井草の定理
概要
井草の定理（Igusa's theorem）とは、奇素数 $p$ と $m=(p-1)/2$ に対する Hasse 多項式 $H_p(\lambda)=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}^2\lambda^i\in\mathbb{F}_p[\lambda]$ が $\bar{\mathbb{F}}_p$ に重根をもたないという定理である。Legendre 形の楕円曲線 $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$（$\lambda\ne0,1$）は $H_p(\lambda)=0$ のときに限り超特異なので、超特異な $\lambda$ はちょうど $m$ 個ある。証明の鍵は $H_p$ が超幾何型の 2 階微分方程式をみたすことで、$p\ge5$ での超特異な $j$ 不変量の個数の公式が従う。
奇素数 $p$ と $m=(p-1)/2$ に対し、$\mathbb{F}_p$ 係数の多項式
$$
H_p(\lambda)=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}^2\lambda^i
$$
を Hasse 多項式という。Legendre 形の楕円曲線 $E_\lambda\colon y^2=x(x-1)(x-\lambda)$（$\lambda\in\bar{\mathbb{F}}_p\setminus\{0,1\}$）が超特異であることは $H_p(\lambda)=0$ と同値なので、超特異な $E_\lambda$ を数える問題は $H_p$ の根を数える問題になる。井草の定理は、$H_p$ が $\bar{\mathbb{F}}_p$ に重根をもたないことを主張する。したがって超特異な $\lambda$ はちょうど $m$ 個あり、$\lambda\mapsto j(E_\lambda)$ のファイバーの大きさと合わせると、超特異な $j$ 不変量の個数が $p$ の式で決まる。
証明の鍵は、$H_p$ が 2 階の線形微分方程式
$$
4\lambda(1-\lambda)H''+4(1-2\lambda)H'-H=0
$$
を $\mathbb{F}_p[\lambda]$ でみたすことである。この方程式は、複素数体上で Legendre 族の周期がみたす Picard–Fuchs 方程式と同じ形をしており、$H_p$ は超幾何級数 ${}_2F_1(\tfrac12,\tfrac12;1;\lambda)$ を $\bmod p$ で切り詰めたものになっている。
なお「井草の定理（Igusa's theorem）」の名は、$p$ 進体上の局所ゼータ関数の有理性の定理にも使われる。この記事の定理はそれとは別の、Hasse 多項式の根についての定理である。
定義と主張
以下、$p$ を奇素数、$m:=(p-1)/2$ とし、$\bar{\mathbb{F}}_p$ を $\mathbb{F}_p$ の代数閉包とする。
$$
H_p(\lambda):=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}^2\lambda^i\in\mathbb{F}_p[\lambda]
$$
を Hasse 多項式という。
$0\le i\le m< p$ のとき二項係数 $\binom{m}{i}$ は $p$ より小さい整数の積の比なので $p$ で割れない。特に最高次の係数は $1$ で、$\deg H_p=m< p$ である。
$\lambda\in\bar{\mathbb{F}}_p\setminus\{0,1\}$ に対し、$E_\lambda\colon y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ は右辺が相異なる 3 根をもつので楕円曲線である。$E_\lambda$ の Hasse 不変量は $f(x)=x(x-1)(x-\lambda)$ の $f^m$ における $x^{p-1}$ の係数であり、二項展開で計算すると $(-1)^mH_p(\lambda)$ になる（Hasse不変量 の命題「Legendre 族の Hasse 不変量」）。Hasse 不変量が $0$ であることは超特異性と同値なので、次が成り立つ。
