多重ゼータ値の連結和法

前提知識: 多重ゼータ値, 級数

方法の考え方

多重ゼータ値の等式には、級数表示から直接見ると左辺と右辺の形が大きく異なるものがある。連結和法は、二つの添字集合をコネクターと呼ばれる因子で結んだ補助級数を導入し、その上で単純な局所変形を繰り返して一方の境界値を他方の境界値へ運ぶ方法である。Seki--Yamamotoはこの方法を用いて、反復積分を使わずに多重ゼータ値の双対性を証明した SY19。
模式的には、示したい等式 $A=B$ の間に
$$ A=Z_0=Z_1=\cdots=Z_N=B $$
という補助量の列を作る。端点を元の対象へ戻す等式を境界条件、隣接する補助量を結ぶ等式を輸送関係という。実際の連結和は、単なる補間ではなく、輸送関係が望遠鏡和や部分分数分解で証明できるよう設計される。

連結和という名称は、位相多様体の連結和とは別の文脈で使われている。本記事では多重ゼータ値の級数を結ぶ方法だけを扱う。

インデックスと双対

正整数の有限列
$$ \boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r) $$
をインデックスという。空列を $\emptyset$ と書く。空でないインデックスについて
$$ \boldsymbol{k}_{\rightarrow}:=(k_1,\ldots,k_r,1), \qquad \boldsymbol{k}_{\uparrow}:=(k_1,\ldots,k_r+1) $$
とおき、$\emptyset_{\rightarrow}:=(1)$ と約束する。最後の成分が $2$ 以上のインデックスを許容インデックスという。
許容インデックス $\boldsymbol{k}$ に対する多重ゼータ値は
$$ \zeta(\boldsymbol{k}) =\sum_{0< m_1<\cdots< m_r} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}} $$
である。本記事は分母の添字を小さい順に並べる規約を採るので、許容条件は最後の成分 $k_r\geq2$ である。
インデックスを $0,1$ の語
$$ W(\boldsymbol{k}) :=1\,0^{k_1-1}\cdots1\,0^{k_r-1} $$
で符号化する。語を逆順にし、さらに $0$ と $1$ を交換する操作を $\tau$ と書く。

例えば
$$ W((3))=100,\qquad \tau(100)=110=W((1,2)) $$
なので $(3)^{\dagger}=(1,2)$ である。また双対操作を二回行えば元に戻る。

階乗コネクター

非負整数 $m,n$ に対して
$$ C(m,n):=\frac{m!n!}{(m+n)!} =\binom{m+n}{m}^{-1} $$
とおく。これが双対性の連結和に使うコネクターである。$C(m,n)=C(n,m)$ であり、$C(m,0)=C(0,m)=1$ である。

この恒等式の右辺に現れる $1/n$ が、一方のインデックスの末尾にある $1$ を、他方のインデックスの最後の成分の増加へ移す。

双対性の連結和

空でないインデックス
$$ \boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r),\qquad \boldsymbol{l}=(l_1,\ldots,l_s) $$
に対して
$$ Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}) :=\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_r\\0< n_1<\cdots< n_s}} \frac{1}{m_1^{k_1}\cdots m_r^{k_r}} C(m_r,n_s) \frac{1}{n_1^{l_1}\cdots n_s^{l_s}} $$
と定める。これを双対性の連結和という。空の側については、許容インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し境界条件
$$ Z(\boldsymbol{k};\emptyset) =Z(\emptyset;\boldsymbol{k}) :=\zeta(\boldsymbol{k}) $$
で定める。
一般に非許容なインデックスを含む多重ゼータ級数は発散しうる。しかし二つの側が空でない連結和では、階乗コネクターが十分な減衰を与え、ここで用いる級数は絶対収束する。この収束性を含む構成は SY19 の導入部とTheorem 2.2--Corollary 2.3 を参照されたい。全項が非負なので、以下の証明ではTonelliの定理により和の順序を交換できる。

双対性の完全証明

何が本質か

階乗コネクターは、単に二つの和を掛け合わせる装飾ではない。望遠鏡和
$$ \frac{1}{a}C(a,n) =\frac{C(a-1,n)-C(a,n)}{n} $$
が、添字操作 $\rightarrow$ と $\uparrow$ を交換する輸送関係を生む。この「コネクターの差分恒等式」と「境界で元の値を回復すること」の両方がそろって初めて連結和法になる。

