Heegaard分解
概要
Heegaard分解（Heegaard splitting）とは、向き付け可能な 3 次元の閉多様体 $M$ を、同じ種数 $g$ の 2 つのハンドル体 $V,W$ の和 $M=V\cup W$ で $V\cap W=\partial V=\partial W$ となるものに分けることである。向き付け可能で連結な閉多様体はどれもこの分解をもち、滑らかな多様体ではハンドル分解の 0・1 ハンドルの部分と 2・3 ハンドルの部分に分けて得られる。$W$ の子午円板の縁の曲線から、$\pi_1(M)$ の $g$ 個の生成元と $g$ 個の関係式による表示が読み取れる。種数 $0$ の分解をもつのは $S^3$ だけで、種数 $1$ では $S^1\times S^2$ やレンズ空間が現れる。
前提知識: ハンドル分解, Van Kampenの定理, 種数, 境界に沿った貼り合わせと連結和
向き付け可能で連結な 3 次元の閉多様体は、2 つの「穴のあいたドーナツ」を表面どうしで貼り合わせて作れる。正確には、そのような $M$ は、同じ種数 $g$ の 2 つのハンドル体 $V,W$ の和で、共通部分がちょうど両方の境界の閉曲面になるものに分けられる。これを $M$ の Heegaard分解（Heegaard splitting）という。3 次元の多様体の問題を、閉曲面 $\Sigma=\partial V$ と、その上で $W$ の円板の縁がどう走るかという 2 次元の情報に移せることが、この分解の価値である。たとえば基本群は、$g$ 個の生成元と $g$ 個の関係式で表示される（thm-heeg-pi1）。
この記事では、ハンドル体と Heegaard 分解を定義し、存在（thm-heeg-existence）と基本群の表示（thm-heeg-pi1）を証明して、種数 $0$ と $1$ の多様体を調べる。
ハンドル体
多様体は滑らかなものとし、ハンドル分解 の言葉を使う。3 次元の $\lambda$ ハンドル $H^\lambda$ は $D^\lambda\times D^{3-\lambda}$ と同一視でき、1 ハンドル $D^1\times D^2$ は $S^0\times D^2$（両端の 2 枚の円板）で貼り付ける（ハンドル分解 の定義「ハンドルを付ける」）。1 ハンドルの 余芯 は円板 $\{0\}\times D^2$ である。
3 次元の閉球体 $D^3$ に $g$ 個の 1 ハンドルを付けて得られる向き付け可能な 3 次元の境界付き多様体を、種数 $g$ のハンドル体（handlebody）という。種数 $1$ のハンドル体 $S^1\times D^2$ を ソリッドトーラス（solid torus）という。
1 ハンドルの両端の円板を $D^3$ の境界のどこに付けても、向き付け可能なら結果は互いに微分同相で、種数 $g$ のハンドル体は $g$ 個のソリッドトーラスの境界に沿った連結和である。とくにその境界は種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面（種数）である（Kos93 Ch. VI (11.4) Corollary（p. 116）と Ch. VII §7 の注意（p. 139）。この記事では証明しない）。種数 $0$ のハンドル体は $D^3$ である。
種数 $g$ のハンドル体 $V$ は、$g$ 個の円周のウェッジ和 $\bigvee_{i=1}^gS^1$ とホモトピー同値である。とくに $\pi_1(V)$ は階数 $g$ の自由群である。
要点：1 ハンドルは、芯（線分）と両端の円板の和に変形レトラクトするので、1 ハンドルを付けることは 1 胞体を付けることとホモトピーの上で同じである。
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1 ハンドル $[-1,1]\times D^2$ は、$A:=([-1,1]\times\{0\})\cup(\{\pm1\}\times D^2)$ に変形レトラクトし、その変形は $\{\pm1\}\times D^2$ の上で恒等写像である。実際、点を $(s,r\omega)$（$r=\lvert u\rvert$、$\omega\in S^1$）と書き、長方形 $[-1,1]\times[0,1]$ を点 $(0,2)$ からの射影で 3 辺 $[-1,1]\times\{0\}\cup\{\pm1\}\times[0,1]$ へ押す変形を $(s,r)$ に当てて $\omega$ はそのままにすればよい（$r=0$ の点は底辺にとどまるので $\omega$ によらずに定まる）。よって $V$ は、$D^3$ に $g$ 本の線分を両端で付けた空間 $X$ に変形レトラクトする。$D^3$ を、線分の端点を 0 胞体に含む CW 複体と見ると、$X$ は CW 複体で $D^3$ は可縮な部分複体なので、$D^3$ を 1 点につぶす商写像はホモトピー同値であり（Hat02 Proposition 0.17、p. 15）、$X$ は $g$ 個の円周のウェッジ和とホモトピー同値になる。$g$ 個の円周のウェッジ和の基本群は階数 $g$ の自由群である（Van Kampenの定理 の例「円周のウェッジ和」）。$\square$
