長完全列

前提知識: 複体, ホモロジー, 完全列, 加群

短い列から次数をまたぐ列へ

長完全列（long exact sequence）は、複数の次数にわたって続く完全列である。ホモロジー代数で中心になるのは、複体の短完全列から作られる長完全列である。三つの複体が各次数で短完全列をなしていても、同じ次数のコホモロジーだけを並べて短完全列になるとは限らない。足りない部分を一つ次の次数につなぐ接続準同型が現れ、全体を長い完全列にする。
接続準同型は、ある複体のサイクルを真ん中の複体へ持ち上げ、その微分を別の複体の中で読み直す操作である。抽象的な定理だが、短い具体例では整数の $2$ 倍写像として現れ、群の大きさや写像の単射性・全射性を決定する。層コホモロジー、位相空間の相対コホモロジー、Ext 群の計算でも同じ形の列を使う。本記事ではコチェイン複体の記法で接続準同型を作り、完全性を各箇所で証明し、計算上の読み方と注意点を扱う。

定義と成立条件

$R$ を単位元を持つ環とし、$R$ 加群のコチェイン複体 $A^\bullet,B^\bullet,C^\bullet$ を考える。コチェイン複体では微分が次数を一つ上げ、$d_A^{n+1}d_A^n=0$ である。$n$ 次コホモロジーは
$$ H^n(A^\bullet)=\ker(d_A^n\colon A^n\to A^{n+1}) /\operatorname{im}(d_A^{n-1}\colon A^{n-1}\to A^n) $$
であり、$B,C$ についても同じように定める。鎖複体の記法では微分が次数を下げるので、後述の接続写像の行き先は $H_{n-1}$ になる。
複体の射 $i\colon A^\bullet\to B^\bullet$ と $q\colon B^\bullet\to C^\bullet$ があり、すべての整数 $n$ で
$$ 0\longrightarrow A^n\xrightarrow{i^n}B^n\xrightarrow{q^n}C^n \longrightarrow0 $$
が短完全列なら、$0\to A^\bullet\xrightarrow iB^\bullet\xrightarrow qC^\bullet\to0$ を複体の短完全列という。ここでは各 $i^n$ が単射、各 $q^n$ が全射、$\operatorname{im}i^n=\ker q^n$ であり、さらに $i,q$ は微分と可換である。この「さらに」がなければコホモロジーの誘導写像は定まらない。

通常の「長い完全列」という言葉は、項数が多い完全列全般にも使える。上の構成を指すときは「短完全列に付随するコホモロジーの長完全列」と言えば曖昧さがない。一般のアーベル圏でも同じ定理が成り立ち、元を取る代わりに蛇の補題で接続射を構成する（StacksLES Lemma 12.13.12）。以下の元による証明は、加群やアーベル群の場合の具体的な姿である。

接続準同型の構成

$[c]\in H^n(C)$ を取り、$c\in C^n$ をコサイクルの代表とする。$q^n$ は全射なので $q^n(b)=c$ となる $b\in B^n$ を選べる。$q$ が複体の射であることから
$$ q^{n+1}(d_B^n b)=d_C^n(q^n b)=d_C^n c=0 $$
である。従って $d_B^n b$ は $\ker q^{n+1}=\operatorname{im}i^{n+1}$ に入り、一意の $a\in A^{n+1}$ により $d_B^n b=i^{n+1}(a)$ と書ける。さらに
$$ i^{n+2}(d_A^{n+1}a)=d_B^{n+1}i^{n+1}(a) =d_B^{n+1}d_B^n b=0 $$
であり、$i^{n+2}$ が単射なので $d_A^{n+1}a=0$ である。そこで $\delta^n([c])=[a]$ と定める。
式で要点を表すと、「$c$ を $b$ に持ち上げる → $b$ の微分を取る → $A$ の元 $a$ として読み直す → $[a]$ を取る」である。$c$ の微分は零でも、選んだ持ち上げ $b$ の微分まで零になるとは限らない。そのずれが接続準同型の値である。これが零なら、$b$ を $A$ の元だけ修正して、コサイクルの持ち上げにできる。

