通常コホモロジー理論の一意性

1：$D^n$ に $0$ 胞体・$(n-1)$ 胞体・$n$ 胞体を 1 つずつもつ CW 構造（$n=1$ では $0$ 胞体 2 つと $1$ 胞体 1 つ）を入れると、$(D^n,\partial D^n)$ は $n$ 骨格と $(n-1)$ 骨格の対なので、一般コホモロジー理論 の命題「骨格の対のコホモロジー」から従う（$n=0$ では $k^q(\mathrm{pt})$）。3：同じ命題の証明のとおり、$n$ 胞体の特性写像は同型 $k^n(X^n,X^{n-1})\cong\prod_\alpha k^n(D^n_\alpha,\partial D^n_\alpha)$ を誘導する（$n=0$ では加法性公理）。各成分に $\varepsilon_n$ を当てればよい。

2：$D^{n+1}$ は一点とホモトピー同値なので $k^*(D^{n+1})=c^*k^*(\mathrm{pt})$ であり（$c$ は一点への写像）、$S^n$ への制限は分裂する単射である（一般コホモロジー理論 の命題「一点への分解」）。よって対 $(D^{n+1},S^n)$ の完全列 $k^r(D^{n+1})\to k^r(S^n)\xrightarrow{\delta}k^{r+1}(D^{n+1},S^n)\to k^{r+1}(D^{n+1})\to k^{r+1}(S^n)$ で $k^{r+1}(D^{n+1},S^n)\to k^{r+1}(D^{n+1})$ は $0$ になり、$\delta$ は全射で核は $c^*k^r(\mathrm{pt})$ である。$n=0$、$r=0$ では核は $k^0(S^0)=G_k\times G_k$ の対角なので、$\delta u\mapsto u(+1)-u(-1)$ は意味をもち同型である。$n\ge1$、$r=n$ では $k^n(\mathrm{pt})=0$ なので $\delta\colon k^n(S^n)\to k^{n+1}(D^{n+1},S^n)$ は同型であり、$j\colon k^n(S^n,s_n)\to k^n(S^n)$ も同じ命題により同型である。$\kappa_n$ は同相写像 $D^n/\partial D^n\cong S^n$ を誘導するので、切除公理により $\kappa_n^*\colon k^n(S^n,s_n)\to k^n(D^n,\partial D^n)$ は同型である。よって帰納的に $\varepsilon_{n+1}$ は意味をもち同型である。$\square$

基点．$s\in S^n$ を基点とする。$S^n$ は弧状連結なので $f(s)$ から $s$ への道があり、CW 対 $(S^n,\{s\})$ のホモトピー拡張性質（コファイブレーション の例「CW 対と良い基点」）により、$f$ は基点を保つ写像にホモトピックである。写像度も誘導写像もホモトピーで変わらないので、$f$ は基点を保つとしてよい。

ウェッジ和．$W:=S^n\vee S^n$ を部分複体 $S_1,S_2$（$S_1\cap S_2=\{s\}$）の和とする。一般コホモロジー理論 の定理「一般コホモロジー理論の Mayer–Vietoris 完全列」の $k^{n-1}(S_1)\oplus k^{n-1}(S_2)\to k^{n-1}(s)\to k^n(W)\to k^n(S_1)\oplus k^n(S_2)\to k^n(s)=0$ で、一点への制限は全射なので、$(i_1^*,i_2^*)\colon k^n(W)\to k^n(S^n)\oplus k^n(S^n)$ は同型である（$i_a$ は包含）。$q_a\colon W\to S^n$ を他方の球面をつぶす写像とすると、$i_a^*q_a^*=\mathrm{id}$、$a\ne b$ では $q_b\circ i_a$ は定値写像で、その誘導する写像は $k^n(\mathrm{pt})=0$ を経由するので $0$ である。

