Hirzebruch曲面

線織曲面 の定理「線織曲面の交点形式と標準因子」の 1〜3 に $g=0$、$e=m$ を代入する。1 の前半は $\operatorname{Pic}\mathbb{F}_m=\mathbb{Z}[C_0]\oplus\pi^*\operatorname{Pic}\mathbb{P}^1$ で、$\operatorname{Pic}\mathbb{P}^1\cong\mathbb{Z}$ は 1 点の類で生成され、その引き戻しはファイバーなので $\pi^*\operatorname{Pic}\mathbb{P}^1=\mathbb{Z}f$ である。$K^2=8(1-g)=8$ である。$\square$

$D_+(u_0)=\operatorname{Spec}k[t]$ の上で $\mathcal{O}(-m)$ は $u_0^{-m}$ を基底とする自由加群で、$D_+(u_1)$ の上では $u_1^{-m}$ を基底とする。共通部分では $u_0^{-m}=t^mu_1^{-m}$ である。$\mathcal{E}_m$ の基底を $D_+(u_0)$ の上で $(e_1,e_2)=(1,u_0^{-m})$、$D_+(u_1)$ の上で $(e_1,e'_2)=(1,u_1^{-m})$ とすると、$\mathbb{P}(\mathcal{E}_m)$ は $D_+(u_0)$ の上で $\operatorname{Proj}k[t][e_1,e_2]$、$D_+(u_1)$ の上で $\operatorname{Proj}k[s][e_1,e'_2]$ であり、斉次座標 $y_0:=e_1$、$y_1:=e_2$（と $y'_0:=e_1$、$y'_1:=e'_2$）をもつ。$e_2=t^me'_2$ なので $y_1=t^my'_1$、すなわち $[y'_0:y'_1]=[y_0:t^{-m}y_1]=[t^my_0:y_1]$ である。商 $\mathcal{E}_m\to\mathcal{O}(-m)$ は $e_1$ を $0$ に送るので、対応する切断は $y_0=0$ で与えられる。$\square$

既約曲線 $Y\subset\mathbb{F}_m$ の自己交点数の下限を $\mu(\mathbb{F}_m)$ とおく。同型写像は既約曲線を既約曲線に移し、交点数を保つので、$\mu$ は同型で変わらない。
$m>0$ なら、線織曲面 の命題「負の曲線と極小性」の 1（$e=m>0$）により、自己交点数が負の既約曲線は $C_0$ だけで $C_0^2=-m$ であり、ほかの既約曲線の自己交点数は $0$ 以上である。よって $\mu(\mathbb{F}_m)=-m$ である。$m=0$ なら、同命題の 1 の不等式 $Y^2\ge ea^2$ により、$C_0$ とファイバー以外の既約曲線の自己交点数は $0$ 以上で、$C_0^2=0$、$f^2=0$ なので $\mu(\mathbb{F}_0)=0$ である。いずれの場合も $\mu(\mathbb{F}_m)=-m$ なので、$\mathbb{F}_m\cong\mathbb{F}_{m'}$ なら $m=m'$ である。逆は明らかである。$\square$

$\Phi\colon X_g\to X_{g'}$ を、$t$ の写しの上で $(t,y)\mapsto(t,H(t)^{-1}y)$、$s$ の写しの上で $(s,y')\mapsto(s,K(s)y')$ と定める。$X_g$ で $(t,y)\sim(1/t,g(t)y)$ のとき、像は $(t,H(t)^{-1}y)$ と $(1/t,K(1/t)g(t)y)$ であり、$X_{g'}$ では
$$ (t,H(t)^{-1}y)\sim\bigl(1/t,\ g'(t)H(t)^{-1}y\bigr)=\bigl(1/t,\ K(1/t)g(t)y\bigr) $$
なので、$\Phi$ は矛盾なく定まる。各写しの上で $\Phi$ は滑らかで、$(t,y)\mapsto(t,H(t)y)$、$(s,y')\mapsto(s,K(s)^{-1}y')$ が滑らかな逆写像を与える。底の座標は動かさない。$\square$

$u(t):=\begin{pmatrix}t^{-1}&0\\0&t\end{pmatrix}$ とおくと
$$ g_m(t)u(t)=\begin{pmatrix}t^{m-1}&0\\0&t\end{pmatrix}=t\,g_{m-2}(t) $$
なので $X_{g_mu}=X_{g_{m-2}}=\mathbb{F}_{m-2}$ である。$X_{g_mu}$ と $X_{g_m}=\mathbb{F}_m$ が lem-hz-glue の条件をみたすことを示す。
滑らかな $A$ の構成． 滑らかな写像 $A\colon\mathbb{C}^\times\to SL_2(\mathbb{C})$ で、$|t|\le1/2$ では $A(t)=u(t)$、$|t|\ge2$ では $A(t)=I$ となるものをとる。これは、$t=re^{i\theta}$ と書くと $u(t)=\operatorname{diag}(r^{-1},r)\operatorname{diag}(e^{-i\theta},e^{i\theta})$ で、後ろの因子が $SU(2)$ のループであり、$SU(2)$ が単連結（ユニタリ群 の定理「$\mathrm{SU}(n)$ の単連結性と $\mathrm{U}(n)$ の基本群」）なので定数ループに縮められることによる。