ハンドル体 $V=D^3\cup H_1\cup\cdots\cup H_g$ の 1 ハンドル $H_i$ の余芯 $E_i$ を、$V$ の 子午円板（meridian disk）という。$E_i$ は境界が $\partial V$ に乗った円板で、$V$ を $E_1,\dots,E_g$ に沿って切ると 3 次元の閉球体が残る。
種数 $g$ のハンドル体 $W$ の子午円板を $E_1,\dots,E_g$、$\beta_i:=\partial E_i\subset\partial W$ とする。$W$ は、閉曲面 $\Sigma:=\partial W$ に襟 $\Sigma\times[0,1]$ を付け、$\Sigma\times\{1\}$ の円周 $\beta_i\times\{1\}$ に沿って 2 ハンドルを $g$ 個付け、最後に残った境界の球面に 3 次元の閉球体を貼ったものと微分同相である。
要点：余芯 $E_i=\{0\}\times D^2$ の近傍 $[-\varepsilon,\varepsilon]\times D^2$ は、$\partial W$ から見ると円周 $\beta_i$ に沿って付けた 2 ハンドル $D^2\times D^1$ である。
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$W=D^3\cup H_1\cup\cdots\cup H_g$、$H_i=[-1,1]\times D^2$ とし、$N_i:=[-\varepsilon,\varepsilon]\times D^2\subset H_i$ とおく。$N_i=D^1\times D^2$ は、$\partial W$ の側の部分 $[-\varepsilon,\varepsilon]\times\partial D^2$（$\beta_i$ の帯状の近傍）で残りに接している。役割を入れ替えて $N_i=D^2\times D^1$ と見れば、これは貼り付け球面 $\partial D^2\times\{0\}=\beta_i$ をもつ 2 ハンドルである。$W$ から $N_i$ の内部をすべて除いた閉包は、$D^3$ に短い管 $([-1,-\varepsilon]\cup[\varepsilon,1])\times D^2$ を付けたもので、これは $D^3$ の境界の円板に襟を付けただけなので閉球体と微分同相である（角は 角の解消 で滑らかにする）。$\partial W$ の襟は $W$ の中にとれるので、$W$ は「襟 $\cup$ 2 ハンドル $N_1,\dots,N_g$ $\cup$ 閉球体」と分解される。$\square$
Heegaard 分解
$M$ を向き付け可能な 3 次元の閉多様体（コンパクトで境界のない多様体）とする。種数 $g$ のハンドル体 $V,W\subset M$ で
$$
M=V\cup W,\qquad V\cap W=\partial V=\partial W
$$
を満たすものの組 $(V,W)$ を、$M$ の 種数 $g$ の Heegaard 分解 という。閉曲面 $\Sigma:=V\cap W$ を Heegaard 曲面 という。$M$ が Heegaard 分解をもつ最小の種数を $M$ の Heegaard 種数 といい、$g(M)$ と書く。
Heegaard 分解 $(V,W)$ のハンドル体 $V$ と、$W$ の子午円板の縁 $\beta_1,\dots,\beta_g\subset\Sigma=\partial V$ の組 $(V;\beta_1,\dots,\beta_g)$ を Heegaard 図式 という（曲面 $\Sigma$ と $\beta_i$ だけでは $M$ は決まらない。ex-heeg-s3 の (2) と (3) はどちらもトーラスと 1 本の円周である）。
lem-heeg-dual により、$M$ は $V$ に円周 $\beta_1,\dots,\beta_g$ に沿って 2 ハンドルを付け、最後に閉球体を貼ったものである。2 ハンドルを曲面の上の円周に沿って付ける仕方は向き付け可能なら一通りで、最後の閉球体の貼り方も結果を変えないので、Heegaard 図式は $M$ を同相を除いて決める（Kos93 Ch. VII §7、p. 139。この記事では証明しない）。
- 種数 $0$：$S^3$ は北半球と南半球（どちらも $D^3$）の和で、共通部分は赤道の $S^2$ である。