この証明は、代表を替えた場合と持ち上げを替えた場合を分ける点が大切である。一方だけを確認しても、コホモロジー類の写像が定義できたことにはならない。別の文献では接続準同型の符号を逆に定める場合もある。列の完全性に符号は影響しないが、他の自然な写像との可換性には符号規約が影響する。

なぜすべての位置で完全か

この証明で必要なのは、各次数の列の単射・全射・像と核の一致、微分との可換性、微分の二乗が零という条件だけである。複体が有界であることや、列が各次数で分裂することは仮定していない。次数が端で尽きる場合には、存在しない項を零として同じ長完全列を読む。

整数を使った接続写像の計算

接続写像が形式的な零写像とは限らないことを、二項複体で確かめる。$B^0=B^1=\mathbb Z$、$d_B^0$ を $2$ 倍写像とし、他の項は零とする。$A$ は $A^1=\mathbb Z$ のみ非零で、$A^1\to B^1$ を恒等写像とする。$C$ は $C^0=\mathbb Z$ のみ非零で、$B^0\to C^0$ を恒等写像とする。各次数で
$$ 0\to A^n\to B^n\to C^n\to0 $$
は短完全列であり、$i,q$ は複体の射である。次数 $0$ の $C$ のコサイクル $c\in\mathbb Z$ を $B^0$ の同じ整数 $b=c$ に持ち上げると、その微分は $2c\in B^1=A^1$ である。従って
$$ \delta^0\colon H^0(C)=\mathbb Z\longrightarrow H^1(A)=\mathbb Z, \qquad c\longmapsto2c $$
となる。これは零写像でも全射でもない。
$B$ のコホモロジーは $H^0(B)=\ker(2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z)=0$ と $H^1(B)=\operatorname{coker}(2)=\mathbb Z/2\mathbb Z$ である。従って長完全列の非零部分は
$$ 0\longrightarrow\mathbb Z\xrightarrow{\;2\;}\mathbb Z \longrightarrow\mathbb Z/2\mathbb Z\longrightarrow0 $$
になる。左の $\mathbb Z$ は $H^0(C)$、右の $\mathbb Z$ は $H^1(A)$ である。接続写像の像は偶数全体、その次の写像の核も偶数全体なので、完全性を直接目で確認できる。
この例では各次数の短完全列は加群として分裂する。次数 $0$ と次数 $1$ では、一方の端が零だから明らかである。しかし、複体全体として $B^\bullet\cong A^\bullet\oplus C^\bullet$ にはならない。もしそうなら $B$ の微分は直和の微分に対応し、ここでは零になってしまう。実際の $d_B^0=2$ は非零である。次数ごとの分裂と、複体としての分裂は別であり、前者だけから $\delta=0$ と結論してはならない。

自然性と分裂した場合

三つの複体の短完全列から別の短完全列への可換な射があるとき、対応する長完全列の各矢印も可換になる。特に接続準同型は、右端の複体のコホモロジーから左端の複体の一つ次のコホモロジーへの写像として自然に振る舞う。これを接続写像の自然性という（StacksLES）。

自然性は、複体を別の複体で計算し直した場合に、接続準同型の値が比較写像と両立することを保証する。ただし縦の三本の写像が単なる群準同型であればよいわけではない。短完全列の横の写像とも、各複体の微分とも可換である必要がある。

なお逆向きに「全 $\delta^n$ が零だから複体の短完全列は分裂する」とは、一般には言えない。長完全列はコホモロジー上の障害を測るのであって、次数ごとの分裂や複体の射としての切断の存在をすべて記録するわけではない。例えば次数 $0$ にだけ非分裂な加群の短完全列を置いた三つの複体では、行き先の $H^1(A)$ が零だから $\delta^0=0$ だが、元の加群の列は非分裂のままである。

