Matlis双対

要点：1 は入射包の元が極大イデアルの冪で消えることと本質性、2 は随伴 $\operatorname{Hom}_{A/I}(N,\operatorname{Hom}_A(A/I,E))\cong\operatorname{Hom}_A(N,E)$、3 は $Aa\to k$ を入射性で延長することによる。

1：$E$ が入射的なので $\operatorname{Hom}_A(-,E)$ は完全である（入射対象 の記事の命題「入射性と $\operatorname{Hom}$ 関手の完全性」）。$D(k)=\operatorname{Hom}_A(k,E)$ は $E$ の socle と同一視され、prop-matlis-e-structure の 1 により $k$ である。
2：$0\neq x\in M$ を取る。$Ax\cong A/\operatorname{ann}(x)$ で $\operatorname{ann}(x)\subset\mathfrak m$ なので、$Ax\to k\subset E$、$x\mapsto1$ という写像がある。$E$ の入射性でこれを $\varphi\colon M\to E$ に延長すると $\varphi(x)\neq0$、すなわち $\delta_M(x)\neq0$ である。
3：$\ell(M)$ についての帰納法で $\ell(D(M))=\ell(M)$ を示す。$M=0$ なら両辺 $0$ である。$\ell(M)=n\ge1$ なら、組成列から長さ $n-1$ の部分加群 $M'$ と完全列 $0\to M'\to M\to k\to0$ が取れる。1 により $0\to D(k)\to D(M)\to D(M')\to0$ は完全で、$D(k)\cong k$ と帰納法の仮定から $\ell(D(M))=1+(n-1)=n$ である。同じ議論で $\ell(D(D(M)))=\ell(M)$ となる。$\delta_M$ は 2 により単射で、両辺の長さが等しく有限なので同型である。$\square$

要点：随伴 $\operatorname{Hom}_A(N,\operatorname{Hom}_F(A,F))\cong\operatorname{Hom}_F(N,F)$ で入射性が分かり、socle が 1 次元で $\mathfrak m$ が冪零なことから本質性が分かる。

1：$\xi\in E_v$ と $\hat a\in\hat A$ について、$\hat a$ の $\hat A/\mathfrak m^v\hat A=A/\mathfrak m^v$ での像を $a+\mathfrak m^v$ とし、$\hat a\xi:=a\xi$ と定める。$\mathfrak m^v\xi=0$ なので $a$ の選び方によらず、$v$ を大きくしても値は変わらない。有限個の元と有限個の $\hat a$ については共通の $v$ を取れるので、加群の公理は $A/\mathfrak m^v$ 加群の公理に帰着する。逆に $A$ の作用を延長する $\hat A$ 加群の構造があれば、$\xi\in E_v$ について $(\mathfrak m^v\hat A)\xi=\hat A(\mathfrak m^v\xi)=0$ なので、$\hat a\xi$ は $\hat a$ の $\hat A/\mathfrak m^v\hat A=A/\mathfrak m^v$ での像の作用に等しく、上の定義と一致する。また $\hat A\xi=A\xi$ なので、$A$ 部分加群は $\hat A$ 部分加群である。
2：$F=E_{\hat A}(k)$ とする。入射包 の記事の定理「$E(A/P)$ の性質」の 4 により $F$ の各元は $(\mathfrak m\hat A)$ のある冪で消える。まず $F$ は $A$ 加群として入射的である：$A$ 加群 $N$ について $\operatorname{Hom}_A(N,F)\cong\operatorname{Hom}_{\hat A}(\hat A\otimes_AN,F)$（$f\mapsto(\hat a\otimes n\mapsto\hat af(n))$）であり、$\hat A$ の平坦性と $F$ の $\hat A$ 上の入射性から右辺は $N$ について完全である。次に $k\subset F$ は $A$ 上本質的である：$F$ の零でない $A$ 部分加群 $L$ の元 $\eta\neq0$ を取ると、1 と同じ理由で $\hat A\eta=A\eta\subset L$ であり、$\hat A\eta$ は $\hat A$ 上の本質性から $k$ と交わる。よって $F$ は $A$ 上の $k$ の入射包であり、$k$ を固定する $A$ 同型 $F\cong E$ がある。$\mathfrak m$ 冪で消える元からなる加群の $\hat A$ 構造は 1 により $A$ 構造で決まるので、この同型は $\hat A$ 線形でもある。
3：$\hat a$ 倍が零なら、prop-matlis-e-structure の 3 を完備局所環 $\hat A$ と $E=E_{\hat A}(k)$（2）に当てて $\hat a=0$ である。全射性を示す。$f\in\operatorname{Hom}_A(E,E)$ は各 $E_v$ を $E_v$ に写す。prop-matlis-e-structure の 2 により $E_v\cong D(A/\mathfrak m^v)$ であり、thm-matlis-basic の 3 により
$$\delta\colon A/\mathfrak m^v\to D(D(A/\mathfrak m^v))=\operatorname{Hom}_A(E_v,E)$$
は同型である。$\delta(a+\mathfrak m^v)$ は $\varphi\mapsto\varphi(a+\mathfrak m^v)=a\varphi(1)$、すなわち $E_v$ 上の $a$ 倍なので、$E_v\to E$ の $A$ 線形写像はすべて、$\mathfrak m^v$ を法としてただ 1 つの $a_v\in A$ による掛け算である。$f|_{E_v}$ を $a_v$ 倍とすると、$E_v\subset E_{v+1}$ と一意性から $a_{v+1}\equiv a_v\pmod{\mathfrak m^v}$ であり、$\hat a=(a_v+\mathfrak m^v)_v\in\varprojlim A/\mathfrak m^v=\hat A$ が定まる。1 の定義により $\hat a$ 倍は各 $E_v$ 上で $a_v$ 倍なので $f=\hat a$ 倍である。この対応は積を合成に送るので環の同型である。最後に、$\hat A$ は可換なので $\hat a$ 倍は $\hat A$ 線形であり、$\operatorname{Hom}_A(E,E)=\operatorname{Hom}_{\hat A}(E,E)$ となる。$\square$

