二項演算

前提知識: 集合, 写像, 直積

二項演算とは

二項演算（binary operation）とは、集合 $S$ の二つの元を入力として、同じ集合 $S$ の元を一つ定める写像
$$ *:S\times S\longrightarrow S,\qquad (a,b)\longmapsto a*b $$
のことである。「二項」は入力が二つであることを指す。写像として定義するので、どの順序対 $(a,b)$ にも値がただ一つ定まる。出力が $S$ に入るという閉性も定義に含まれている（Gou12 Chapter 3）。集合と演算を組にした $(S,*)$ は、結合律などをまだ仮定しない段階ではマグマ（magma）とも呼ばれる。
整数の加法と乗法は、それぞれ $\mathbb Z\times\mathbb Z\to\mathbb Z$ という二項演算である。集合の和集合は、固定した集合 $X$ の冪集合 $\mathcal P(X)$ 上の二項演算である。これに対し自然数上の引き算は、$2-5$ が自然数にならないという規約なら $\mathbb N$ 上の二項演算ではない。同じ引き算も $\mathbb Z$ 上では二項演算になる。演算の名前だけではなく、どの集合上で考えるかが定義の一部である。

演算記号は $*$ に限らない。$a+b$、$ab$、$a\vee b$、$a\circ b$ などは、選んだ演算を見やすく書くための記法である。一つの集合に二つ以上の演算を入れることもできる。例えば環には加法と乗法、束には結びと交わりがある。数式の形が似ていても、演算が異なれば満たす法則も変わる。
二項演算は「二元に対して何らかの答えを返す規則」と説明されることもあるが、この言い方だけでは答えが一意か、すべての組に答えがあるか、答えがどの集合に入るかが曖昧である。写像 $S\times S\to S$ と書けば三点が一度に確定する。例えば $a*b$ を「$a$ と $b$ の共通の正の約数を一つ選ぶ」とすると、選び方を決めない限り一意の値を返さない。逆に $a*b=\gcd(a,b)$ と明示すれば、正の整数上の二項演算になる。

閉性と定義域

「$S$ が演算で閉じている」とは、$S$ の任意の二元に施した結果が再び $S$ に属することをいう。初めから $*:S\times S\to S$ と書いた場合、閉性は別の公理ではない。大きな集合 $T$ 上に演算があり、その一部 $S\subseteq T$ に制限したい場合には、閉性の検査が必要になる。

例えば正の整数全体は加法と乗法について閉じているが、引き算について閉じていない。整数全体は加法と乗法について閉じ、正の整数全体も同様に閉じる。一方、正の偶数全体は加法について閉じるが、奇数全体は加法について閉じない。閉性は式の一般的な印象からではなく、選んだ集合とすべての元の組について判断する。
二つの集合 $A,B$ から第三の集合 $C$ への写像 $A\times B\to C$ も「二つの入力を持つ演算」と広く呼ばれることがある。ただし厳密な意味で$S$ 上の二項演算というときは、二つの入力集合と出力集合がともに $S$ である。例えばベクトル空間 $V$ のスカラー倍 $K\times V\to V$ は二変数の写像だが、通常は $V$ 上の二項演算とは呼ばない。この区別はベクトル空間の公理を書く際に役立つ。
有理数上の割り算も注意が必要である。$a/b$ は $b=0$ では値を持たないので、$\mathbb Q\times\mathbb Q\to\mathbb Q$ という写像ではない。分母を零でない有理数に制限した $\mathbb Q\times\mathbb Q^\times\to\mathbb Q$ なら写像になるが、二つの入力集合が違うので、厳密な意味の $\mathbb Q$ 上の二項演算ではない。$\mathbb Q^\times$ 上の割り算なら、零でない有理数どうしの商は再び零でないため二項演算である。同じ記号でも、定義域を変えると分類が変わる。
二項演算は、二つの入力を同時に扱う写像だが、一つの入力を固定すれば一変数の写像が得られる。$a\in S$ に対して左平行移動 $L_a:S\to S$ を $L_a(b)=a*b$、右平行移動 $R_a:S\to S$ を $R_a(b)=b*a$ と定める。結合律は、これらの写像の合成に関する等式としても表せる。例えば演算が結合的なら $L_{a*b}=L_a\circ L_b$ である。この見方は、群の左作用や正則表現につながる。

結合律・可換律・単位元

二項演算という定義だけからは、計算規則は何も従わない。よく使う追加条件を明示しておく。

整数の加法は結合的かつ可換で、$0$ が単位元である。整数の乗法も結合的かつ可換で、$1$ が単位元である。行列の乗法は正方行列の集合上で結合的で、単位行列を単位元に持つが、一般には可換ではない。引き算は整数上で二項演算だが、結合的でも可換でもない。例えば $(5-3)-1=1$ に対し $5-(3-1)=3$ である。

左単位元と右単位元をそれぞれ別に定義することもできる。ある元 $l$ がすべての $a$ に対して $l*a=a$ を満たし、別の元 $r$ がすべての $a$ に対して $a*r=a$ を満たすなら、$l*r=r$ と $l*r=l$ から $l=r$ である。ただし左単位元だけがある演算で、それが自動的に右単位元にもなるとはいえない。
結合的な二項演算を持つ集合は半群、さらに単位元を持てばモノイドという。全ての元が単位元に対する逆元を持てば群になる。これは条件を順に加える見取り図であり、二項演算から結合律や逆元が自動で生まれるわけではない。
もう一つよく使う条件が冪等律であり、すべての $a\in S$ について $a*a=a$ を要求する。集合の和集合と共通部分はどちらも冪等である。整数の加法は、一般に $a+a=a$ ではないので冪等でない。結合律、可換律、冪等律を混同しないことが大切である。例えば集合の和集合は三つとも満たすが、整数の加法は最初の二つだけを満たす。
吸収元も単位元と異なる。$z\in S$ が $z*a=z=a*z$ をすべての $a$ について満たすとき、$z$ を両側の吸収元という。整数の乗法では $0$ が吸収元で $1$ が単位元である。集合の和集合では $\emptyset$ が単位元、全体集合 $X$ が吸収元である。共通部分では役割が逆になる。単位元は相手を変えず、吸収元は結果を自分に固定する、という働きの違いがある。