双対性以外にも、コネクターを変えることで大野の関係式、その $q$ 類似、調和積・シャッフル積に関する関係式へ連結和法を応用できる。ただし、それぞれ収束領域、境界条件、輸送関係が異なる。本記事の階乗コネクターの式を仮定なしに流用することはできない。発展例とコネクターの比較は SY19 を参照されたい。

輸送中の級数が収束する理由

輸送関係を使う前に、二つの側がともに空でない場合の収束を確認する。指数をすべて1に下げると各項が大きくなるので、その場合を上から抑えれば十分である。最後の変数を $m,n$ に固定すると、前の変数についての和はそれぞれ $(1+\log m)^{r-1}/(r-1)!$ と $(1+\log n)^{s-1}/(s-1)!$ 以下である。従って定数倍を除き、調べるべき級数は
$$ \sum_{m,n\ge1}\frac{(1+\log m)^{r-1}(1+\log n)^{s-1}}{mn}C(m,n) $$
となる。

この評価を代入すると二重級数は
$$ 2\left(\sum_{m\ge1}\frac{(1+\log m)^{r-1}}{m^2}\right) \left(\sum_{n\ge1}\frac{(1+\log n)^{s-1}}{n^2}\right) $$
で抑えられる。二つの一変数級数は積分判定法で収束する。よって、両側が空でない任意の正整数インデックスに対し連結和は有限値として定まる。左か右が空になったときはコネクターが1になるため、残った側の通常の許容条件が必要になる。この区別により、両側で非許容列を許せることと、境界で非許容列を許せることを取り違えずに済む。

輸送が有限回で終わること

左側の語の長さは、そのインデックスの重さに等しい。一回の輸送は左の語の末尾一文字を消し、右へ交換した一文字を追加するため、左の重さを必ず1減らす。従って重さ $w$ から出発すれば、ちょうど $w$ 回で左が空になる。この説明は、途中で同じ状態へ戻る可能性を除き、輸送アルゴリズムが有限回で終了することを保証する。
許容列の語は1で始まり0で終わる。最初の輸送では左の末尾の0が右の最初の1へ移るので、空の右側へ上矢印を適用する必要はない。その後、左の末尾が1になっても、右側は既に空でないので最後の成分を増やせる。最後に左から消す文字は最初の1だから、右の語の最後へ0が付く。従って最終的な右の列も許容となり、境界値が収束する。この端点の確認は、単に語を反転すると述べるだけでは省略されやすい。

有限打切りの境界項

望遠鏡和を有限範囲で使うときは
$$ \sum_{a=m+1}^{N}\frac{C(a,n)}a=\frac{C(m,n)-C(N,n)}n $$
が正しい式である。無限の輸送関係を同じまま有限打切りへ適用すると、$C(N,n)/n$ が失われる。例えば $m=0,n=1$ なら左辺は $\sum_{a=1}^N1/(a(a+1))=1-1/(N+1)$ であり、1には等しくない。$N\to\infty$ で境界項が消えることが、無限和の輸送を可能にする。

この表の第二行は、連結和法が有限計算に適さないという意味ではない。境界項を残せば有限版の恒等式も厳密に利用できる。実際の数値近似では、この正の境界項の大きさを評価すると誤差を制御できる。有限和の段階の等式、上限を無限へ送る操作、最終的なゼータ値の等式を順に扱うことが大切である。

方法の拡張で変わるもの

双対性の証明は、左右の指数操作が交換されることに強く依存する。別の関係式を示すためにコネクターを変えたら、同じ矢印操作が使えるとは限らない。まず補助量の定義域と絶対収束領域を決め、次に差分恒等式を求め、最後に境界でどの値へ戻るかを確認する。原型での階乗比を別の因子へ置き換えただけで、定理全体が自動的に一般化されることはない。
とくに正項級数であることは、輸送の途中で和を交換する際の強い利点である。符号や複素数パラメータを入れる拡張では、同じTonelliの議論をそのまま使えない。絶対値を取った級数を評価するか、交換を正当化する別の収束定理を用意する必要がある。連結和法の骨格は共通でも、解析的な前提は各拡張の定義に従って確認する。

関連項目

• 前提: 多重ゼータ値
• 比較: Hoffman代数
• 発展: 多重ゼータスター値, 補間多重ゼータ値, 多項式多重ゼータ値, レベル2多重ゼータ値