加法性．基点を保つ $g_1,g_2\colon S^n\to S^n$ の $\pi_n(S^n,s)$ での和は、立方体の第 1 座標を半分に分けるつぶし写像 $c\colon S^n\to W$ を使って $g_1+g_2=(g_1\vee g_2)\circ c$ と表せる（ホモトピー群 の定義「ホモトピー群の演算（$n\geq1$）」）。$u\in k^n(S^n)$ について $i_a^*(g_1\vee g_2)^*u=g_a^*u=i_a^*(q_1^*g_1^*u+q_2^*g_2^*u)$ なので $(g_1\vee g_2)^*u=q_1^*g_1^*u+q_2^*g_2^*u$ であり、$q_1\circ c=\mathrm{id}+(\text{定値})$、$q_2\circ c=(\text{定値})+\mathrm{id}$ はどちらも恒等写像にホモトピックである。よって $(g_1+g_2)^*u=g_1^*u+g_2^*u$ となり、$[g]\mapsto g^*$ は $\pi_n(S^n,s)$ から $k^n(S^n)$ の自己準同型の加法群への準同型である。

結論．$\pi_n(S^n,s)\cong\mathbb Z$ は写像度で与えられ、$[\mathrm{id}]$ が生成元である（ホモトピー群 の例「球面自身: $\pi_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$」）。よって $[f]=(\deg f)[\mathrm{id}]$ で、$f^*=(\deg f)\,\mathrm{id}^*=(\deg f)\,\mathrm{id}$ である。$\square$

有限個のウェッジ和．$n\ge1$ とし、$P:=X^n/X^{n-1}$ の有限個の $n$ 胞体 $e_\beta$（$\beta\in\Lambda$）と基点からなる部分複体を $P_\Lambda$、$\iota_\beta\colon D^n/\partial D^n\to P_\Lambda$ を $e_\beta$ の閉包の包含とする。uoc-prf-degree のウェッジ和の議論を球面の個数について帰納的に使うと $(\iota_\beta^*)_\beta\colon k^n(P_\Lambda)\to\bigoplus_{\beta\in\Lambda}k^n(D^n/\partial D^n)$ は同型である。$\iota_\gamma^*\rho_\beta^*$ は $\gamma=\beta$ で恒等写像、$\gamma\ne\beta$ で $0$（定値写像は $k^n(\mathrm{pt})=0$ を経由する）なので、$v\in k^n(P_\Lambda)$ について $v=\sum_{\beta\in\Lambda}\rho_\beta^*\iota_\beta^*v$ である（$\rho_\beta$ は $P_\Lambda$ に制限したもの）。

1．切除公理により $z=\pi^*\hat z$（$\hat z\in k^n(P,\ast)$）と書ける（$X^{n-1}=\emptyset$ なら $X^n=\emptyset$ で主張は自明）。$\pi\circ\varphi_\alpha$ の像はコンパクトなので有限部分複体に含まれ（CW複体 の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」）、ある $P_\Lambda$ への写像 $g\colon S^n\to P_\Lambda$ を与える。$\beta\notin\Lambda$ なら $\rho_\beta\pi\varphi_\alpha$ は定値なので $d_{\alpha\beta}=0$ である。$\hat z_\beta:=j\iota_\beta^*\hat z\in k^n(D^n/\partial D^n)$ とおくと、上の分解と uoc-lem-degree から$$\varphi_\alpha^*jz=g^*j\hat z|_{P_\Lambda}=\sum_{\beta\in\Lambda}(\rho_\beta g)^*\hat z_\beta=\sum_{\beta\in\Lambda}d_{\alpha\beta}\,(\theta_n^{-1})^*\hat z_\beta$$である（$(\rho_\beta g)^*=(\theta_n\rho_\beta g)^*(\theta_n^{-1})^*$）。特性写像 $\Phi_\alpha\colon(D^{n+1},S^n)\to(X^{n+1},X^n)$ についての $\delta$ の自然性から $\Phi_\alpha^*dz=\delta(\varphi_\alpha^*jz)$ なので、$\varepsilon_{n+1}$ の定義と $j$ の自然性により$$(dz)_\alpha=\sum_\beta d_{\alpha\beta}\,\varepsilon_{n+1}\bigl(\delta(\theta_n^{-1})^*\hat z_\beta\bigr)=\sum_\beta d_{\alpha\beta}\,\varepsilon_n\bigl(\kappa_n^*(\theta_n^{-1})^*\iota_\beta^*\hat z\bigr)$$である。$\theta_n^{-1}\circ\kappa_n$ は商写像 $\bar q\colon(D^n,\partial D^n)\to(D^n/\partial D^n,\ast)$ であり、$\pi\circ\Phi_\beta=\iota_\beta\circ\bar q$ なので、$\kappa_n^*(\theta_n^{-1})^*\iota_\beta^*\hat z=\bar q^*\iota_\beta^*\hat z=\Phi_\beta^*\pi^*\hat z=\Phi_\beta^*z$ である。よって $(dz)_\alpha=\sum_\beta d_{\alpha\beta}z_\beta$ である。

