Adem関係式

総和 $d$ が同じ正の整数の列は有限個なので、辞書式順序（最初に異なる位置で大きい方を大きいとする）で大きい列から順に帰納法で示す。$I$ が許容でなければ $i_l<2i_{l+1}$ となる $l$ があり、thm-adem-main で $Sq^{i_l}Sq^{i_{l+1}}$ を $Sq^{i_l+i_{l+1}-j}Sq^j$（$2j\le i_l$）の和に替える。$j< i_{l+1}$ なので $l$ 番目の成分は $i_l$ より大きくなり、$j=0$ の項では $Sq^0=\mathrm{id}$ を落とす。どの項の列も総和 $d$ のまま $I$ より大きいので、帰納法の仮定から許容な合成の和になる。$\square$

要点：同変性は合成の各段で作用がどこに移るかを追えばよく、3 は cup-i積 の補題「同変な非輪状台の補題」を $G=V$、$k=4$ に使う。

1 は、$e_r\otimes e_s\otimes\sigma$ が $\mathbb{F}_2[V]$ 加群としての基底であることによる。2：$e_{-1}:=0$ とおくと
$$ \partial(e_r\otimes e_s\otimes\sigma)=(1+g)(e_{r-1}\otimes e_s\otimes\sigma)+(1+h)(e_r\otimes e_{s-1}\otimes\sigma)+e_r\otimes e_s\otimes\partial\sigma $$
であり、$V$ 不変な $f$ は $(1+g)$、$(1+h)$ の像で $0$ なので、$(\delta f)(e_r\otimes e_s\otimes\sigma)=f_{rs}(\partial\sigma)$ である。$\square$

$\delta a=0$ から $\lambda\circ\partial=0$ であり、$\lambda$ は因子のどの置換でも変わらない。よって $F\circ\partial=\lambda\circ\partial\circ\Phi=0$、$F(gz)=\lambda\bigl((13)(24)\Phi(z)\bigr)=F(z)$、$F(hz)=F(z)$ で、$F$ は $V$ 不変な余輪体である。lem-adem-iterated の 3 の $E$ に $\lambda$ を合成すると
$$ \lambda\Phi+\lambda\Phi'=\lambda\partial E+\lambda E\partial=\delta(\lambda E) $$
であり、$E$ が $V$ 同変で $\lambda$ が不変なので $\lambda E$ は $V$ 不変である。一方 $\lambda\circ(23)=\lambda$ なので
$$ (\lambda\Phi')(e_r\otimes e_s\otimes\sigma)=\lambda\bigl(\Phi(e_s\otimes e_r\otimes\sigma)\bigr)=F_{sr}(\sigma) $$
である。lem-adem-components の 2 により $F_{rs}$ は余輪体で、$F_{rs}+F_{sr}=\delta\bigl((\lambda E)_{rs}\bigr)$ である。$\square$

要点：$c(e_k\otimes z):=(Y\otimes Y')\Psi(e_{k+1}\otimes z)$ とおけばよい。cup-$i$ 積の余境界公式で $a\smile_ib+b\smile_ia$ が $\delta(a\smile_{i+1}b)$ になるのと同じ形である。

$Y(Te_l\otimes\sigma)=Y(e_l\otimes\sigma)$ なので $Y$ は $h$ 不変であり、$\delta Y(e_l\otimes\sigma)=Y\bigl((1+T)e_{l-1}\otimes\sigma\bigr)+e_j^*(e_l)\,\delta b(\sigma)=0$ である。$(Y\otimes Y)\circ\mathrm{sh}_2=(e_j^*\otimes e_j^*)\otimes(b\otimes b)$ と def-adem-iterated の具体的な式から
$$ G(e_k\otimes e_s\otimes\sigma)=\sum_{p=0}^{k}(e_j^*\otimes e_j^*)\bigl(\psi(e_p\otimes e_s)\bigr)\cdot(b\otimes b)\bigl(\tau^pD_{k-p}\sigma\bigr) $$
である。$(b\otimes b)\circ\tau=b\otimes b$ なので第 2 因子は $(b\smile_{k-p}b)(\sigma)$ である。$e_j^*$ は $\omega^j$ に等しく（Z/2の群コホモロジー環 の定理「$\mathbb{Z}/2$ の群コホモロジー環」の 2）、第 1 因子は $\psi(e_p\otimes e_s)$ の次数 $p+s$ が $2j$ のときだけ $0$ でなく、そのとき $(\omega^j\smile_p^\psi\omega^j)(e_s)=\binom{j}{p}$ である（同じ記事の定理「冪の平方作用」）。よって $p=2j-s$ の項だけが残る。$\square$