- 種数 $1$：$S^3=\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2\mid\lvert z_1\rvert^2+\lvert z_2\rvert^2=1\}$ を $V:=\{\lvert z_1\rvert^2\le\frac12\}$ と $W:=\{\lvert z_1\rvert^2\ge\frac12\}$ に分ける。$V$ では $z_2\neq0$ なので、$(z_1,z_2)\mapsto(z_2/\lvert z_2\rvert,\sqrt2z_1)$ は $V$ から $S^1\times D^2$ への微分同相写像である（逆写像は $(w,u)\mapsto(u/\sqrt2,\sqrt{1-\lvert u\rvert^2/2}\,w)$）。$W=\{\lvert z_2\rvert^2\le\frac12\}$ も $z_1,z_2$ の役割を入れ替えて同様にソリッドトーラスで、$V\cap W$ はトーラス $\{\lvert z_1\rvert=\lvert z_2\rvert=1/\sqrt2\}$ である。$V$ の子午円板は $\{z_2/\lvert z_2\rvert=\text{一定}\}\cap V$ で、その縁は $z_1$ が回る円周である。$W$ の子午円板は $\{z_1/\lvert z_1\rvert=\text{一定}\}\cap W$ で、その縁 $\beta=\{(z_1^0,e^{it}/\sqrt2)\}$ は $z_2$ が回る円周であり、$V$ の芯 $\{z_1=0\}$ と平行に 1 周し、$V$ の子午円板の縁とちょうど 1 点で交わる。
- $S^1\times S^2$：$S^2$ を北半球と南半球 $D_\pm$ に分けると $S^1\times S^2=(S^1\times D_+)\cup(S^1\times D_-)$ で、共通部分はトーラス $S^1\times S^1$ である。$W=S^1\times D_-$ の子午円板の縁 $\{t\}\times\partial D_-$ は、$V=S^1\times D_+$ の子午円板の縁 $\{t\}\times\partial D_+$ と同じ円周である。
同じ多様体 $S^3$ が種数 $0$ と $1$ の Heegaard 分解をもつので、Heegaard 分解の種数は多様体から一意には決まらない。決まるのは最小値 $g(M)$ である。
主定理 1：存在
向き付け可能で連結な 3 次元の滑らかな閉多様体は、Heegaard 分解をもつ。
方針：0 ハンドルと 1 ハンドルを先に付けた部分を $V$、残りを $W$ とする。$W$ を上下逆さまに見ると、2・3 ハンドルが 1・0 ハンドルに変わる。
段 1（よいハンドル表示）．$M$ には、指数の小さいハンドルから順に付けていくハンドル表示
$$
\emptyset\subset M_0\subset M_1\subset M_2\subset M_3=M
$$
（$M_\lambda$ は $M_{\lambda-1}$ に $\lambda$ ハンドルを $c_\lambda$ 個付けたもの）があり（Kos93 Ch. VII (1.1) Theorem・(1.2) Corollary、p. 126）、$M$ が連結なので $c_0=c_3=1$ にできる（同 (6.1) Theorem、pp. 137–138。(7.2) Theorem の証明、p. 139）。この表示は $M$ の上の Morse 関数 $f$ と正則値 $a$ から $M_1=f^{-1}((-\infty,a])$ として得られ、$-f$ は 3・2 ハンドルを 0・1 ハンドルとする 双対の表示 を与える（同 §2 の (2.2) の証明の後の注意と (2.3) Proposition、p. 131）。
段 2（$V$）．$V:=M_1$ は $D^3$（ただ 1 つの 0 ハンドル）に $c_1$ 個の 1 ハンドルを付けたものである。$V$ は向き付け可能な $M$ の 3 次元の部分多様体なので向き付け可能であり、種数 $c_1$ のハンドル体である。
段 3（$W$）．$W:=f^{-1}([a,\infty))=(-f)^{-1}((-\infty,-a])$ は双対の表示の第 1 段で、ただ 1 つの 3 ハンドルからできた 0 ハンドルに、$c_2$ 個の 2 ハンドルからできた 1 ハンドルを付けたものである。段 2 と同じ理由で、種数 $c_2$ のハンドル体である。
段 4（種数が等しい）．ハンドル分解 の定理「ハンドル分解と Euler 標数」により $\chi(M)=c_0-c_1+c_2-c_3=c_2-c_1$ であり、同記事の系「奇数次元の閉多様体の Euler 標数」により $\chi(M)=0$ なので、$c_1=c_2$ である。
段 5（共通部分）．$a$ は正則値なので $f^{-1}(a)$ は閉曲面で、$V\cap W=f^{-1}(a)=\partial V=\partial W$、$V\cup W=M$ である。よって $(V,W)$ は種数 $c_1$ の Heegaard 分解である。$\square$
