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