超距離空間

対称性により $d(x,y)< d(y,z)$ としてよい。強三角不等式より $d(x,z)\leq\max\{d(x,y),d(y,z)\}=d(y,z)$ である。一方、強三角不等式を点 $y,x,z$ の順に使うと
$$d(y,z)\leq\max\{d(y,x),d(x,z)\}$$
であり、$d(y,x)=d(x,y)< d(y,z)$ なので右辺の最大値は $d(x,z)$ でなければならない。よって $d(y,z)\leq d(x,z)$ であり、$d(x,z)=d(y,z)=\max\{d(x,y),d(y,z)\}$ を得る。後半：最大値がただ一つの辺だけに現れたとすると、他の二辺は異なるか等しいかのいずれかである。異なるならこの命題により第三辺はその最大値に等しく、等しいなら強三角不等式により第三辺はそれ以下である。どちらの場合も、最大値がただ一つの辺に現れるという仮定に反する。$\square$

$y\in B(x,r)$ とする。$z\in B(y,r)$ なら $d(x,z)\leq\max\{d(x,y),d(y,z)\}< r$ だから $B(y,r)\subset B(x,r)$。対称性により $x\in B(y,r)$ なので、$x,y$ を取り替えて逆の包含を得る。閉球については同じ議論で $< r$ を $\leq r$ に置き換えればよい。

$w\in B(x,r)\cap B(y,s)$ を選ぶ。前の命題により、二球は $B(w,r),B(w,s)$ と書ける。$r\leq s$ なら前者が後者に含まれ、$s\leq r$ なら逆である。$r=s$ なら一致する。閉球にも同じ中心の取り替えと半径の比較を適用できる。

$y\in B(x,r)$ なら $B(y,r)=B(x,r)$ なので開球は開である。$z\notin B(x,r)$ なら $B(z,r)$ と $B(x,r)$ は交わらない。共通点 $w$ があると $d(x,z)\leq\max\{d(x,w),d(w,z)\}< r$ となり矛盾する。よって補集合も開である。
$y\in D(x,r)$ なら $B(y,r)\subset D(x,r)$ なので、$r>0$ により閉球は開である。他方、$z\notin D(x,r)$ について $t=d(x,z)>r$ とする。$w\in B(z,t)\cap D(x,r)$ があれば、$t\leq\max\{d(x,w),d(w,z)\}< t$ となり矛盾する。よって $B(z,t)$ は閉球の補集合に含まれ、その補集合も開である。

部分集合 $S\subset X$ に異なる二点 $x,y$ があるとし、$r=d(x,y)>0$ と置く。$x\in B(x,r)$ かつ $y\notin B(x,r)$ である。開閉性により $S\cap B(x,r)$ と $S\setminus B(x,r)$ は $S$ の非空な相対開集合であり、交わらずに $S$ 全体を覆う。したがって $S$ は連結でない。一点集合は二つの非空集合に分割できないので連結である。$\square$

$S(x,r)=D(x,r)\setminus B(x,r)$ であり、prop-ultrametric-clopen により $D(x,r)$ と $B(x,r)$ はともに開かつ閉なので、その差 $D(x,r)\cap(X\setminus B(x,r))$ も開かつ閉である。直接には次のように見える。$y\in S(x,r)$ と $w\in B(y,r)$ をとると $d(y,w)< r=d(x,y)$ なので、prop-ultrametric-isosceles により $d(x,w)=\max\{d(x,y),d(y,w)\}=r$ である。よって $B(y,r)\subset S(x,r)$ である。$\square$

Cauchy 列ならば、とくに隣り合う項の距離は $0$ に近づく。逆に $d(x_n,x_{n+1})\to0$ とし、$\varepsilon>0$ をとる。$n\geq N$ で $d(x_n,x_{n+1})< \varepsilon$ となる $N$ をとる。$N\leq m< n$ について、強三角不等式を $n-m-1$ 回繰り返して
$$d(x_m,x_n)\leq\max\{d(x_m,x_{m+1}),d(x_{m+1},x_{m+2}),\ldots,d(x_{n-1},x_n)\}< \varepsilon$$
を得る（$n-m$ に関する帰納法）。よって $(x_n)$ は Cauchy 列である。$\square$

