Baerの判定法

必要性。 $E$ が入射的なら、包含 $\mathfrak a\subset R$ に定義を当てはめれば、$f\colon\mathfrak a\to E$ は $g\colon R\to E$ に延びる。$e:=g(1)$ とおけば、$r\in\mathfrak a$ について $f(r)=g(r)=re$ である。
十分性。 $E$ が Baer の条件をみたすとし、部分加群 $A\subset B$ と $R$ 準同型 $f\colon A\to E$ をとる。延長の候補の集合
$$ \mathcal S:=\{(C,h)\mid A\subset C\subset B\ \text{は部分加群},\ h\colon C\to E\ \text{は}\ R\ \text{準同型},\ h|_A=f\} $$
に、$(C,h)\le(C',h')\iff C\subset C'$ かつ $h'|_C=h$ で順序を入れる。$(A,f)\in\mathcal S$ なので $\mathcal S$ は空でない。
$\mathcal S$ の空でない全順序部分集合 $\{(C_\lambda,h_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}$ をとり、$C^*:=\bigcup_\lambda C_\lambda$ とおく。$x,y\in C^*$ はそれぞれある $C_\lambda$、$C_\mu$ に属し、全順序性から一方が他方を含むので、$x+y$ と $rx$（$r\in R$）は $C^*$ に属する。よって $C^*$ は部分加群である。$x\in C_\lambda$ について $h^*(x):=h_\lambda(x)$ と定める。$x\in C_\lambda\cap C_\mu$ で $(C_\lambda,h_\lambda)\le(C_\mu,h_\mu)$ なら $h_\mu(x)=h_\lambda(x)$ なので、$h^*$ は $\lambda$ の選び方によらない。同じく 2 元を共通の $C_\lambda$ に入れて計算すれば、$h^*$ は $R$ 準同型で、$h^*|_A=f$ である。$(C^*,h^*)$ はこの全順序部分集合の上界である。Zornの補題により、$\mathcal S$ は極大元 $(C_0,h_0)$ をもつ。
$C_0=B$ を示す。$C_0\neq B$ と仮定して $b\in B\setminus C_0$ をとり、
$$ \mathfrak a:=\{r\in R\mid rb\in C_0\} $$
とおく。$r,s\in\mathfrak a$、$t\in R$ なら $(r+s)b=rb+sb\in C_0$、$(tr)b=t(rb)\in C_0$ なので、$\mathfrak a$ は左イデアルである。$\varphi\colon\mathfrak a\to E$、$\varphi(r):=h_0(rb)$ は $R$ 準同型である（$\varphi(tr)=h_0(t\,rb)=t\,h_0(rb)$）。Baer の条件により、すべての $r\in\mathfrak a$ について $h_0(rb)=re$ をみたす $e\in E$ がある。部分加群 $C_1:=C_0+Rb$ の上で
$$ h_1(c+rb):=h_0(c)+re\qquad(c\in C_0,\ r\in R) $$
と定める。これは表し方によらない。実際 $c+rb=c'+r'b$ なら $(r-r')b=c'-c\in C_0$ なので $r-r'\in\mathfrak a$ であり、
$$ h_0(c')-h_0(c)=h_0\bigl((r-r')b\bigr)=(r-r')e $$
から $h_0(c)+re=h_0(c')+r'e$ を得る。$h_1$ が加法的で $h_1(t(c+rb))=h_0(tc)+tre=t\,h_1(c+rb)$ をみたすことは式から分かり、$h_1|_{C_0}=h_0$ である。よって $(C_1,h_1)\in\mathcal S$ で、$b\in C_1\setminus C_0$ なので $(C_0,h_0)<(C_1,h_1)$ となり、極大性に反する。ゆえに $C_0=B$ であり、$h_0$ が $f$ の $B$ への延長である。$\blacksquare$

左イデアル $\mathfrak a$ について短完全列 $0\to\mathfrak a\to R\to R/\mathfrak a\to0$ に $\operatorname{Hom}_R(-,E)$ を施すと、Ext関手 の長完全列
$$ \operatorname{Hom}_R(R,E)\xrightarrow{\ \rho\ }\operatorname{Hom}_R(\mathfrak a,E)\longrightarrow\operatorname{Ext}^1_R(R/\mathfrak a,E)\longrightarrow\operatorname{Ext}^1_R(R,E) $$
を得る。$\rho$ は制限写像である。$R$ は自由加群なので射影的であり、$\operatorname{Ext}^1_R(R,E)=0$ である。よって $\operatorname{Ext}^1_R(R/\mathfrak a,E)\cong\operatorname{coker}\rho$ であり、$\operatorname{Ext}^1_R(R/\mathfrak a,E)=0$ は「$\mathfrak a$ からの準同型がすべて $R$ に延びる」ことと同値である。すべての $\mathfrak a$ について合わせると、2 は Baer の条件そのものであり、thm-baer-main により 1 と同値である。$\blacksquare$

$II^{-1}=R$ なので、$a_1,\dots,a_n\in I$ と $b_1,\dots,b_n\in I^{-1}$ で $\sum_ia_ib_i=1$ となるものがある。$0$ でない $s\in R$ を、すべての $i$ について $c_i:=sb_i\in R$ となるようにとる（各 $b_i$ の分母の積でよい）。$M$ は可除なので $sy_i=f(a_i)$ をみたす $y_i\in M$ がある。$e:=\sum_ic_iy_i$ とおく。
$r\in I$ とする。$b_i\in I^{-1}$ なので $rb_i\in R$ であり、$r=r\sum_ia_ib_i=\sum_i(rb_i)a_i$ は $R$ 係数の和である。$f$ の $R$ 線形性から
$$ f(r)=\sum_i(rb_i)f(a_i)=\sum_i(rb_i)\,s\,y_i=\sum_irc_iy_i=re $$
となる（$(rb_i)s=rc_i$ は $R$ の中の等式）。$\blacksquare$

入射的なら可除であることは上に述べた。逆に $M$ を可除とする。Dedekind 整域の $0$ でないイデアルは可逆である（Dedekind整域 の定理「Dedekind整域のイデアル論的特徴づけ」の条件 3）。よって $0$ でないイデアルからの準同型は prop-baer-invertible により $R$ に延び、零イデアルからの準同型は零写像に延びる。thm-baer-main により $M$ は入射的である。$\blacksquare$

thm-baer-main により、左イデアル $\mathfrak a$ と $f\colon\mathfrak a\to E$ について、$f(r)=re$ となる $e\in E$ を見つければよい。$R$ は左 Noether なので $\mathfrak a=Ra_1+\cdots+Ra_n$ と書ける。直和の元は有限個の成分を除いて $0$ なので、有限集合 $\Lambda_0\subset\Lambda$ で、すべての $j$ について $f(a_j)\in E_0:=\bigoplus_{\lambda\in\Lambda_0}E_\lambda$ となるものがある。$f(\sum_jr_ja_j)=\sum_jr_jf(a_j)$ なので $f(\mathfrak a)\subset E_0$ である。$E_0$ は有限個の入射加群の直和、すなわち直積なので入射的であり、thm-baer-main の必要性により $f(r)=re$（$r\in\mathfrak a$）をみたす $e\in E_0\subset E$ がある。$\blacksquare$