消滅判定と端の読み方

長完全列は、未知の群を一度に全部計算するより、隣の群の消滅から写像の性質を読むと使いやすい。固定した $n$ について
$$ H^{n-1}(C)\xrightarrow{\delta^{n-1}}H^n(A) \xrightarrow{H^n(i)}H^n(B) \xrightarrow{H^n(q)}H^n(C) \xrightarrow{\delta^n}H^{n+1}(A) $$
を抜き出す。$H^{n-1}(C)=0$ なら $H^n(i)$ は単射、$H^n(C)=0$ なら $H^n(i)$ は全射である。従って $H^{n-1}(C)=H^n(C)=0$ なら $H^n(A)\cong H^n(B)$ となる。対称的に $H^n(A)=H^{n+1}(A)=0$ なら $H^n(B)\cong H^n(C)$ である。
この言い方には一つ注意がある。例えば $H^{n-1}(C)=0$ だけで $H^n(A)\to H^n(B)$ が同型とは限らない。単射性と全射性は、長完全列の左側と右側にある別々の群の消滅で決まる。消滅の次数を一つ取り違えると結論も変わる。必要な五項を毎回書き出すのが安全である。
$A$ が全次数で非輪状なら、長完全列から $H^n(B)\to H^n(C)$ は全次数で同型になる。つまり $B^\bullet\to C^\bullet$ は擬同型である。同様に $C$ が非輪状なら $A^\bullet\to B^\bullet$ が擬同型となる。この判定は、商複体または部分複体のコホモロジーを直接計算する代わりに、もう一方の非輪状性を証明すればよいことを示す。
短完全列が $n<0$ で零の複体からなるとき、左端を入れて
$$ 0\to H^0(A)\to H^0(B)\to H^0(C) \xrightarrow{\delta^0}H^1(A)\to H^1(B)\to\cdots $$
と書ける。$H^0(B)\to H^0(C)$ が全射でないことは矛盾ではない。全射性が失敗した分は $\delta^0$ によって $H^1(A)$ へ送られる。層の大域切断でこの形が現れると、局所的には持ち上げられる切断を大域的には持ち上げられない障害が $H^1$ に入る。

他の文脈への接続と限界

ホモロジーを下付き添字で書く鎖複体 $0\to A_\bullet\to B_\bullet\to C_\bullet\to0$ からも長完全列ができる。この場合、接続準同型は $\partial_n\colon H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ と次数を下げる。コチェインの場合の $\delta^n\colon H^n(C)\to H^{n+1}(A)$ と見かけの向きが逆になるのは、元の微分が次数を下げるか上げるかの違いである。位相空間の対に付随する相対ホモロジーの列や、層コホモロジーの列を読み比べるときは、この添字の規約を確かめる。
層の短完全列 $0\to\mathcal F\to\mathcal G\to\mathcal H\to0$ からも、層コホモロジー $H^n(X,-)$ の長完全列が得られる。ただし層の全射は各開集合上の切断の全射を意味しない。従って、各開集合 $U$ の群 $\mathcal F(U),\mathcal G(U),\mathcal H(U)$ に本記事の複体の元による証明をそのまま適用するのは誤りである。入射分解や適切な非輪状分解を用いて長完全列を得る。実際の幾何学的計算では、短完全列そのものは層として確認し、適切な導来関手の長完全列を使う（StacksSheafLES の例を参照）。
導来圏では、複体の短完全列から三角形が作られ、コホモロジーを施して長完全列を得る。写像錐の三角形 $C^\bullet\to D^\bullet\to\operatorname{Cone}(f)\to C^\bullet[1]$ の長完全列からは、$f$ が擬同型であることと錐が非輪状であることの同値性が従う。これは別々の定理に見えて、同じ接続写像の仕組みを異なる形で使っている（StacksDerived Section 13.11）。
長完全列は何でも短完全列にする装置ではない。出発点に短完全列またはそれに相当する三角形が必要であり、接続写像を省いて同じ次数だけをつないだ列が完全になるとは限らない。また長完全列から個々の群の同型型を常に一意に決められるわけでもない。例えば $0\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to E\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to0$ という情報だけでは $E$ が $\mathbb Z/4\mathbb Z$ か $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$ かは決まらない。長完全列は像と核を厳密に制約するが、拡大の情報が別に必要な場合がある。

反例：条件を外すと何が崩れるか

この記事の定理・命題の仮定を一つずつ外すと、次のように結論が崩れる。

参照箇所

関連項目

• 前提: 複体, ホモロジー, 完全列, 加群
• 計算: 核, 像(写像), 余核, 蛇の補題
• 発展: 擬同型, 導来圏, 導来関手