2．$X^{-1}=\emptyset$ なので $j$ は恒等写像で、$\varphi_\alpha^*z\in k^0(S^0)$ の $\pm1$ での値は $z$ の $0$ 胞体 $\Phi_\alpha(\pm1)$ での値 $z_{\Phi_\alpha(\pm1)}$ である。$\Phi_\alpha^*dz=\delta(\varphi_\alpha^*z)$ と $\varepsilon_1$ の定義から従う。

3．$n=0$ では $f^*z$ の $0$ 胞体 $e_\alpha$ での値は $z$ の $f(e_\alpha)$ での値である。$n\ge1$ では $z=\pi^*\hat z$ とし、$\pi\circ f\circ\Phi_\alpha=\bar g\circ\bar q$（$\bar g\colon D^n/\partial D^n\to P_\Lambda$）と書くと、$\Phi_\alpha^*f^*z=\bar q^*\bar g^*\hat z$ であり、1 と同じく $\bar g^*\hat z=\sum_\beta(\rho_\beta\bar g)^*\iota_\beta^*\hat z$、$(\rho_\beta\bar g)^*=f_{\alpha\beta}$ 倍（$k^n(D^n/\partial D^n,\ast)\cong k^n(D^n/\partial D^n)$ を通して uoc-lem-degree を当てる）となる。$\varepsilon_n\bar q^*\iota_\beta^*\hat z=z_\beta$ から従う。$\square$

一般コホモロジー理論 の命題「骨格の対のコホモロジー」により $q\ne m$ で $k^q(X^m,X^{m-1})=0$ であり、同じ記事の命題「通常理論の骨格への制限」の 1 により $k^q(X^{q-1})=0$ である。対 $(X^q,X^{q-1})$ の完全列 $k^{q-1}(X^{q-1})\xrightarrow{\delta}C^q_k(X)\xrightarrow{j}k^q(X^q)\to k^q(X^{q-1})=0$ から $j$ は全射で、$\ker j=\operatorname{im}\delta$ である。$q\ge1$ では $k^{q-1}(X^{q-1})$ の元も $j$ の像なので $\operatorname{im}\delta=\operatorname{im}(\delta j)=\operatorname{im}d$、$q=0$ では $k^{-1}(\emptyset)=0$ なので $\ker j=0$ である。よって $\ker j=\operatorname{im}d$ である。対 $(X^{q+1},X^q)$ の完全列 $0=k^q(X^{q+1},X^q)\to k^q(X^{q+1})\xrightarrow{r_q}k^q(X^q)\xrightarrow{\delta}k^{q+1}(X^{q+1},X^q)$ から $r_q$ は単射で、像は $\delta$ の核である。$d=\delta j$ なので $j^{-1}(\operatorname{im}r_q)=\ker d$ である。よって $j$ は同型 $\ker d/\operatorname{im}d\cong\operatorname{im}r_q$ を誘導し、$r_q$ の逆を合成したものが $J_q$ である。$r_q$ が単射なので $r_qJ_q[z]=jz$ が $J_q$ を決め、胞体写像についての自然性はこの式と $j$、$r_q$ の自然性から従う。$\square$

1．同型であること．$\Xi_X$ は同型 $r^h$、$(J^h_q)^{-1}$、$H^q(\Psi_X)$、$J^H_q$、$(r^H)^{-1}$ の合成なので同型である（$q< 0$ では両辺が $0$）。対については、$\pi_A^*$ が同型で、3 で示すとおり $\Xi_{X/A}$ は $j\,h^q(X/A,\ast)$ を $j\,H^q(X/A,\ast;G)$ の上へ写すので、$\Xi_{(X,A)}$ も同型である。一点では $r$、$J_0$ は恒等写像、$C^0_h(\mathrm{pt})=G=C^0_H(\mathrm{pt})$ で $\Psi=\mathrm{id}_G$ なので、$\Xi_{\mathrm{pt}}$ は恒等写像である。

