平坦族

要点：閉点では、$\mathfrak m$ の表示 $A^q\to A\to k\to0$ を $\mathcal F$ にテンソルした列に、十分高くひねると $H^0$ が右完全になることを当てる。一般の点では、平坦な $A_{\mathfrak p}$ へ底変換して閉点の場合に帰着する。

要点：中山の補題で $r$ 個の生成元をとり、生成点で次元を比べると関係式の加群は捩れになるが、自由加群の部分加群なので $0$ である。

(a)⇒(b)：$U_I=D_+(x_{i_0}\cdots x_{i_p})$ をアフィン開集合 $\operatorname{Spec}B_I$ とし、$M_I=\mathcal F(U_I)$ とおく。$M_I$ の素イデアル $\mathfrak q\subset B_I$ での局所化は茎 $\mathcal F_x$ であり、仮定によりこれは $A_{\mathfrak p}$（$\mathfrak p$ は $\mathfrak q$ の $A$ への引き戻し）上平坦、$A_{\mathfrak p}$ は $A$ 上平坦なので $A$ 上平坦である（平坦射 の記事の命題「合成と底変換」の証明の前半）。$N'\to N$ を $A$ 加群の単射とし、$L=\ker(N'\otimes_AM_I\to N\otimes_AM_I)$ とおくと、$L$ は $B_I$ 加群で、局所化の完全性からすべての $\mathfrak q$ で $L_{\mathfrak q}=0$、よって $L=0$ である（平坦射 の記事の命題「平坦性の局所性」の 3⇒1 と同じ議論）。ゆえに $M_I$ は $A$ 上平坦である。$U_I$ の上で $\mathcal F(m)\cong\mathcal F$ なので、Čech 複体 $C^\bullet=C^\bullet(\mathcal U,\mathcal F(m))$ の各項は平坦 $A$ 加群の有限直積であり、平坦である。
$X$ は Noether 分離スキームなので、$\mathcal U$ の Čech 複体は層コホモロジーを計算する（Har77 III 定理 4.5）。Serreの消滅定理 により、ある $m_0$ 以上の $m$ で $i\ge1$ の $H^i(X,\mathcal F(m))$ は消えるから、
$$ 0\to H^0(X,\mathcal F(m))\to C^0\to C^1\to\cdots\to C^n\to0 $$
は完全である。$Z^i=\ker(C^i\to C^{i+1})$ とおくと、$0\to Z^i\to C^i\to Z^{i+1}\to0$ は完全で $Z^n=C^n$ である。平坦加群への全射の核は平坦である（$\operatorname{Tor}$ の長完全列で $\operatorname{Tor}_2(-,Z^{i+1})=0$、$\operatorname{Tor}_1(-,C^i)=0$ から $\operatorname{Tor}_1(-,Z^i)=0$。平坦射 の記事の命題「$\operatorname{Tor}$ による平坦性の特徴づけ」）。$i$ を下げながら、$Z^0=H^0(X,\mathcal F(m))$ は平坦である。この加群は有限生成であり（Har77 III 定理 5.2 (a)）、Noether 局所環上の有限生成平坦加群は自由である（平坦射 の記事の注意「イデアルによる判定と局所判定」）。
(b)⇒(a)：$M=\bigoplus_{m\ge m_0}H^0(X,\mathcal F(m))$ は次数付き $S$ 加群で、$A$ 加群として自由である。$\Gamma_*(\mathcal F)=\bigoplus_{m\in\mathbb Z}H^0(X,\mathcal F(m))$ について $\Gamma_*(\mathcal F)^\sim\cong\mathcal F$ である（Har77 II 命題 5.15）。$\Gamma_*(\mathcal F)_{(x_i)}$ の元 $s/x_i^e$ は $x_i^js/x_i^{e+j}$ に等しいので、次数の高い部分だけを使って書け、$M_{(x_i)}=\Gamma_*(\mathcal F)_{(x_i)}$、すなわち $\mathcal F(D_+(x_i))\cong M_{(x_i)}$ である。$A$ 加群 $N$ について $N\otimes_AM_{x_i}=(N\otimes_AM)_{x_i}$ であり、$N\mapsto N\otimes_AM$ と局所化はどちらも完全だから、$M_{x_i}$ は $A$ 上平坦である。$M_{(x_i)}$ はその次数 $0$ の部分で、$A$ 加群の直和因子だから平坦である。茎はその局所化なので、$\mathcal F$ は $\operatorname{Spec}A$ 上平坦である。
(b)⇒(c)：$m\ge m_0$ で $r_m:=\operatorname{rank}_AH^0(X,\mathcal F(m))$ とおく。各 $t$ について、lem-flat-family-sections-fibre と $P_t$ の定義から、十分大きいすべての $m$ で $P_t(m)=\dim_{\kappa(t)}H^0(X,\mathcal F(m))\otimes_A\kappa(t)=r_m$ である。2 つの多項式が無限個の整数で一致すれば等しいので、$P_t$ は $t$ によらない。
(c)⇒(b)：$A$ を整域、$t_0$ を閉点、$\eta$ を生成点とする。lem-flat-family-sections-fibre を $t_0$ と $\eta$ に当て、十分大きい $m$ で
$$ \dim_kH^0(X,\mathcal F(m))\otimes_Ak=P_{t_0}(m)=P_\eta(m)=\dim_KH^0(X,\mathcal F(m))\otimes_AK $$
を得る。$H^0(X,\mathcal F(m))$ は有限生成なので、lem-flat-family-rank により自由である。$\square$