$\lambda\in\bar{\mathbb{F}}_p\setminus\{0,1\}$ について、$E_\lambda$ が超特異であることと $H_p(\lambda)=0$ は同値である。
$p$ を奇素数、$m=(p-1)/2$ とする。
- $H_p$ は $\bar{\mathbb{F}}_p$ に重根をもたない。
- $H_p$ の根はちょうど $m$ 個あり、いずれも $0$、$1$ と異なる。
- $\lambda\in\bar{\mathbb{F}}_p\setminus\{0,1\}$ のうち $E_\lambda$ が超特異になるものは、ちょうど $m=(p-1)/2$ 個ある。
この定理は井草準一（Jun-ichi Igusa）による（Igu58 §2）。井草は、超特異な $j$ 不変量を直接数えることで、$p$ で分岐する定符号四元数環の類数についての Eichler の公式を代数的に導いた。証明は次節で与える。
証明
証明は 3 段からなる。$0$ と $1$ での値を求め、微分方程式を確かめ、微分方程式から重根がないことを導く。
$H_p(0)=1$ であり、$H_p(1)=\binom{2m}{m}=\binom{p-1}{m}$ は $\mathbb{F}_p$ で $(-1)^m$ に等しい。特に $H_p(0)$、$H_p(1)$ はどちらも $0$ でない。
$H_p(0)$ は定数項 $\binom{m}{0}^2=1$ である。$\binom{m}{i}^2=\binom{m}{i}\binom{m}{m-i}$ なので、$H_p(1)=\sum_i\binom{m}{i}\binom{m}{m-i}$ は $(1+t)^m(1+t)^m=(1+t)^{2m}$ の $t^m$ の係数 $\binom{2m}{m}$ に等しく、$2m=p-1$ である。最後に、$1\le i\le m$ について $p-i\equiv-i\pmod p$ で $i$ は $p$ で割れないので、
$$
\binom{p-1}{m}=\prod_{i=1}^{m}\frac{p-i}{i}\equiv\prod_{i=1}^{m}(-1)=(-1)^m\pmod p
$$
である。
$H_p$ は $\mathbb{F}_p[\lambda]$ で
$$
4\lambda(1-\lambda)H''+4(1-2\lambda)H'-H=0
$$
をみたす。
多項式 $H=\sum_ic_i\lambda^i$ に左辺の作用素を当てたときの $\lambda^i$ の係数を求める。$4\lambda H''$ と $4H'$ からは $4(i+1)i\,c_{i+1}+4(i+1)c_{i+1}=4(i+1)^2c_{i+1}$、$-4\lambda^2H''$、$-8\lambda H'$、$-H$ からは $-4i(i-1)c_i-8ic_i-c_i=-(2i+1)^2c_i$ が出る。よって左辺の $\lambda^i$ の係数は
$$
4(i+1)^2c_{i+1}-(2i+1)^2c_i
$$
である。$c_i=\binom{m}{i}^2$（$i>m$ では $c_i=0$）のとき、これがすべての $i\ge0$ で $\mathbb{F}_p$ の $0$ であることを示す。
- $0\le i< m$ のとき：$(i+1)\binom{m}{i+1}=(m-i)\binom{m}{i}$ を 2 乗して $4(i+1)^2c_{i+1}=4(m-i)^2c_i$ である。$2(m-i)=p-1-2i\equiv-(2i+1)\pmod p$ なので $4(m-i)^2\equiv(2i+1)^2$ となり、係数は $0$ である。
- $i=m$ のとき：$c_{m+1}=0$ で、$(2m+1)^2=p^2\equiv0$ なので係数は $0$ である。
- $i>m$ のとき：$c_i=c_{i+1}=0$ なので係数は $0$ である。
標数 $0$ では $i=m$ の係数 $-(2m+1)^2c_m=-p^2$ が消えないので、整数係数の同じ多項式はこの方程式をみたさない。$i=m$ の段で $p$ の倍数が現れることが、標数 $p$ でだけ多項式解ができる理由である（ex-igusa-counterexamples）。
1 を示す。$\lambda_0\in\bar{\mathbb{F}}_p$ を $H_p$ の重根とすると、$H_p(\lambda_0)=H_p'(\lambda_0)=0$ である。lem-igusa-values により $\lambda_0\ne0,1$ である。