2．CW 複体の間の写像．胞体写像については、$r$、$J$（uoc-lem-skeleta）、$\Psi$（uoc-cor-compare）がどれも自然なので $\Xi$ は自然である。任意の連続写像 $f\colon X\to Y$ は胞体写像 $f_c$ にホモトピックで（胞体近似定理 の定理「胞体近似定理」）、ホモトピー公理により $h^*(f)=h^*(f_c)$、$H^*(f)=H^*(f_c)$ なので、$\Xi$ は $f$ についても自然である。

3．対．$Q:=X/A$ の基点 $\ast$ の包含について 2 と $\Xi_{\mathrm{pt}}=\mathrm{id}$ を使うと、同型 $\Xi_Q$ は一点への制限の核を核の上へ写す。この核は $j\,h^q(Q,\ast)$、$j\,H^q(Q,\ast;G)$ であり（一般コホモロジー理論 の命題「一点への分解」）、$j$ は単射なので、構成の $\Xi_{(X,A)}$ は意味をもつ。対の写像 $f\colon(X,A)\to(Y,B)$ について、$A\ne\emptyset$ なら $f$ は基点を保つ連続写像 $\bar f\colon X/A\to Y/B$ を誘導して $\pi_B\circ f=\bar f\circ\pi_A$ となるので、2 から自然性が従う。$A=\emptyset\ne B$ なら、$f^*\colon h^q(Y,B)\to h^q(X)$ は $h^q(Y,B)\cong h^q(Y/B,\ast)\xrightarrow{j}h^q(Y/B)\to h^q(Y)\xrightarrow{f^*}h^q(X)$（3 つ目は商写像 $Y\to Y/B$ による）と書けるので、やはり 2 から従う。

4．連結準同型．$A\ne\emptyset$、$a\in h^q(A)$ とし、$\Xi_{(X,A)}(\delta a)=\delta\Xi_A(a)$ を示す（$A=\emptyset$ なら $h^q(\emptyset)=0$）。$q\le-2$ なら $H^{q+1}(X,A;G)=0$ なので、$q\ge-1$ とする。

(a) 次元を下げる：$X':=X^{q+1}$、$A':=A\cap X'$ とおくと、$X'/A'$ は $Q:=X/A$ の $(q+1)$ 骨格 $Q^{q+1}$ と同一視される。$H^{q+1}(Q;G)\to H^{q+1}(Q^{q+2};G)$ は同型（一般コホモロジー理論 の命題「通常理論の骨格への制限」の 2）、$H^{q+1}(Q^{q+2};G)\to H^{q+1}(Q^{q+1};G)$ は uoc-lem-skeleta により単射なので、制限 $H^{q+1}(X,A;G)\to H^{q+1}(X',A';G)$ は単射である。$\Xi$ と $\delta$ は包含 $(X',A')\to(X,A)$ について自然なので、$\dim X\le q+1$ の場合に示せばよい。このとき $q=-1$ なら $h^{-1}(A)=0$（一般コホモロジー理論 の命題「通常理論の骨格への制限」の 1）なので、$q\ge0$ とする。

(b) 貼り合わせ（任意の通常理論 $k$ について）：$Z:=X^q$、$C:=A^q=Z\cap A$、$W:=Z\cup A$ とし、$a\in k^q(A)$ とする。$z_A\in C^q_k(A)$ を $jz_A=a|_C$ となるようにとり（uoc-lem-skeleta）、$x\in C^q_k(X)$ を $x|_A=z_A$ となるようにとる（uoc-lem-coboundary の 3 により、制限は $A$ の胞体の座標への射影である）。$b:=jx\in k^q(Z)$ は $b|_C=j(x|_A)=a|_C$ を満たすので、一般コホモロジー理論 の定理「一般コホモロジー理論の Mayer–Vietoris 完全列」により $u\in k^q(W)$ で $u|_Z=b$、$u|_A=a$ となるものがある。$w:=\delta_{(X,W)}u$ とおき、包含を $\iota\colon(X,Z)\to(X,W)$、$\iota'\colon(X,A)\to(X,W)$ とすると、$\delta$ の自然性と $X=X^{q+1}$ から $\iota^*w=\delta_{(X,Z)}b=dx$、$\iota'^*w=\delta_{(X,A)}a$ である。

