円板定理

反射律は $H_s=\mathrm{id}$ でよい。推移律：$H_1\circ f=g$、$K_1\circ g=h$ なら、$s\mapsto K_s\circ H_s$ はコンパクト台のイソトピーで（台は 2 つのコンパクト集合の和に含まれる）、$K_1\circ H_1\circ f=h$ である。対称律：$\widehat H(s,x):=(s,H_s(x))$ は $\mathbb{R}\times M$ の全単射で、その微分は $\begin{pmatrix}1&0\\ \ast&dH_s\end{pmatrix}$ の形で可逆なので、逆関数定理 により局所的に微分同相であり、したがって微分同相写像である。その逆写像は $(s,y)\mapsto(s,H_s^{-1}(y))$ なので、$(s,y)\mapsto H_s^{-1}(y)$ は滑らかであり、コンパクト台のイソトピーになる。$H_1^{-1}\circ g=f$ である。$\square$

要点：時刻の変数を 1 つ増やした $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ の上に、円板の軌跡の上では $(1,\partial_t\varphi_t)$ に等しく、それ以外ではほぼ $(1,0)$ のベクトル場 $Z$ を作る。$Z$ の流れで $\{0\}\times\mathbb{R}^n$ を $\{s\}\times\mathbb{R}^n$ へ運んだ写像が $H_s$ であり、円板の各点は流れに沿って $\varphi_s$ の位置へ運ばれる。

$r$ も行列とみる。$\det A<0$ なら $Ar$、$Br$ について道を作り、右から $r$ を掛ければよいので、$\det A,\det B>0$ としてよい。また $A$ と $B$ をそれぞれ単位行列 $I$ と結べば、$B$ 側の道を逆にたどってつなげばよい。
$A$ の列に Gram–Schmidt の方法を使うと $A=QR$（$Q$ は直交行列、$R$ は対角成分が正の上三角行列）と書ける。$P(s):=Q\bigl((1-\lambda(s))R+\lambda(s)I\bigr)$（$\lambda$ は prf-disk-extension の段 1 の関数で、値は $[0,1]$）の括弧の中はすべての $s\in\mathbb{R}$ で対角成分が正の上三角行列なので $P(s)$ は正則であり、$P$ は $A$ と $Q$ を結ぶ。$\det Q=\det A/\det R>0$ なので $\det Q=1$ である。
直交行列は有限個の鏡映 $\rho_u(x)=x-2\langle x,u\rangle u$（$u$ は単位ベクトル）の積である（写像度 の命題「直交変換の写像度」の証明の中で示されている）。$\det\rho_u=-1$ なので、$Q=\rho_{u_1}\rho_{u_2}\cdots\rho_{u_{2k}}$ と偶数個の積に書ける。$n=1$ なら $Q=I$ である。$n\ge2$ とし、2 つの単位ベクトル $u,v$ について $\rho_u\rho_v$ を $I$ と結ぶ。$v=\pm u$ なら $\rho_v=\rho_u$ で $\rho_u\rho_v=I$ である。そうでなければ、$u,v$ の張る平面の中で $v$ に直交する単位ベクトル $w$ と $0<\theta<\pi$ を $u=\cos\theta\,v+\sin\theta\,w$ となるようにとり、$v(s):=\cos(s\theta)v+\sin(s\theta)w$ とおく。$s\mapsto\rho_u\rho_{v(s)}$ は滑らかで、$\rho_u\rho_v$ と $\rho_u^2=I$ を結ぶ。これを $Q$ の先頭の組から順に使い、$Q\mapsto\rho_{u_3}\cdots\rho_{u_{2k}}\mapsto\cdots\mapsto I$ と結ぶ。$\square$