lem-igusa-ode の微分方程式を $n$ 回微分する。積の微分の公式（積の微分とLeibnizの公式）により
$$
4\lambda(1-\lambda)H^{(n+2)}+4(n+1)(1-2\lambda)H^{(n+1)}-(2n+1)^2H^{(n)}=0
$$
を得る。実際、$4\lambda(1-\lambda)H''$ の $n$ 回微分は $4\lambda(1-\lambda)H^{(n+2)}+4n(1-2\lambda)H^{(n+1)}-4n(n-1)H^{(n)}$、$4(1-2\lambda)H'$ の $n$ 回微分は $4(1-2\lambda)H^{(n+1)}-8nH^{(n)}$ であり、$4n(n-1)+8n+1=(2n+1)^2$ である。
この式に $\lambda=\lambda_0$ を代入する。$H_p^{(n)}(\lambda_0)=H_p^{(n+1)}(\lambda_0)=0$ なら $4\lambda_0(1-\lambda_0)H_p^{(n+2)}(\lambda_0)=0$ で、$p$ は奇数かつ $\lambda_0\ne0,1$ なので $H_p^{(n+2)}(\lambda_0)=0$ である。$n=0$ から始めて帰納法により、すべての $n\ge0$ について $H_p^{(n)}(\lambda_0)=0$ である。
一方、$\deg H_p=m< p$ なので、$0\le n\le m$ の $n!$ は $\mathbb{F}_p$ で可逆であり、Taylor 展開（Taylor展開(多項式)）
$$
H_p(\lambda)=\sum_{n=0}^{m}\frac{H_p^{(n)}(\lambda_0)}{n!}(\lambda-\lambda_0)^n
$$
が成り立つ。右辺の係数はすべて $0$ なので $H_p=0$ となり、$H_p(0)=1$ に反する。よって重根はない。
2 は、1 と $\deg H_p=m$（最高次の係数は $1$）、および lem-igusa-values から従う。3 は 2 と prop-igusa-legendre-criterion から従う。$\square$
証明の最後で $\deg H_p< p$ を使った。標数 $p$ では $(\lambda-a)^p$ のように、ある点ですべての導関数が $0$ になる $0$ でない多項式があるので、この次数の制限は省けない（ex-igusa-counterexamples）。
根の集合の対称性
Legendre 形のパラメータ $\lambda$ と $\lambda'$ が同じ楕円曲線を与えるのは、$\lambda'$ が
$$
\lambda,\quad\frac1\lambda,\quad1-\lambda,\quad\frac{1}{1-\lambda},\quad\frac{\lambda}{\lambda-1},\quad\frac{\lambda-1}{\lambda}
$$
のどれかであるときに限る（Sil09 Proposition III.1.7 (c) の証明、p. 50。$p\ge5$ では Eichler–Deuringの質量公式 の補題「Legendre 形と $j$ 不変量のファイバー」）。超特異性は同型で変わらないので、$H_p$ の根の集合はこの 6 つの変換で保たれるはずである。このことは $H_p$ の式からも直接確かめられる。
$\mathbb{F}_p[\lambda]$ で次が成り立つ。
- $\lambda^mH_p(1/\lambda)=H_p(\lambda)$。
- $H_p(1-\lambda)=(-1)^mH_p(\lambda)$。
したがって $\lambda_0\in\bar{\mathbb{F}}_p\setminus\{0,1\}$ が $H_p$ の根なら、上の 6 つの値はすべて $H_p$ の根である。
1 は $\binom{m}{i}=\binom{m}{m-i}$ から、係数の並びが左右対称であることによる。
2 を示す。$\lambda$ を不定元とし、$f_\lambda(x):=x(x-1)(x-\lambda)$ とおく。二項展開により
$$
