基点の取り替え(基本群)

道の積と逆の道の類についての等式は、すべて 基本群 の命題「道の積はホモトピー類の上で矛盾なく定まる」と定理「基本亜群の公理と基本群の群構造」による。
1：$\gamma\simeq\gamma'$ なら $\bar C\cdot\gamma\cdot C\simeq\bar C\cdot\gamma'\cdot C$ なので、$\Phi_C$ は類の上で定まる。$x$ のループ $\gamma,\delta$ について、$[C\cdot\bar C]=[c_x]$ から
$$ \Phi_C[\gamma]\,\Phi_C[\delta]=[\bar C\cdot\gamma\cdot C\cdot\bar C\cdot\delta\cdot C]=[\bar C\cdot\gamma\cdot\delta\cdot C]=\Phi_C([\gamma][\delta]) $$
である。
2：$C\simeq C'$ なら $\bar C\simeq\bar C'$ であり、$\bar C\cdot\gamma\cdot C\simeq\bar C'\cdot\gamma\cdot C'$ である。
3：$[\bar c_x\cdot\gamma\cdot c_x]=[\gamma]$ である。逆の道の定義式から $\overline{C\cdot D}=\bar D\cdot\bar C$ が写像として成り立つので、$\Phi_{C\cdot D}[\gamma]=[\bar D\cdot\bar C\cdot\gamma\cdot C\cdot D]=\Phi_D(\Phi_C[\gamma])$ である。
4：$\bar{\bar C}=C$ であり、$C\cdot\bar C\simeq c_x$ なので、3 と 2 から $\Phi_{\bar C}\circ\Phi_C=\Phi_{C\cdot\bar C}=\Phi_{c_x}=\mathrm{id}$ である。同様に $\Phi_C\circ\Phi_{\bar C}=\mathrm{id}$ である。$X$ が弧状連結なら任意の二点は道で結べるので、後半が従う。$\square$

1：$L\cdot C=C'\cdot\bar C\cdot C\simeq C'$ なので、thm-cob-basic の 2 と 3 から $\Phi_{C'}=\Phi_{L\cdot C}=\Phi_C\circ\Phi_L$ である。$L$ はループなので $[\bar L]=[L]^{-1}$ であり、$\Phi_L[\gamma]=[L]^{-1}[\gamma][L]=\iota_{[L]}[\gamma]$ である。
2：(a)⇒(c)：1 の証明のとおり $\Phi_L=\iota_{[L]}$ であり、可換群の内部自己同型は恒等写像である。(c)⇒(b)：1 により $\Phi_{C'}=\Phi_C\circ\Phi_{C'\cdot\bar C}=\Phi_C$ である。(b)⇒(a)：ループ $L$ と定値道 $c_x$ はどちらも $x$ から $x$ への道なので、(b) から $\iota_{[L]}=\Phi_L=\Phi_{c_x}=\mathrm{id}$ であり、$[L]$ はすべての元と可換である。$L$ は任意なので $\pi_1(X,x)$ は可換群である。
3：1 から $\Phi_{C'}(g)=\Phi_C(\iota_{[L]}(g))$ であり、$\iota_{[L]}(g)$ は $g$ と共役である。$\Phi_C$ は群の同型なので共役な元を共役な元に写し、$\Phi_{C'}(g)$ と $\Phi_C(g)$ は共役である。同型は共役類の集合の間の全単射を誘導するので、前半が従う。アーベル化では $\iota_{[L]}$ が恒等写像を誘導する（$g^{-1}hg$ と $h$ の像が等しい）ので、後半が従う。$\square$

$x$ のループ $\gamma$ について、$f\circ(\bar C\cdot\gamma\cdot C)=\overline{f\circ C}\cdot(f\circ\gamma)\cdot(f\circ C)$ が写像として成り立つ（基本群 の命題「道の積はホモトピー類の上で矛盾なく定まる」の 3）。左辺の類が $f_*(\Phi_C[\gamma])$、右辺の類が $\Phi_{f\circ C}(f_*[\gamma])$ である。$\square$

$C(0)=C(1)=x$ なので $C$ はループである。上の式を $f=g=\mathrm{id}_X$ とホモトピー $F$ に使うと、$\mathrm{id}=\Phi_C\circ\mathrm{id}$、すなわち $\Phi_C=\mathrm{id}$ である。thm-cob-path の 1 の証明のとおり $\Phi_C=\iota_{[C]}$ なので、すべての $[\gamma]\in\pi_1(X,x)$ について $[C]^{-1}[\gamma][C]=[\gamma]$ である。$\square$

$\delta$ を $g$ を基点とするループとし、$F\colon G\times I\to G$ を $F(h,t):=\delta(t)\,g^{-1}h$ で定める。群の積は連続なので $F$ は連続であり、$\delta(0)=\delta(1)=g$ から $F(h,0)=F(h,1)=h$ である。$F(g,t)=\delta(t)$ なので、thm-cob-center により $[\delta]$ は $\pi_1(G,g)$ の中心に属する。$\delta$ は任意なので、$\pi_1(G,g)$ のすべての元が中心に属し、可換群である。$\square$