$t\in T$ をとり、$A=\mathcal O_{T,t}$、$T'=\operatorname{Spec}A\to T$ とする。$T'$ の点は $t$ の一般化（$\overline{\{t'\}}\ni t$ となる $t'$）に対応し、剰余体は変わらない。$X'=\mathbb P^n_A=\mathbb P^n_T\times_TT'$ の点は $\mathbb P^n_T$ のうち $T'$ の点の上にある点に対応し、局所環は変わらない（アフィン開集合の上では、局所化の局所化である）。よって $\mathcal F$ の $X'$ への引き戻し $\mathcal F'$ について、

• $\mathcal F'$ が $T'$ 上平坦であることと、$\mathcal F$ が $t$ の一般化の上のすべての点で $T$ 上平坦であることは同値である。
• $t'\in T'$ での $\mathcal F'$ のファイバーは $\mathcal F_{t'}$ である。
  $T$ は整なので $A$ は Noether 局所整域であり、$T$ の生成点 $\eta$ は $T'$ に属する。
  1⇒2：$\mathcal F'$ は $T'$ 上平坦なので、prop-flat-family-local の (a)⇒(b)⇒(c) により $P_t=P_\eta$ である。$t$ は任意なので $P_t$ は一定である。
  2⇒1：$t$ ごとに、$T'$ の上で (c) が成り立つ。$A$ は整域なので (c)⇒(b)⇒(a) により $\mathcal F'$ は $T'$ 上平坦であり、とくに $t$ の上の点で $\mathcal F$ は平坦である。$t$ は任意なので $\mathcal F$ は $T$ 上平坦である。
  閉部分スキーム $X\subset\mathbb P^n_T$ については、包含 $\iota$ による $\mathcal F=\iota_*\mathcal O_X$ に当てる。$\mathcal F$ の茎は $X$ の点では $\mathcal O_{X,x}$、$X$ の外では $0$ なので、$\mathcal F$ が平坦であることと $X$ が平坦であることは同値である。また $\mathcal F_t$ は $X_t$ の構造層の押し出しであり（$\mathcal O_{\mathbb P^n_T}$ の商 $\mathcal O_X$ に $\kappa(t)$ をテンソルしたもの）、その Hilbert 多項式は $X_t$ の Hilbert 多項式である。$\square$

1：$\mathcal F=\iota_*\mathcal O_X$ とする。$t\in T$ と $A=\mathcal O_{T,t}$ について、prf-flat-family-hilbert と同じく引き戻し $\mathcal F'$ は $\operatorname{Spec}A$ 上平坦であり、prop-flat-family-local の (a)⇒(b)⇒(c) は $A$ が整域でなくても成り立つから、$t$ のすべての一般化 $t'$ で $P_{t'}=P_t$ である。$T$ は Noether なので既約成分 $T_1,\dots,T_s$ は有限個で、$T_j$ の生成点 $\eta_j$ は $T_j$ のすべての点の一般化だから、$P_t$ は各 $T_j$ の上で $P_{\eta_j}$ に等しい。$T_j\cap T_l\ne\emptyset$ なら $P_{\eta_j}=P_{\eta_l}$ である。$P_{\eta_j}$ の値ごとに既約成分を分けると、異なる組の和集合どうしは交わらない閉集合で $T$ を覆う。$T$ は連結だから組は 1 つで、$P_t$ は一定である。
2：$X\ne\emptyset$ なら空でないファイバーがあり、その Hilbert 多項式は $0$ でない（def-flat-family-hilbert の後の注意）。1 によりすべての $P_t$ は $0$ でなく、すべての $X_t$ は空でない。空でない射影スキームの次元は Hilbert 多項式の次数に等しい（Hilbert多項式 の注意「射影多様体の Hilbert 多項式」、Har77 I 定理 7.5 を代数閉包 $\overline{\kappa(t)}$ への底変換で使う。Hilbert 多項式は基礎体の拡大で変わらず、次元も変わらない（EGA4 系 4.1.4（p. 54）・系 5.2.2（p. 90））。この記事では証明しない）。算術種数の式は 算術種数 の定理「Hilbert 多項式の定数項」である。3 つの量はどれも $P_t$ だけで決まるので一定である。$\square$