調和形式

スター作用素．$e^1:=dx$、$e^2:=f\,dy$ は正の向きの正規直交余枠なので、Hodgeのスター作用素 の定理「スター作用素の存在と一意性」の公式から $*e^1=e^2$、$*e^2=-e^1$、$*1=e^1\wedge e^2$ である。すなわち
$$ *dx=f\,dy,\qquad *dy=-\frac{dx}{f},\qquad \mathrm{vol}=f\,dx\wedge dy . $$
1 次形式 $\omega=a\,dx+b\,dy$ について $*\omega=af\,dy-\frac bf\,dx$ なので
$$ d\omega=(\partial_xb-\partial_ya)\,dx\wedge dy,\qquad d{*\omega}=\Bigl(\partial_x(af)+\partial_y\frac bf\Bigr)dx\wedge dy $$
である。$2$ 次元では $d^*=-*d*$ で、$*$ は同型なので、$d^*\omega=0$ は $d{*\omega}=0$ と同値である。
$\mathcal H^1$．$\omega=dx/f$（$a=1/f$、$b=0$）では、$a$ が $x$ だけの関数なので $d\omega=0$、$af=1$ なので $d{*\omega}=0$ である。$\omega=dy$（$a=0$、$b=1$）では $d\omega=0$、$d{*\omega}=\partial_y(1/f)\,dx\wedge dy=0$ である。閉かつ余閉な形式は調和形式なので、$dx/f$ と $dy$ は調和形式であり、各点で一次独立である。Hodgeの定理 の主定理と Betti数 の例「基本的な空間の Betti 数」により $\dim\mathcal H^1=b_1(T^2)=2$ なので、この 2 つが基底である。
$\mathcal H^0$ と $\mathcal H^2$．$T^2$ は連結でコンパクトなので、調和関数 $u$ は $du=0$ を満たし（Laplace–de Rham作用素 の定理「閉多様体上の調和形式の特徴づけ」）定数である。$*$ は $\mathcal H^0$ を $\mathcal H^2$ の上へ写すので、$\mathcal H^2=\mathbb R\,{*1}=\mathbb R\,f\,dx\wedge dy$ である。
代表．$h(x):=\int_0^x\bigl(1-c/f(s)\bigr)\,ds$ は、$c$ の選び方から $h(2\pi)=2\pi-c\int_0^{2\pi}ds/f(s)=0$ なので周期 $2\pi$ の滑らかな関数であり、$dx-\frac cf\,dx=dh$ である。よって $dx$ と $\frac cf\,dx$ は同じ類に属し、後者が調和形式である。$dy$ は調和形式なので自身が代表である。$\square$

1．正則座標で $g=\lambda(dx^2+dy^2)$ とすると、$e^1:=\sqrt\lambda\,dx$、$e^2:=\sqrt\lambda\,dy$ は正の向きの正規直交余枠である。スター作用素の公式から $*e^1=e^2$、$*e^2=-e^1$ で、$*$ は各点で線形なので $\sqrt\lambda$ で割って $*dx=dy$、$*dy=-dx$ を得る。右辺は $\lambda$ によらない。
2．正則座標で $\omega=a\,dx+b\,dy$（$a,b$ は実数値）と書く。1 から $*\omega=a\,dy-b\,dx$ なので
$$ d\omega=(\partial_xb-\partial_ya)\,dx\wedge dy,\qquad d{*\omega}=(\partial_xa+\partial_yb)\,dx\wedge dy $$
である。$2$ 次元では $d^*=-*d*$ なので、$d^*\omega=0$ は $d{*\omega}=0$ と同値である。一方
$$ \omega+i{*\omega}=(a-ib)\,dx+(b+ia)\,dy=(a-ib)(dx+i\,dy)=h\,dz,\qquad h:=a-ib $$
である。$h=u+iv$（$u=a$、$v=-b$）が正則であるための Cauchy–Riemann 方程式 $\partial_xu=\partial_yv$、$\partial_yu=-\partial_xv$ は $\partial_xa=-\partial_yb$、$\partial_ya=\partial_xb$ であり、これはちょうど $d{*\omega}=0$ と $d\omega=0$ である。正則 1 形式であることは各正則座標で確かめればよいので、2 が従う。
3．正則座標で $\theta=h\,dz$、$h=u+iv$ と書くと $\operatorname{Re}\theta=u\,dx-v\,dy$ である。$a:=u$、$b:=-v$ とおくと $h=a-ib$ は正則なので、2 の計算により $\omega=\operatorname{Re}\theta$ は閉かつ余閉で、$\omega+i{*\omega}=h\,dz=\theta$ である。$\square$