$\pi\colon\mathbb{F}_m\to\mathbb{C}P^1$ はファイバー $\mathbb{C}P^1$ のファイバー束なので、ホモトピー群の長完全列
$$ \cdots\to\pi_{k+1}(\mathbb{C}P^1)\xrightarrow{\partial}\pi_k(\mathbb{C}P^1)\xrightarrow{i_*}\pi_k(\mathbb{F}_m)\xrightarrow{\pi_*}\pi_k(\mathbb{C}P^1)\xrightarrow{\partial}\pi_{k-1}(\mathbb{C}P^1)\to\cdots $$
がある（HatAT Theorem 4.41、p. 376 と Proposition 4.48、p. 379）。$\pi\circ\sigma=\mathrm{id}$ なので $\pi_*\sigma_*=\mathrm{id}$ で、$\pi_*$ はすべての $k$ で全射である。完全性から、すべての $\partial$ は $0$ であり、$i_*$ はすべての $k$ で単射である。$k=1$ では $\pi_1(\mathbb{C}P^1)=0$ から $\pi_1(\mathbb{F}_m)=0$ である。$k\ge2$ では群はアーベル群（ホモトピー群 の命題「$n\geq2$のときホモトピー群はアーベル群である」）で、短完全列 $0\to\pi_k(\mathbb{C}P^1)\xrightarrow{i_*}\pi_k(\mathbb{F}_m)\xrightarrow{\pi_*}\pi_k(\mathbb{C}P^1)\to0$ は $\sigma_*$ で分裂する。よって $(\alpha,\beta)\mapsto i_*\alpha+\sigma_*\beta$ は同型である。$\square$

Chern類 の注意「射影束の規約と符号」のとおり、この記事の規約の $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ は、ファイバーの直線の空間としての射影束の規約で $\mathbb{P}(\mathcal{E}^\vee)$ に当たる。$\mathcal{E}_m^\vee=\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(m)$ なので、$\mathbb{F}_m$ は複素ベクトル束 $E:=\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(m)$ の直線の射影束である。Chern類 の定理「射影束のコホモロジー」により、$H^*(\mathbb{F}_m;\mathbb{Z})$ は $\pi^*$ によって $H^*(\mathbb{C}P^1;\mathbb{Z})$ 上の自由加群で、ある $\xi\in H^2$ について $1,\xi$ が基底である。$H^*(\mathbb{C}P^1;\mathbb{Z})$ は $1,h$ を基底とするので、$H^2=\mathbb{Z}a\oplus\mathbb{Z}\xi$、$H^4=\mathbb{Z}a\xi$ である。$a^2=\pi^*(h^2)=0$ である。同記事の定義「射影束公式によるChern類」により $\xi^2+\pi^*c_1(E)\,\xi+\pi^*c_2(E)=0$ であり、同記事の例「射影空間上の直線束の直和」から $c_1(E)=mh$、$c_2(E)=0$ なので $\xi^2=-m\,a\xi$ である。
$\mathbb{F}_m$ は向き付けられた閉 $4$ 次元多様体なので、Poincaré双対性 の命題「整係数のカップ積の対」により $x\mapsto\langle x,[\mathbb{F}_m]\rangle$ は $H^4(\mathbb{F}_m;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}$ への同型であり、生成元 $a\xi$ の値 $\varepsilon$ は $\pm1$ である。行列はこれらから従う。$\square$

$x=\alpha a+\beta\xi$ について $Q(x,x)=\varepsilon(2\alpha\beta-m\beta^2)\equiv m\beta^2\pmod2$ である。
1：$m=2l$ のとき、基底 $(a,\ \xi+la)$ で $Q(a,a)=0$、$Q(a,\xi+la)=\varepsilon$、$Q(\xi+la,\xi+la)=\varepsilon(-2l+2l)=0$ なので行列は $\varepsilon\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ で、基底の片方の符号を変えれば $H$ になる。$Q(x,x)\equiv0$ である。
2：$m=2l+1$ のとき、$e_1:=\xi+(l+1)a$、$e_2:=\xi+la$ は $e_1-e_2=a$ なので $H^2$ の基底で、$Q(e_1,e_1)=\varepsilon$、$Q(e_2,e_2)=-\varepsilon$、$Q(e_1,e_2)=\varepsilon(-(2l+1)+l+(l+1))=0$ である。$Q(e_1,e_1)=\pm1$ は奇数である。
3：ホモトピー同値 $\phi\colon\mathbb{F}_{m'}\to\mathbb{F}_m$ はカップ積を保つ環同型 $\phi^*$ を誘導し、$H^4\cong\mathbb{Z}$ の生成元を生成元の $\pm1$ 倍に送るので、$Q_{\mathbb{F}_{m'}}(\phi^*x,\phi^*y)=\pm Q_{\mathbb{F}_m}(x,y)$ である。したがって「すべての $x$ で $Q(x,x)$ が偶数」という性質は保たれ、1・2 により $m\equiv m'\pmod2$ である。逆は thm-hz-diffeo による。$\square$