3 次元の位相多様体は滑らかな構造をもつので（MT07 p. 5 の脚注 1。Moiseの定理 も参照）、向き付け可能で連結な 3 次元の閉位相多様体も Heegaard 分解をもつ。
向き付け可能な 2 つのハンドル体を連結な境界で貼り合わせると、一方の向きを必要なら逆にして向きをそろえられるので、結果は向き付け可能である（境界に沿った貼り合わせと連結和 の定理「貼り合わせと向き」）。したがって向き付け不可能な閉多様体はこの記事の意味の Heegaard 分解をもたない。段 1〜5 の議論は向き付け不可能な場合にも、向き付け不可能なハンドル体による分解を与える（Kos93 Ch. VII (7.2) Theorem）。
主定理 2：基本群の表示
$M$ の種数 $g$ の Heegaard 分解 $(V,W)$ と Heegaard 図式 $(V;\beta_1,\dots,\beta_g)$ をとる。$\pi_1(V)$ の自由な基底を $x_1,\dots,x_g$（lem-heeg-free）とし、基点への道を 1 つ選んで $\beta_i$ が表す $\pi_1(V)$ の元を $x_1,\dots,x_g$ の語 $r_i$ で書く。このとき
$$
\pi_1(M)\cong\langle x_1,\dots,x_g\mid r_1,\dots,r_g\rangle
$$
である。とくに $\pi_1(M)$ は $g$ 個の元で生成される。
段 1（分解）．lem-heeg-dual により、$M$ は $V$（に襟を付けたもの。襟はホモトピー型を変えない）に、円周 $\beta_1,\dots,\beta_g$ に沿って 2 ハンドル $h_1,\dots,h_g$ を付けた $Y$ に、閉球体 $B$ を境界の球面に沿って貼ったものである。
段 2（2 ハンドル）．2 ハンドル $h_i=D^2\times D^1$ は、貼り付けの部分 $\partial D^2\times D^1$ に $D^2\times\{0\}$ を加えた集合に、貼り付けの部分の上で恒等写像になる変形レトラクトをもつ（prf-heeg-free と同じ射影による）。さらに帯 $\partial D^2\times D^1$ は円周 $\beta_i$ に変形レトラクトする。よって $Y$ は、$V$ に円周 $\beta_i$ に沿って 2 胞体を $g$ 個付けた空間とホモトピー同値である。2 胞体を付けると、基本群は付けた輪で生成される正規部分群で割ったものになる（Hat02 Proposition 1.26 (a)、p. 50）。したがって $\pi_1(Y)\cong\pi_1(V)/\langle\!\langle r_1,\dots,r_g\rangle\!\rangle=\langle x_1,\dots,x_g\mid r_1,\dots,r_g\rangle$ である。
段 3（閉球体）．$\partial Y=\partial B=:S$ は 2 次元球面である。$S$ の両側の襟を使って、$Y$ を少し太らせた開集合 $U$（$Y$ に変形レトラクトする）と、$B$ の内部に襟を足した開集合 $U'$（可縮）をとると、$M=U\cup U'$ で、$U\cap U'$ は $S\times(-1,1)$ と同相で単連結である。Van Kampenの定理 の定理「Van Kampenの定理」により $\pi_1(M)\cong\pi_1(U)\ast_{\pi_1(U\cap U')}\pi_1(U')=\pi_1(Y)\ast_11=\pi_1(Y)$ である。段 2 と合わせて結論を得る。$\square$
$M$ を向き付け可能で連結な 3 次元の閉多様体とすると、$\pi_1(M)$ は $g(M)$ 個の元で生成され、とくに $H_1(M)$ も $g(M)$ 個の元で生成される。
種数 $g(M)$ の Heegaard 分解に thm-heeg-pi1 を使えばよい。$H_1(M)$ は $\pi_1(M)$ のアーベル化（Hurewiczの定理 の定理「1 次元の Hurewicz の定理」）なので、生成元の像で生成される。$\square$
$T^3=S^1\times S^1\times S^1$ では $\pi_1(T^3)\cong\mathbb{Z}^3$ である。$\mathbb{Z}^3$ が 2 個の元で生成されるなら、その商 $(\mathbb{Z}/2)^3$（$\mathbb{Z}/2$ 上の 3 次元ベクトル空間）も 2 個の元で生成されることになり矛盾する。よって cor-heeg-rank により $g(T^3)\ge3$ である。
種数 0 と 1
$g(M)=0$ であることと、$M$ が $S^3$ と同相であることは同値である。