\bigl[x^{2m}\bigr]f_\lambda(x)^m=\bigl[x^m\bigr](x-1)^m(x-\lambda)^m=\sum_{a=0}^{m}\binom{m}{a}(-1)^{m-a}\binom{m}{m-a}(-\lambda)^a=(-1)^mH_p(\lambda)
$$
である（$2m=p-1$）。$g(x):=f_\lambda(x)^m=\sum_jg_jx^j$ とおくと $\deg g=3m<2p-1$ である。$g(1-x)$ の $x^{p-1}$ の係数は $\sum_jg_j\binom{j}{p-1}(-1)^{p-1}=\sum_jg_j\binom{j}{p-1}$ である。$p-1< j<2p-1$ のとき $j=p+j_0$（$0\le j_0< p-1$）と書くと、$\mathbb{F}_p[X]$ で $(1+X)^{j}=(1+X^p)(1+X)^{j_0}$ なので $X^{p-1}$ の係数は $0$、すなわち $\binom{j}{p-1}\equiv0\pmod p$ である。よって
$$
\bigl[x^{p-1}\bigr]g(1-x)=g_{p-1}=(-1)^mH_p(\lambda)
$$
である。一方 $(1-x)(-x)=x(x-1)$、$(1-x)-\lambda=-(x-(1-\lambda))$ から $f_\lambda(1-x)=-f_{1-\lambda}(x)$ であり、$g(1-x)=(-1)^mf_{1-\lambda}(x)^m$ の $x^{p-1}$ の係数は $(-1)^m(-1)^mH_p(1-\lambda)=H_p(1-\lambda)$ である。二つを比べて 2 を得る。
最後の主張：1 と 2 により根の集合は $\lambda\mapsto1/\lambda$ と $\lambda\mapsto1-\lambda$ で保たれ、6 つの変換はこの二つの合成で得られる。$\square$
超幾何級数と Picard–Fuchs 方程式
lem-igusa-ode の方程式を $4$ で割ると
$$
\lambda(1-\lambda)H''+(1-2\lambda)H'-\tfrac14H=0
$$
となる。これは $a=b=\tfrac12$、$c=1$ の Gauss の超幾何微分方程式 $\lambda(1-\lambda)F''+\bigl(c-(a+b+1)\lambda\bigr)F'-abF=0$ である（超幾何関数）。複素数体上でこの方程式の解のうち $\lambda=0$ で正則で値 $1$ をとるものは
$$
{}_2F_1\Bigl(\tfrac12,\tfrac12;1;\lambda\Bigr)=\sum_{i\ge0}\biggl(\frac{(1/2)_i}{i!}\biggr)^2\lambda^i,\qquad(1/2)_i:=\tfrac12\bigl(\tfrac12+1\bigr)\cdots\bigl(\tfrac12+i-1\bigr)
$$
であり、Legendre 族の周期 $\int dx/y$ はこの方程式（Legendre 族の Picard–Fuchs 方程式）をみたす（Picard–Fuchs方程式 の例）。$H_p$ はこの級数の $\bmod p$ での切り詰めになっている。
$0\le i\le m$ について、$\mathbb{F}_p$ で
$$
\binom{m}{i}=(-1)^i\frac{(1/2)_i}{i!},\qquad\text{特に}\qquad\binom{m}{i}^2=\biggl(\frac{(1/2)_i}{i!}\biggr)^2
$$
が成り立つ。また $m< i< p$ については $(1/2)_i/i!=0$ である。
$i< p$ なら $i!$ は $\mathbb{F}_p$ で可逆なので、両辺は $\mathbb{F}_p$ の元として意味をもつ。$2m=p-1\equiv-1$ から $m\equiv-\tfrac12$ なので、
$$
\binom{m}{i}=\frac{1}{i!}\prod_{k=0}^{i-1}(m-k)\equiv\frac{1}{i!}\prod_{k=0}^{i-1}\Bigl(-\tfrac12-k\Bigr)=(-1)^i\frac{(1/2)_i}{i!}
$$
である。$m< i< p$ なら、$(1/2)_i$ の因子 $\tfrac12+m=\tfrac p2$ が $\mathbb{F}_p$ の $0$ である。$\square$