$y:=(a\otimes a)\circ\phi$ は $M$ の上の $h$ 不変な余鎖で、$y(T^\mu e_j\otimes\sigma)=(a\otimes a)(\tau^\mu D_j\sigma)=(a\smile_ja)(\sigma)$ である。$y_j:=a\smile_ja\in C^{2n-j}(X)$ は余輪体で（cup-i積 の定理「cup-$i$ 積による平方の基本性質」の 1）、$j>n$ では $D_j$ が次元 $2n-j< j$ の単体の上で $0$ なので $y_j=0$ である。よって $y=\sum_{j=0}^{n}Y_j$、$Y_j:=e_j^*\otimes y_j$ である。$\lambda=(a\otimes a)\otimes(a\otimes a)$ なので $\lambda\circ(\phi\otimes\phi)=y\otimes y$、すなわち $F=(y\otimes y)\circ\Psi$ である。
lem-adem-outer-additivity を繰り返し使うと、$F$ と $\sum_j(Y_j\otimes Y_j)\circ\Psi$ の差は $V$ 不変な余鎖の余境界である。lem-adem-components と prop-adem-external-cartan により、$H^*(X)$ で
$$ [F_{ks}]=\sum_{j=0}^{n}\binom{j}{2j-s}\,[y_j\smile_{k-2j+s}y_j] $$
となる（$0\le2j-s\le k$ の項だけをとる）。$y_j$ の次数を $d_j=2n-j$ とすると、$[y_j]=Sq^{n-j}\alpha$ であり、$0\le i\le d_j$ なら $[y_j\smile_iy_j]=Sq^{d_j-i}[y_j]$、$i>d_j$ なら $y_j\smile_iy_j=0$ である。$i=k-2j+s$ のとき $d_j-i=2n+j-k-s$ で、$2j-s>k$ の項（式から除いた項）では $Sq^{2n+j-k-s}$ の添字が $d_j$ を超えるので $0$ である。よって規約 $Sq^{<0}=0$ のもとで
$$ [F_{ks}]=\sum_{j=0}^{n}\binom{j}{2j-s}Sq^{2n+j-k-s}Sq^{n-j}\alpha $$
である。$t:=n-j$ とおき、$\binom{j}{2j-s}=\binom{j}{s-j}$（どちらも $j\le s\le2j$ のときだけ $0$ でない）を使うと前半を得る。後半は prop-adem-symmetry の $[F_{ks}]=[F_{sk}]$ に前半を代入したものである。$\square$

次数 $0$ の類。 $m=0$ なら $Sq^b\alpha=0$（$b\ge1$）で左辺は $0$、右辺も $j=0$ の項は $Sq^{a+b}\alpha=0$、$j\ge1$ の項は $Sq^j\alpha=0$ で $0$ である。以下 $m\ge1$ とし、$X$ は空でないとする（空なら $H^*(X)=0$ で両辺とも $0$ である）。
特別な次数での関係式。 $2^r>\max(a,b,m)$ となる $r$ をとり、
$$ n:=2^r-1+b,\qquad S:=2^r-1,\qquad K:=2^{r+1}-2+2b-a $$
とおく。$a\le2b-1$ なので $K\ge0$ であり、$3n-K-S=a+b$ である。任意の空間 $Y$ と $\beta\in H^n(Y)$ に $(\ast)$ を $(k,s)=(K,S)$ で使うと
$$ \sum_{t=0}^{n}\binom{2^r-1-(t-b)}{t-b}Sq^{a+b-t}Sq^t\beta=\sum_{t=0}^{n}\binom{2^r-1+b-t}{2^r-1+b-a+t}Sq^{a+b-t}Sq^t\beta $$
である。係数の偶奇は 二項係数 の定理「Lucas の定理」（$p=2$）で 2 進の桁ごとに読む。
左辺：$t< b$ の係数は $0$、$t=b$ の係数は $\binom{2^r-1}{0}=1$ である。$b< t\le n$ では $x:=t-b$ が $1\le x\le2^r-1$ をみたし、$(2^r-1-x)+x=2^r-1$ は繰り上がりのない足し算なので、$2^r-1-x$ の 2 進の桁は $x$ の桁を $0$ と $1$ で入れ替えたものである。$x$ の $1$ の桁では $\binom{0}{1}=0$ が現れ、係数は偶数である。よって左辺は $Sq^aSq^b\beta$ である。
右辺：$2t>a$ なら下の数 $2^r-1+b-a+t$ が上の数 $2^r-1+b-t$ を超えて係数は $0$ である。$2t\le a$ なら $a<2b$ から $t\le b-1$ で、$\binom{N}{q}=\binom{N}{N-q}$ により係数は $\binom{2^r+(b-t-1)}{a-2t}$ である。$0\le b-t-1< 2^r$、$0\le a-2t< 2^r$ なので、上の数の 2 進表示は $b-t-1$ の桁に位置 $r$ の $1$ を加えたもの、下の数の位置 $r$ の桁は $0$ であり、係数は $\binom{b-t-1}{a-2t}$ と偶奇が一致する。よって右辺は主定理の右辺の $\alpha$ を $\beta$ に替えたものであり、次数 $n$ の類について主定理が成り立つ。
懸垂で全次数へ。 $m\ge1$ で、現れる類の次数はすべて $1$ 以上なので被約コホモロジーと一致する。$N:=n-m\ge1$ とし、懸垂同型を $N$ 回合成した $\sigma^N\colon\tilde H^q(X)\to\tilde H^{q+N}(S^NX)$ を考える。Steenrod平方 の系「懸垂同型との可換性」により $\sigma^N$ はすべての $Sq^i$ と可換で、同型である。$\beta:=\sigma^N\alpha\in H^n(S^NX)$ について上の関係式が成り立つので、$\sigma^N(Sq^aSq^b\alpha)=Sq^aSq^b\beta$ と右辺の対応する式が等しく、$\sigma^N$ の単射性から主定理を得る。$\square$