$f(D^n)$ はコンパクトなので、$f$ の延長 $F$ の定義域を小さくして $F(B_\rho)\subset U$ としてよい（$F^{-1}(U)$ は $D^n$ を含む開集合なので、ある $B_\rho$（$\rho>1$）を含む）。$g$ の延長 $G$ も同様にし、共通の $\rho$ をとる。$a:=\phi\circ F$、$b:=\phi\circ G$ は $B_\rho$ から $\mathbb{R}^n$ への開埋め込みである。$\mathbb{R}^n$ のコンパクト台のイソトピー $H$ を $\phi^{-1}\circ H_s\circ\phi$（$U$ の上）と恒等写像（$U$ の外）でつなぐと、$H_s$ が恒等写像でない点はコンパクト集合 $\phi^{-1}(C)$ に含まれ、これは $M$ の閉集合なので、$M$ のコンパクト台のイソトピーになる。したがって、$\mathbb{R}^n$ の中の滑らかな円板として $a\vert_{D^n}\simeq b\vert_{D^n}$ を示せばよい。
段 1（線形化）．$\varepsilon>0$ と $\rho'>1$ を $(1+\varepsilon)\rho'<\rho$ となるようにとり、$(t,x)\in(-\varepsilon,1+\varepsilon)\times B_{\rho'}$ について（$\lvert\sigma tx\rvert<(1+\varepsilon)\rho'<\rho$ なので右辺は定まる）
$$ a_t(x):=a(0)+\int_0^1Da(\sigma tx)\,x\,d\sigma $$
とおく。$a_t$ は $(t,x)$ について滑らかで、$t\ne0$ では $a_t(x)=a(0)+\bigl(a(tx)-a(0)\bigr)/t$、$t=0$ では $a_0(x)=a(0)+Da(0)x$ である。$t\ne0$ の $a_t$ は、$x\mapsto tx$、$a$、アフィン同型の合成なので開埋め込みであり、$a_0$ は可逆なアフィン写像である。lem-disk-extension により、$a_0\vert_{D^n}\simeq a_1\vert_{D^n}=a\vert_{D^n}$ である。同様に $b\vert_{D^n}\simeq b_0\vert_{D^n}$、$b_0(x)=b(0)+Db(0)x$ である。
段 2（アフィン写像どうし）．$\det Da(0)$ と $\det Db(0)$ は仮定により同符号なので、lem-disk-gl の $P_1,\dots,P_m$ で $Da(0)$ と $Db(0)$ を結ぶ。$x\mapsto\bigl((1-t)a(0)+tb(0)\bigr)+Da(0)x$、および $x\mapsto b(0)+P_i(t)x$（$i=1,\dots,m$）は、どれも可逆なアフィン写像の滑らかな族なので、lem-disk-extension を順に使って $a_0\vert_{D^n}\simeq b_0\vert_{D^n}$ を得る。
lem-disk-equivalence の推移律から $a\vert_{D^n}\simeq b\vert_{D^n}$ である。$\square$