有限集合では演算表で指定できる

有限集合 $S$ 上の二項演算は、行と列をそれぞれ $S$ の元で索引した表によって完全に指定できる。行 $a$、列 $b$ の欄に $a*b$ を置く。表の各欄は $S$ の元であり、一つの欄には一つの値を入れる。$|S|=n$ なら欄は $n^2$ 個あり、各欄で $n$ 通りの値を選べるから、ラベルを固定した $S$ 上の二項演算は $n^{n^2}$ 個ある。$n=0$ の場合も $S\times S=\emptyset$ から空集合への写像がただ一つ存在する。

表の対角線を挟んで値が対称なら可換である。結合律は各三元 $a,b,c$ について表を二回引いて $(a*b)*c$ と $a*(b*c)$ が等しいかを調べる。表が対称なだけでは結合律は保証されない。

同じ集合上でも、異なる表を選べば別の演算になる。例えば $\{0,1\}$ 上の排他的論理和と論理積は、どちらも結合的かつ可換な二項演算だが、単位元も値も異なる。代数的構造を比較するときは、台集合だけでなく演算そのものを指定する。
表を使うと左右の違いも見える。例えば任意の $a,b\in S$ に対して $a*b=a$ と定める左零演算では、表の各行はその行の元で埋まる。この演算は結合的である。実際 $(a*b)*c=a*c=a$、$a*(b*c)=a*b=a$ となる。元が二個以上なら一般に可換ではなく、両側の単位元もない。$a*b=b$ と定める右零演算も結合的だが、左零演算とは異なる。結合的という一条件だけから群に近い振る舞いを期待できない例である。

有限集合の表を「行や列を並べ替えれば同じ」とみなす問題は、先ほどの $n^{n^2}$ という数え上げとは異なる。そこでは集合の各元にラベルを固定し、写像として異なる演算をすべて数えた。ラベルの付け替えで同型なものを一つにまとめれば個数は減るが、減り方は各演算が持つ対称性に依存する。まず何を同じ演算と見なすかを定めてから数える必要がある。

商集合と演算の両立

元を同値類にまとめるとき、元の演算をそのまま商集合へ移せるとは限らない。$S$ 上の同値関係 $\sim$ に対し、$[a]*[b]=[a*b]$ と定めたいなら、代表元を取り替えても結果の同値類が変わらない必要がある。

この両立条件を満たす同値関係を合同関係という。整数を $n$ で割った剰余類の加法と乗法が定義できるのは、合同関係が両演算と両立するためである。商集合を作ったというだけで演算が自動的に降りるわけではない。剰余類や準同型の記事では、具体的な両立条件とその証明を扱う。
条件が失敗する簡単な例を挙げる。整数上で $a\sim b$ を「$a$ と $b$ が同じ符号か、両方零である」と定める。これは負、零、正の三つの同値類を作る。$1\sim2$ だが $1+(-1)=0$ と $2+(-1)=1$ は異なる類に入る。従って「正の類」と「負の類」の和を $[a]+[b]=[a+b]$ で定めても、代表元によって零の類になったり正の類になったりする。この商には整数の加法はそのまま降りない。
対照的に、法 $n$ の合同 $a\equiv a'\pmod n$、$b\equiv b'\pmod n$ なら $(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')$ は $n$ の倍数である。掛け算についても $ab-a'b'=(a-a')b+a'(b-b')$ が $n$ の倍数となる。よって二つの演算はともに商 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ へ降りる。商で加法や乗法を使える理由は、これらの式が代表元の選択によらないことを示すからである。

関数の合成と型

集合 $X$ から自身への写像全体 $\operatorname{End}(X)$ では、合成 $(f,g)\mapsto f\circ g$ が二項演算になる。二つの自己写像を合成しても自己写像になるからである。合成は結合的で、恒等写像が単位元である。一方、任意の二つの写像を合成できるわけではない。$f:A\to B$ と $g:C\to D$ の合成 $g\circ f$ には $B=C$ など型が合う条件が必要である。したがって「すべての写像の集合上の合成」という言い方は、定義域を決めない限り二項演算を指定しない。

圏では異なる対象の間の射を合成する。合成できる射の組だけに値が定義されるので、一般の圏の合成は一つの集合上の二項演算とは異なる。対象を一つに固定したときの自己射全体では、上の自己写像の場合と同様に合成が二項演算となる。
二項演算の情報を別の集合へ運ぶには、準同型を使う。二つの演算付き集合 $(S,*)$、$(T,\diamond)$ の間の写像 $f:S\to T$ が $f(a*b)=f(a)\diamond f(b)$ を満たせば、演算を保つ。例えば整数から法 $n$ の剰余類への写像は加法も乗法も保つ。一方、整数から非負整数への絶対値写像は乗法を保つが、加法は一般に保たない。$|-1+1|=0$ と $|-1|+|1|=2$ が異なるためである。どの演算について準同型と呼ぶかを指定する必要がある。

反例：条件を外すと何が崩れるか

この記事の命題の仮定を一つずつ外すと、次のように結論が崩れる。

関連項目

• 前提: 集合, 写像, 直積
• 性質: 代数構造, 可換律, 単位元
• 代数的構造: 半群, モノイド, 群, 環, 束
• 応用: 準同型, 剰余類, 圏