要点：巡回部分加群 $A\xi$ の $\mathfrak m$ 進の降鎖が止まることと Nakayama の補題による。

まず $A$ が完備な場合に後半を示す。$I\subset\operatorname{ann}(0:_EI)$ は明らかである。$a\notin I$ なら、thm-matlis-basic の 2 により $\varphi(a+I)\neq0$ となる $\varphi\colon A/I\to E$ があり、$\xi=\varphi(1+I)$ は $I\xi=0$、$a\xi=\varphi(a+I)\neq0$ を満たすので $a\notin\operatorname{ann}(0:_EI)$ である。よって $\operatorname{ann}(0:_EI)=I$ である。次に $N\subset(0:_E\operatorname{ann}N)$ は明らかである。$\xi\notin N$ なら、同じく $\psi(\xi+N)\neq0$ となる $\psi\colon E/N\to E$ がある。合成 $E\to E/N\xrightarrow{\psi}E$ は thm-matlis-completion の 3 と $\hat A=A$ によりある $a\in A$ の掛け算で、$aN=0$、$a\xi\neq0$ である。よって $\xi\notin(0:_E\operatorname{ann}N)$ で、$(0:_E\operatorname{ann}N)=N$ である。2 つの写像は包含を逆にする互いに逆な全単射であり、$A$ のイデアルの昇鎖条件から $E$ の部分加群の降鎖条件が従う。
一般の $A$ では、thm-matlis-completion の 2 により $E=E_{\hat A}(k)$ で、$\hat A$ は完備な Noether 局所環なので、上により $E$ は $\hat A$ 上 Artin である。同じ定理の 1 により $A$ 部分加群と $\hat A$ 部分加群は一致するので、$A$ 上でも Artin である。$\square$

1：$D(A)=\operatorname{Hom}_A(A,E)\cong E$ であり、$D(E)=\operatorname{Hom}_A(E,E)\cong\hat A=A$ である（thm-matlis-completion の 3）。
$\delta_A$ と $\delta_E$ が同型であることを確かめる。$\delta_A(a)$ は $D(A)\cong E$ の上の $a$ 倍で、$D(D(A))=\operatorname{Hom}(E,E)\cong A$ の下で $a$ に対応するので、$\delta_A$ は同型である。$\delta_E(\xi)$ は $D(E)\cong A$（$a\leftrightarrow a$ 倍）上の写像 $a\mapsto a\xi$ で、$D(D(E))=\operatorname{Hom}_A(A,E)\cong E$ の下で $\xi$ に対応するので、$\delta_E$ も同型である。$\delta$ は有限直和と交換するので、$\delta_{A^r}$、$\delta_{E^r}$ も同型である。
2：全射 $A^r\to M$ に $D$ を当てると単射 $D(M)\to E^r$ を得る。$E$ は Artin なので（thm-matlis-artinian）、その有限直和 $E^r$ も Artin で、部分加群 $D(M)$ も Artin である。$A$ は Noether なので有限表示 $A^s\to A^r\to M\to0$ がある。$D$ は完全な反変関手なので $D\circ D$ は完全な共変関手であり、$\delta$ の自然性から可換図式
$$ \begin{CD} A^s @>>> A^r @>>> M @>>> 0\\ @V{\delta_{A^s}}VV @V{\delta_{A^r}}VV @V{\delta_M}VV \\ D(D(A^s)) @>>> D(D(A^r)) @>>> D(D(M)) @>>> 0 \end{CD} $$
の両行は完全である。図式が可換であることは、$f\colon N'\to N$ について $\delta_N\circ f=D(D(f))\circ\delta_{N'}$ が成り立つこと（$\delta$ の自然性）である。左の 2 つの縦の写像は同型なので、余核の比較（5 項補題）により $\delta_M$ は同型である。
3：まず $M$ を $E^r$ に埋め込む。$M$ から $E$ への有限個の写像の組の共通核の全体のうち、降鎖条件により極小なもの $K$ を取る。$K\neq0$ なら、$0\neq\xi\in K$ について $\varphi(\xi)\neq0$ となる $\varphi\colon M\to E$ があり（thm-matlis-basic の 2）、組に $\varphi$ を加えると共通核が真に小さくなって矛盾する。よって $K=0$ で、単射 $M\to E^r$ がある。$D$ を当てると全射 $A^r\cong D(E^r)\to D(M)$ を得るので、$D(M)$ は有限生成である。次に、$M\subset E^r$ の余核 $C$ も Artin なので、同様に単射 $C\to E^s$ があり、完全列 $0\to M\to E^r\to E^s$ を得る。この列と、それに完全関手 $D\circ D$ を当てた列 $0\to D(D(M))\to D(D(E^r))\to D(D(E^s))$ を、縦の写像 $\delta_M,\delta_{E^r},\delta_{E^s}$ で結ぶと可換図式になる（$\delta$ の自然性）。$\delta_{E^r}$ と $\delta_{E^s}$ は同型なので、核の比較により $\delta_M$ は同型である。
最後に、2・3 により $D$ は有限生成加群を Artin 加群に、Artin 加群を有限生成加群に写し、$D\circ D$ は $\delta$ によって両方の圏で恒等関手と自然同型である。よって $D$ は反変同値である。$\square$

要点：前半は thm-matlis-duality の 3 の証明で作った埋め込みと、$E^r$ が Artin であることによる。後半は $\ell(E)=\ell(D(E))=\ell(\hat A)$ を使う。