(c) 余鎖による表示：$Q^q=W/A$、$\dim Q\le q+1$ なので $C^{q+1}_k(Q)=k^{q+1}(Q,Q^q)$ であり、$\pi_W\colon(X,W)\to(Q,Q^q)$ は切除公理により同型 $\pi_W^*$ を誘導する。$\iota^*\pi_W^*$ は胞体写像 $X\to Q$ の誘導する $C^{q+1}_k(Q)\to C^{q+1}_k(X)$ で、uoc-lem-coboundary の 3 により $A$ の胞体の座標を $0$ とする延長なので単射である。$c\in C^{q+1}_h(Q)$ について、$\mu\colon(Q,\ast)\to(Q,Q^q)$ とすると $\iota'^*\pi_W^*c=\pi_A^*\mu^*c$ であり、$\dim Q\le q+1$ から $r=\mathrm{id}$、$J[c]=jc$ なので $\Xi_Q(jc)=j\Psi_Qc$ である。$j\mu^*=j$ と $j$ の単射性から、構成の定義により $\Xi_{(X,A)}(\iota'^*\pi_W^*c)=\iota'^*\pi_W^*\Psi_Qc$ である。

(d) $h$ について (b) を当てて $x$、$w$ を得て、$c:=(\pi_W^*)^{-1}w$ とおくと、(c) から $\Xi_{(X,A)}(\delta a)=\iota'^*\pi_W^*\Psi_Qc$ である。$H$ について (b) を $\Xi_A(a)$、$\Psi_Az_A$、$\Psi_Xx$ で当てる。これが許されるのは、$\dim A\le q+1$ から $J^h[z_A]=a$（$r_qJ^h[z_A]=jz_A=r_qa$）で、$\Xi_A(a)=J^H[\Psi_Az_A]$ の $C$ への制限が $j\Psi_Az_A$ になり、$(\Psi_Xx)|_A=\Psi_Az_A$ だからである。得られた $w'$ は $\iota'^*w'=\delta\Xi_A(a)$、$\iota^*w'=d\Psi_Xx$ を満たす。一方 $\iota^*\pi_W^*\Psi_Qc=\Psi_X\iota^*\pi_W^*c=\Psi_X\iota^*w=\Psi_Xdx=d\Psi_Xx$ である（uoc-cor-compare）。$\iota^*\pi_W^*$ は単射なので $\pi_W^*\Psi_Qc=w'$ であり、$\Xi_{(X,A)}(\delta a)=\iota'^*w'=\delta\Xi_A(a)$ である。

5．一意性．$\Xi'$ も条件 1〜3 を満たすとする。$\beta:=\Xi'\circ\Xi^{-1}$ は $H^*(-;G)$ の自然な自己準同型で、$\delta$ と可換で一点で恒等写像である。$\varepsilon_n$ の定義（uoc-lem-disk の 2）は一点への制限、各点への制限、$\delta$、$j$、$\kappa_n^*$ だけからなるので、$n$ についての帰納法で $\varepsilon_n\circ\beta=\varepsilon_n$、すなわち $H^n(D^n,\partial D^n;G)$ の上で $\beta=\mathrm{id}$ である。$\Phi_\alpha^*$ との可換性から $C^n_H(X)$ の上で $\beta=\mathrm{id}$ であり、$r_qJ_q[z]=jz$ と $r_q$ の単射性から $H^q(X^{q+1};G)$ の上で、同型 $r^H$ との可換性から $H^q(X;G)$ の上で $\beta=\mathrm{id}$ である。対については $\pi_A^*$ と $j$ を通して従う。よって $\Xi'=\Xi$ である。$\square$