周期と Hasse 不変量のこの結びつきは、Hasse 不変量を Gauss–Manin 接続（Gauss–Manin接続）や結晶コホモロジーの Frobenius と関係づける入口になっている。
超特異な $j$ 不変量の個数
井草の定理から、超特異楕円曲線の同型類の個数が求まる。$p\ge5$ とし、$\bar{\mathbb{F}}_p$ 上の超特異楕円曲線の同型類の個数（同じことだが超特異な $j$ 不変量の個数）を $N_p$ とする。
$\bar{\mathbb{F}}_p$ 上の楕円曲線はどれもある $E_\lambda$ に同型であり、$\lambda\mapsto j(E_\lambda)=2^8(\lambda^2-\lambda+1)^3/\bigl(\lambda^2(\lambda-1)^2\bigr)$ のファイバーは、$j\ne0,1728$ では 6 点、$j=1728$ では $\{-1,2,1/2\}$ の 3 点、$j=0$ では $\lambda^2-\lambda+1=0$ の 2 根である（Eichler–Deuringの質量公式 の補題「Legendre 形と $j$ 不変量のファイバー」）。超特異性は $j$ 不変量だけで決まるので、超特異な $\lambda$ の集合はファイバーの和集合である。$j=0$、$j=1728$ が超特異なら $1$、そうでなければ $0$ となる数を $\varepsilon_0$、$\varepsilon_{1728}$ とすると、井草の定理の 3 により
$$
\frac{p-1}{2}=6\bigl(N_p-\varepsilon_0-\varepsilon_{1728}\bigr)+2\varepsilon_0+3\varepsilon_{1728}
$$
である。$\varepsilon_0=1$ は $p\equiv2\pmod3$ と、$\varepsilon_{1728}=1$ は $p\equiv3\pmod4$ と同値である（Eichler–Deuringの質量公式 の補題「$j=0$ と $j=1728$ の曲線」）。よって
$$
N_p=\frac{p-1}{12}+\frac23\varepsilon_0+\frac12\varepsilon_{1728}=\Bigl\lfloor\frac{p}{12}\Bigr\rfloor+\begin{cases}0&(p\equiv1\bmod12)\\1&(p\equiv5,7\bmod12)\\2&(p\equiv11\bmod12)\end{cases}
$$
を得る。重根があれば左辺の $(p-1)/2$ が超特異な $\lambda$ の個数を上回るので、この数え上げには井草の定理が欠かせない。重みつきの形（質量公式）と四元数環の類数との関係は Eichler–Deuringの質量公式 にある。
$p=3$ でも $\bar{\mathbb{F}}_3$ 上の楕円曲線はどれもある $E_\lambda$ に同型である（Sil09 Proposition III.1.7 (a)、p. 49。標数が $2$ でなければよい）。$H_3(\lambda)=1+\lambda$ の根は $\lambda=-1$ だけで、$E_{-1}\colon y^2=x^3-x$ の $j$ 不変量は $1728=0$ なので、超特異な $j$ 不変量は $j=0$ の 1 個である。
例と反例
係数を $\bmod p$ で簡約し、$\mathbb{F}_p$ 上で因数分解した。どの場合も重根はなく、根の個数は $m$ である。
| $p$ | $H_p(\lambda)$ の $\mathbb{F}_p$ 上の分解 | 根 | 超特異な $j$ |
|---|---|---|---|
| $3$ | $\lambda+1$ | $-1$ | $0$ |
| $5$ | $\lambda^2-\lambda+1$ | $\mathbb{F}_{25}\setminus\mathbb{F}_5$ の 2 個 | $0$ |
| $7$ | $(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-4)$ | $-1,2,4$ | $1728\equiv6$ |
| $11$ | $(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-6)(\lambda^2-\lambda+1)$ | $-1,2,6$ と $\mathbb{F}_{121}\setminus\mathbb{F}_{11}$ の 2 個 | $1728\equiv1$、$0$ |