段 1（円板を縮める）．滑らかな円板 $g$ とその延長 $G\colon B_\rho\to M$、$0<\varepsilon\le1$ について、$g_\varepsilon(x):=G(\varepsilon x)$ とおくと $g\simeq g_\varepsilon$ である。実際、$\theta\colon B_\rho\to\mathbb{R}^n$ を上の微分同相写像とすると $\phi:=\theta\circ G^{-1}$ は $G(B_\rho)$ の全体座標で、$g$ と $g_\varepsilon$ の像はともに $G(B_\rho)$ に含まれ、$\phi$ に関する符号はどちらも $\det D\theta(0)$ の符号である（$g_\varepsilon$ では $\varepsilon^n$ 倍になるだけ）。よって lem-disk-local による。
段 2（同じ座標近傍の中）．$\phi\colon U\to\mathbb{R}^n$ を全体座標とし、$g,g'$ を中心が $U$ に入り $\phi$ に関する符号が等しい滑らかな円板とすると、$g\simeq g'$ である。実際、延長の連続性と $D^n$ のコンパクト性から、小さい $\varepsilon$ で $g_\varepsilon(D^n)$、$g'_\varepsilon(D^n)$ は $U$ に含まれ、符号は変わらないので、段 1 と lem-disk-local と推移律による。また、$p\in U$ を中心とし $\phi$ に関する符号が $\pm$ の円板は、$x\mapsto\phi^{-1}(\phi(p)+x)$ と $x\mapsto\phi^{-1}(\phi(p)+r(x))$ として存在する。
段 3（向き付けられた場合）．$M$ に向きを入れる。$f,g$ がともに向きを逆にするなら $f\circ r$、$g\circ r$ はともに向きを保ち、$H_1\circ f\circ r=g\circ r$ から $H_1\circ f=g$ が従うので、$f,g$ はともに向きを保つとしてよい。各点は、向きを保つ連結な全体座標の定義域に含まれる（向きを逆にするなら $r$ を合成する）。そのような $\phi\colon U\to\mathbb{R}^n$ について、中心が $U$ に入る円板の $\phi$ に関する符号が正であることと、円板が向きを保つことは同値である。
$$ A:=\{p\in M\mid p\text{ を中心とする向きを保つ滑らかな円板はすべて }f\simeq\text{ をみたす}\} $$
とおく。段 2 により、中心が $U$ に入る向きを保つ円板はすべて互いに $\simeq$ で移り合うので、$U\subset A$ か $U\cap A=\emptyset$ のどちらかである。よって $A$ と $M\setminus A$ はともに開集合である。$f$ は $f(0)$ を中心とする向きを保つ円板なので、$f(0)$ のまわりの $U$ は $A$ に含まれ、$A\ne\emptyset$ である。$M$ は連結なので $A=M$ であり、$g\simeq f$ である。
段 4（向き付け不可能な場合）．$p$ を中心とする円板 $g$（延長 $G$）について、$dG_0(e_1),\dots,dG_0(e_n)$ が定める $T_pM$ の向きを $o(g)$ と書き、
$$ S(p):=\{o(g)\mid g\text{ は }p\text{ を中心とする滑らかな円板で }g\simeq f\} $$
とおく。$S(p)$ は $T_pM$ の 2 つの向きの一部である。連結な全体座標 $\phi\colon U\to\mathbb{R}^n$ と $p\in U$ について、$\phi$ の座標基底が定める $T_pM$ の向きを $o^\phi_p$ とすると、$p$ を中心とする円板 $g$ の $\phi$ に関する符号が正であることは $o(g)=o^\phi_p$ と同値である。段 2 により、$p,p'\in U$ について
$$ o^\phi_p\in S(p)\iff o^\phi_{p'}\in S(p'),\qquad-o^\phi_p\in S(p)\iff-o^\phi_{p'}\in S(p') $$
である。したがって $S(p)$ の元の個数 $k(p)\in\{0,1,2\}$ は各 $U$ の上で一定であり、$\{k=0\}$、$\{k=1\}$、$\{k=2\}$ はどれも開集合である。$M$ は連結なので、どれか 1 つが $M$ に一致する。$o(f)\in S(f(0))$ なので $k(f(0))\ge1$ である。
$k\equiv1$ と仮定する。各点 $p$ に、$S(p)=\{o^\phi_p\}$ となる連結な全体座標 $\phi$ をとる（逆なら $r\circ\phi$ に替える）。上の同値により、定義域のすべての点 $q$ で $S(q)=\{o^\phi_q\}$ である。このような 2 つの全体座標 $\phi$、$\psi$ の定義域の共通部分の点 $q$ では $o^\phi_q=S(q)=o^\psi_q$ なので、座標変換 $\psi\circ\phi^{-1}$ の Jacobi 行列式は正である。したがってこれらは向き付けられた座標近傍系をなし（向き付け可能多様体 の定義「向き付け可能多様体」）、$M$ が向き付け不可能であることに反する。よって $k\equiv2$ である。$g(0)$ では $S(g(0))\ni o(g)$ なので、$g(0)$ を中心とし $o(g')=o(g)$、$g'\simeq f$ となる円板 $g'$ がある。$g$ と $g'$ は中心が同じで同じ符号をもつので段 2 により $g\simeq g'$ であり、$g\simeq f$ である。
段 5（向きを保つこと）．$M$ が向き付けられているとき、$x\in M$ を固定し、$s$ ごとに $dH_s$ が $x$ で向きを保つなら $\epsilon(s)=1$、逆にするなら $\epsilon(s)=-1$ とおく。$s_0$ の近くでは $x$ と $H_{s_0}(x)$ のまわりの正の向きの局所座標で $H_s$ の Jacobi 行列式を書くと、$s$ について連続で $0$ にならないので、$\epsilon$ は局所定数である。$\mathbb{R}$ は連結で $\epsilon(0)=1$ なので $\epsilon(1)=1$ であり、$\Phi:=H_1$ は向きを保つ。$\square$

$M$ が向き付け可能なら向きを 1 つ入れ、$p$、$q$ を中心とする向きを保つ滑らかな円板 $f$、$g$ をとる（段 2・段 3 のとおり正の向きの全体座標から作れる）。向き付け不可能なら、$p$、$q$ を中心とする任意の滑らかな円板をとる。thm-disk-main により $H_1\circ f=g$ となる $H$ があり、$H_1(p)=H_1(f(0))=g(0)=q$ である。$\square$