$S^3$ は ex-heeg-s3 の (1) により種数 $0$ の Heegaard 分解をもつ。$M$ が $S^3$ と同相なら、滑らかな 3 次元多様体の間の同相写像は微分同相写像で近似できるので（MT07 p. 5 の脚注 1）$M$ は $S^3$ と微分同相であり、その微分同相写像で (1) の分解を移せば $M$ の種数 $0$ の分解が得られる。逆に $g(M)=0$ なら、$M$ は 2 つの閉球体 $V,W$ の和で、$V\cap W=\partial V=\partial W$ である。$V,W$ から $D^3$ への同相写像 $\alpha,\beta$ をとると、$\alpha^{-1}(S^2)=\partial V=V\cap W=\beta^{-1}(S^2)$ である（境界は同相写像で境界に写る）。一般次元のPoincaré予想 の補題「2 枚の円板の和」により、$M$ は $S^3$ と同相である。$\square$
種数 $1$ の Heegaard 分解では $V$ はソリッドトーラスで、$\pi_1(V)\cong\mathbb{Z}=\langle x\rangle$ は芯の 1 周で生成される。$W$ の子午円板の縁 $\beta$ が、$V$ の芯の方向に $p$ 回、子午線の方向に $q$ 回巻く単純閉曲線なら、$\beta$ は $\pi_1(V)$ の元 $x^p$ を表すので、thm-heeg-pi1 により $\pi_1(M)\cong\langle x\mid x^p\rangle\cong\mathbb{Z}/p$ である（$p=0$ なら $\mathbb{Z}$）。ex-heeg-s3 の (2) は $p=1$ で $\pi_1=1$、(3) は $p=0$ で $\pi_1\cong\mathbb{Z}$ である。$p\ge2$ の場合は レンズ空間 $L(p;q)$ で、同記事の注意「Heegaard 分解と Dehn 手術」が述べるとおり種数 $1$ の分解をもつ。
$\pi_1(S^1\times S^2)\cong\mathbb{Z}$ と $\pi_1(L(p;q))\cong\mathbb{Z}/p$（$p\ge2$）は自明でないので、prop-heeg-genus0 によりこれらの Heegaard 種数はちょうど $1$ である。逆に、種数 $1$ の Heegaard 分解をもつ多様体は $S^3$、$S^1\times S^2$、レンズ空間のどれかである。曲線 $\beta$ はトーラスの上で傾きによってイソトピーを除いて決まり、子午円板を貼ったあとの球体の貼り方は一通りだからである（Hat3M §2.1「Classification of Lens Spaces」、pp. 40–41。この記事では証明しない）。
反例の表
thm-heeg-existence と prop-heeg-genus0 の仮定を 1 つずつ外すと、次のように結論が崩れる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| コンパクト | $\mathbb{R}^3$ | Heegaard 分解をもつ（コンパクトな $V,W$ の和はコンパクト） |
| 連結 | $S^3\sqcup S^3$ | Heegaard 分解をもつ（$V,W$ は連結で交わるので $V\cup W$ は連結） |
| 向き付け可能 | $S^1\times\mathbb{RP}^2$（向き付け不可能な 3 次元の閉多様体） | この記事の意味の Heegaard 分解をもつ（rem-heeg-nonorientable） |
| 種数 $0$ | $S^1\times S^2$（種数 $1$） | $S^3$ と同相（$\pi_1\cong\mathbb{Z}$） |
補足
- Heegaard 図式から多様体を作る：種数 $g$ のハンドル体 $V$ の境界の上の互いに交わらない $g$ 本の単純閉曲線で、それに沿って $V$ に 2 ハンドルを付けると境界が球面になるものを与えれば、閉球体を貼って 3 次元の閉多様体が得られる（Kos93 Ch. VII §7、p. 139）。Poincaré は種数 $2$ の図式から、ホモロジーが $S^3$ と同じで基本群が自明でない多様体を作った（同 pp. 140–141。ホモロジー球面）。
- Poincaré予想との関係：thm-heeg-pi1 の表示が自明な群を与えるとき多様体は $S^3$ か、という問いは Poincaré予想 そのものである。prop-heeg-genus0 により、Poincaré予想は「単連結な 3 次元の閉多様体の Heegaard 種数は $0$」と言い換えられる。
関連項目
- 前提: ハンドル分解, Van Kampenの定理, 種数
- 例: レンズ空間, ホモロジー球面
- 比較: Morse理論, 境界に沿った貼り合わせと連結和
- 発展: Poincaré予想, Dehn手術
参考文献
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