| $13$ | $(\lambda^2+4\lambda-4)(\lambda^2-6\lambda+1)(\lambda^2-\lambda+3)$ | $\mathbb{F}_{169}\setminus\mathbb{F}_{13}$ の 6 個 | $5$ |
$p=7$ では $4=1/2$、$p=11$ では $6=1/2$ なので、$\{-1,2,1/2\}$ が $j=1728$ のファイバーである。$p=5$ と $p=11$ の 2 次因子 $\lambda^2-\lambda+1$ の根は $j=0$ のファイバーで、判別式 $-3$ が $\mathbb{F}_5$、$\mathbb{F}_{11}$ の平方非剰余なので $\mathbb{F}_p$ には入らない。$p=13$ の 3 つの 2 次因子の判別式はそれぞれ $32\equiv6$、$32\equiv6$、$-11\equiv2$ で、どれも $\mathbb{F}_{13}$ の平方非剰余である。6 個の根は 1 つのファイバーをなし、$j=5$ を与える（$2^8(\lambda^2-\lambda+1)^3-5\lambda^2(\lambda-1)^2$ が $H_{13}$ で割り切れる）。個数はどれも前節の公式 $N_5=N_7=N_{13}=1$、$N_{11}=2$ と一致する。
定理と証明に使った条件を 1 つずつ外す。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 係数を $\mathbb{F}_p$ で考えること | 整数係数の $\sum_{i=0}^m\binom{m}{i}^2\lambda^i$ を $\mathbb{Q}[\lambda]$ で考える | 微分方程式（$\lambda^m$ の係数が $-p^2\ne0$ になる） |
| 次数が $p$ 未満であること | $G=(\lambda-a)^pH_p$（$a\in\mathbb{F}_p\setminus\{0,1\}$） | 重根をもたないこと（$G$ は微分方程式をみたし、$G(0)\ne0$、$G(1)\ne0$ だが、$a$ に $p$ 重以上の根をもつ） |
| $p$ が奇素数であること | $p=2$ での $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ | Legendre 族による超特異曲線の数え上げ（どの $\lambda$ でも曲線が特異になる） |
2 行目：$\bigl((\lambda-a)^p\bigr)'=p(\lambda-a)^{p-1}=0$ なので $G^{(n)}=(\lambda-a)^pH_p^{(n)}$ であり、$G$ は $H_p$ と同じ微分方程式をみたす。$G(0)=(-a)^p$、$G(1)=(1-a)^pH_p(1)$ はどちらも $0$ でない。重根が出ないことには、微分方程式と $0,1$ での値に加えて次数の制限が必要である。
3 行目：標数 $2$ で $F=y^2-x(x-1)(x-\lambda)$ とおくと $\partial F/\partial y=2y=0$、$\partial F/\partial x=-(3x^2-2(1+\lambda)x+\lambda)=x^2+\lambda$ である。$x_0^2=\lambda$ となる $x_0\in\bar{\mathbb{F}}_2$ と、$y_0^2=x_0(x_0-1)(x_0-\lambda)$ となる $y_0$ をとると、点 $(x_0,y_0)$ で $F$ と二つの偏微分がすべて消えるので、曲線は特異である。標数 $2$ の超特異性は別の方法で判定する（超特異楕円曲線 の例「標数が 2 または 3 のとき $j=0$ が超特異」）。
関連項目
- 前提: Hasse不変量, 超特異楕円曲線, 有限体, 常微分方程式
- 直後に読む: Eichler–Deuringの質量公式
- 比較: Picard–Fuchs方程式, 超幾何関数, j不変量
- 発展: 四元数環, Gauss–Manin接続
参考文献
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