段 1（可算な開基）：可分な距離空間は第 2 可算である。実際、可算稠密集合 $Q$ をとると、$q\in Q$ と正の有理数 $s$ についての開球 $B(q,s)$ の全体が可算な開基になる（$x\in U$ 開なら $B(x,2s)\subset U$ となる有理数 $s>0$ と $d(x,q)< s$ となる $q\in Q$ をとれば $x\in B(q,s)\subset B(x,2s)$）。この可算な開基を $\mathfrak{B}$ とする。$\mathfrak{B}$ の元の組 $(B,B')$ で「$B'\subset C\subset B$ となる開かつ閉な集合 $C$ が存在する」ものごとに、そのような $C$ を一つ選んで $C_{B,B'}$ とする。組は可算個なので、$C_{B,B'}$ も可算個であり、これを $C_1,C_2,\ldots$ と並べる。これが開基になることを示す。$x\in U$（$U$ は開集合）とすると、$x\in B\subset U$ となる $B\in\mathfrak{B}$、仮定により $x\in C\subset B$ となる開かつ閉な $C$、さらに $x\in B'\subset C$ となる $B'\in\mathfrak{B}$ がとれる。この組 $(B,B')$ について $C_{B,B'}$ が選ばれており、$x\in B'\subset C_{B,B'}\subset B\subset U$ である。
段 2（分割の列）：各 $n\geq1$ について、直径が $1/n$ 未満の $C_k$ の全体は $X$ を覆う（各点 $x$ は $x\in C_k\subset B(x,1/(3n))$ となる $C_k$ に属する）。それらを $C_{k_1},C_{k_2},\ldots$ と並べ、$E_j:=C_{k_j}\setminus(C_{k_1}\cup\cdots\cup C_{k_{j-1}})$ とおくと、各 $E_j$ は開かつ閉（有限個の開かつ閉な集合の差）で、互いに交わらず、$X$ を覆う。空でない $E_j$ の全体を $\mathcal{P}_n'$ とする。さらに $\mathcal{P}_n:=\{P_1\cap\cdots\cap P_n\neq\emptyset\mid P_i\in\mathcal{P}_i'\}$ とおくと、$\mathcal{P}_n$ は開かつ閉な集合による $X$ の分割で、$\mathcal{P}_{n+1}$ は $\mathcal{P}_n$ を細分し、$\mathcal{P}_n$ の各元の直径は $1/n$ 未満である。$\mathcal{P}_0:=\{X\}$ とおく。
段 3（超距離）：$x\neq y$ に対し、$x$ と $y$ が $\mathcal{P}_n$ の異なる元に属する最小の $n$ を $n(x,y)$ とする（直径が $1/n$ 未満なので、$1/n\leq d(x,y)$ となる $n$ では異なる元に属する）。$\rho(x,y):=2^{-n(x,y)}$、$\rho(x,x):=0$ とおく。$n(x,z)\geq\min\{n(x,y),n(y,z)\}$ である。実際 $m< \min\{n(x,y),n(y,z)\}$ なら $\mathcal{P}_m$ で $x,y$ が同じ元に、$y,z$ も同じ元に属するので、$x,z$ も同じ元に属する。よって $\rho$ は強三角不等式を満たし、超距離である。
段 4（位相の一致）：$\rho$ の開球 $B_\rho(x,2^{-n})$（$n\geq0$）は、$x$ を含む $\mathcal{P}_n$ の元 $P_n(x)$ に等しい。$P_n(x)$ は $d$ の位相で開集合なので、$\rho$ の開集合は $d$ の開集合である。逆に $U$ を $d$ の開集合、$x\in U$ とし、$B_d(x,1/n)\subset U$ となる $n$ をとる。$P_n(x)$ は $x$ を含み直径が $1/n$ 未満なので $P_n(x)\subset B_d(x,1/n)\subset U$ であり、$B_\rho(x,2^{-n})\subset U$ である。よって $d$ の開集合は $\rho$ の開集合である。$\square$