$X$ はコンパクトなので、調和 1 形式は閉かつ余閉な 1 次形式と同じである（Laplace–de Rham作用素 の定理「閉多様体上の調和形式の特徴づけ」）。thm-harmform-riemann-surface の 2 により写像は $\Omega_{\mathrm{hol}}(X)$ に値をとり、$*$ が実線形なので実線形である。$\operatorname{Re}(\omega+i{*\omega})=\omega$ なので単射で、同定理の 3 により全射である。値域 $\Omega_{\mathrm{hol}}(X)$ は計量によらないので、逆写像の像 $\mathcal H^1(X)=\operatorname{Re}\Omega_{\mathrm{hol}}(X)$ も計量によらない。$\Omega_{\mathrm{hol}}(X)$ は複素ベクトル空間なので $\dim_{\mathbb R}=2\dim_{\mathbb C}$ であり、Hodgeの定理 により $\dim_{\mathbb R}\mathcal H^1(X)=b_1(X)$ だから、$\dim_{\mathbb C}\Omega_{\mathrm{hol}}(X)=b_1(X)/2$ である。$\Sigma_g$ については Betti数 の例「基本的な空間の Betti 数」により $b_1=2g$ である。$\square$

1．外微分は引き戻しと可換である（$\varphi^*d=d\varphi^*$）。各点 $x$ で $d\varphi_x\colon T_xM\to T_{\varphi(x)}M$ は内積を保つ線形同型なので、その転置が余接空間の間の等長写像になり、$p$ 次の外積に誘導される内積も保つ。したがって $\langle\varphi^*\alpha,\varphi^*\beta\rangle(x)=\langle\alpha,\beta\rangle(\varphi(x))$ である。Riemann 体積密度 $dV_g=\sqrt{\det(g_{ij})}\,|dx^1\cdots dx^n|$（リーマン多様体 の定義「リーマン体積」）は計量だけで決まり、微分同相で引き戻すと $\varphi^*(dV_g)=dV_{\varphi^*g}=dV_g$ となるので、変数変換により $\int_M(F\circ\varphi)\,dV_g=\int_MF\,dV_g$ が可積分な $F$ について成り立つ。よって台がコンパクトな形式について $\langle\!\langle\varphi^*\alpha,\varphi^*\beta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\alpha,\beta\rangle\!\rangle$ である。
$\omega\in\Omega^p(M)$ と、台がコンパクトな $\eta\in\Omega^{p-1}(M)$ をとり、$\psi:=(\varphi^{-1})^*\eta$ とおく（$\psi$ の台もコンパクトで、$\varphi^*\psi=\eta$）。Hodgeのスター作用素 の定理「余微分は外微分の形式的随伴」を使うと
$$ \langle\!\langle d\eta,\varphi^*\omega\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\varphi^*d\psi,\varphi^*\omega\rangle\!\rangle=\langle\!\langle d\psi,\omega\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\psi,d^*\omega\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\varphi^*\psi,\varphi^*d^*\omega\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\eta,\varphi^*d^*\omega\rangle\!\rangle $$
である。同じ定理の一意性の部分により $d^*(\varphi^*\omega)=\varphi^*(d^*\omega)$ である。$\Delta=dd^*+d^*d$ なので $\varphi^*\Delta=\Delta\varphi^*$ であり、$\varphi^*$ は調和形式を調和形式に写す。$\varphi^{-1}$ も等長写像なので、$\mathcal H^p(M)$ の上への写像である。
2．$h\in\mathcal H^p(M)$ とする。1 により $\varphi^*h$ は調和形式である。de Rhamコホモロジー の系「ホモトピー不変性と Poincaré の補題」の 1 により、$\varphi^*=\mathrm{id}^*$ が $H^p_{\mathrm{dR}}(M)$ の上で成り立つので、$\varphi^*h$ と $h$ は同じコホモロジー類に属する。Laplace–de Rham作用素 の系「調和形式のノルム最小性と一意性」の 2 により、同じ類の調和形式は一致するので $\varphi^*h=h$ である。$\square$

$a\in\mathbb R^n$ について平行移動 $\tau_a(x)=x+a$ は $T^n$ の等長写像で、$F(t,x):=x+ta$ により恒等写像に $C^\infty$ 級ホモトピックである。$h=\sum_If_I\,dx^I$ を調和形式とすると、$\tau_a^*dx^I=dx^I$ なので $\tau_a^*h=\sum_I(f_I\circ\tau_a)\,dx^I$ であり、thm-harmform-isometry の 2 から $f_I(x+a)=f_I(x)$ がすべての $x,a$ で成り立つ。よって各 $f_I$ は定数である。逆に定数係数の形式は $d$ でも $d^*$ でも $0$ になるので調和形式である（$d^*$ は Hodgeのスター作用素 の例「Euclid 空間の余微分」の $d^*=-\sum_j\iota_j\partial_j$ による）。$\square$