管状近傍定理

同義語：管状近傍tubular neighborhood theoremtubular neighborhood

概要

前提知識: はめ込みと埋め込み(可微分多様体), 正則値定理, 微分同相写像, 接空間

$\mathbb{R}^k$ の中の曲面を想像すると、その各点から曲面に垂直な方向へ短い線分を立てられる。線分が短ければ、違う点から立てた線分どうしはぶつからず、曲面のまわりの薄い「管」を埋め尽くす。管状近傍定理（tubular neighborhood theorem）は、これを一般の部分多様体について述べたものである：$\mathbb{R}^k$ の部分多様体 $M$ の各点 $x$ に、接空間に直交する長さ $\varepsilon(x)$ 未満のベクトル $v$ を付けた組 $(x,v)$ の全体を考えると、$(x,v)\mapsto x+v$ は、$\varepsilon$ を適切にとれば、この組の空間から $M$ を含む $\mathbb{R}^k$ の開集合の上への微分同相写像になる。
この定理から、$M$ を含む開集合 $U$ から $M$ への滑らかな引き込み $r$（$M$ の上で恒等写像になる滑らかな写像）が得られる。$r$ は「管の断面をつぶす」写像であり、$M$ が閉集合なら $r(y)$ は $y$ に最も近い $M$ の点である。連続写像を滑らかな写像で近似した後で多様体に戻すとき（Whitneyの近似定理）や、写像を動かして部分多様体に横断的にするとき（横断性定理）に、この引き込みが使われる。

定義

多様体は Hausdorff かつ第 2 可算な境界のない $C^\infty$ 級多様体、「滑らか」は $C^\infty$ 級とし、部分多様体ははめ込みと埋め込み(可微分多様体)の記事の定義「部分多様体」の意味とする。この記事を通して、$M\subset\mathbb{R}^k$ を $m$ 次元の部分多様体とする（空でないとする）。$x\in M$ での接空間 $T_xM$ は、包含写像の微分により $\mathbb{R}^k$ の $m$ 次元の部分空間とみなす（接空間の記事の補題「部分多様体の接空間は速度ベクトルの全体」により、$M$ の中の滑らかな曲線の速度ベクトルの全体である）。$\mathbb{R}^k$ には標準内積 $\langle\ ,\ \rangle$ と Euclid ノルム $\lvert\cdot\rvert$ を入れる。

法空間と法束

$x\in M$ での法空間を $N_xM:=(T_xM)^\perp=\{v\in\mathbb{R}^k\mid\text{すべての }\xi\in T_xM\text{ で }\langle v,\xi\rangle=0\}$ と定める。$N_xM$ は $k-m$ 次元の部分空間で、$\mathbb{R}^k=T_xM\oplus N_xM$ である。
$M$ の法束を $\nu M:=\{(x,v)\in M\times\mathbb{R}^k\mid v\in N_xM\}\subset\mathbb{R}^k\times\mathbb{R}^k$ と定める。射影 $\pi\colon\nu M\to M$、$\pi(x,v):=x$ と、写像 $\theta\colon\nu M\to\mathbb{R}^k$、$\theta(x,v):=x+v$ を考える。
連続関数 $\varepsilon\colon M\to(0,\infty)$ に対し、$\nu_\varepsilon M:=\{(x,v)\in\nu M\mid\lvert v\rvert<\varepsilon(x)\}$、$U_\varepsilon:=\theta(\nu_\varepsilon M)$ とおく。

管状近傍

$M\subset\mathbb{R}^k$ を部分多様体とする。$\mathbb{R}^k$ の開集合 $U\supset M$ で、ある連続関数 $\varepsilon\colon M\to(0,\infty)$ について $U=U_\varepsilon$ となり、$\theta$ が $\nu_\varepsilon M$ から $U$ への微分同相写像であるものを、$M$ の管状近傍（tubular neighborhood）という（$\nu M$ と、その開集合 $\nu_\varepsilon M$ が多様体であることは次の節で示す）。

$\theta$ は $\nu_\varepsilon M$ の点 $(x,v)$ を「$x$ から法方向に $v$ だけ進んだ点」に写す。管状近傍であるとは、$U$ の各点がただ 1 つの $(x,v)$ でこのように書け、しかもこの書き方が $y\in U$ について滑らかに変わることをいう。一般の多様体の中の部分多様体についても、法束の代わりにベクトル束を使って同じ概念が定義される（補足）。

法束は多様体である

$\nu M$ が $\mathbb{R}^{2k}$ の $k$ 次元の部分多様体であることを、$M$ を局所的に沈め込みの零点集合として表して確かめる。

法束の局所表示

$M\subset\mathbb{R}^k$ を $m$ 次元の部分多様体とする。

各点 $x_0\in M$ に対し、$x_0$ を含む開集合 $V\subset\mathbb{R}^k$ と沈め込み $g\colon V\to\mathbb{R}^{k-m}$ で $V\cap M=g^{-1}(0)$ となるものがある。このとき $x\in V\cap M$ について $T_xM=\ker Dg(x)$、$N_xM=Dg(x)^{\mathsf T}(\mathbb{R}^{k-m})$ であり、
$$ \Phi\colon(V\cap M)\times\mathbb{R}^{k-m}\to\mathbb{R}^k\times\mathbb{R}^k,\qquad\Phi(x,w):=\bigl(x,\ Dg(x)^{\mathsf T}w\bigr) $$
は、$\nu M\cap(V\times\mathbb{R}^k)$ の上への埋め込みである（$Dg(x)^{\mathsf T}$ は Jacobi 行列の転置）。
$\nu M$ は $\mathbb{R}^k\times\mathbb{R}^k$ の $k$ 次元の部分多様体であり、$\pi\colon\nu M\to M$ は滑らかな沈め込み、$\theta\colon\nu M\to\mathbb{R}^k$ は滑らかである。
各 $x\in M$ で、$\nu M$ の $(x,0)$ での接空間は $T_{(x,0)}\nu M=T_xM\times N_xM$ であり、$d\theta_{(x,0)}(\xi,\eta)=\xi+\eta$ は $T_{(x,0)}\nu M$ から $\mathbb{R}^k$ への線形同型である。

要点：$M$ を局所的に $g^{-1}(0)$ と書くと、法空間は $Dg(x)$ の行ベクトルが張る空間であり、$\Phi$ で平らな $(V\cap M)\times\mathbb{R}^{k-m}$ と同一視できる。$\Phi$ の微分を計算すると零切断での接空間が分かる。

詳しい証明を開く

1．$x_0$ のまわりの $M$ の $m$ スライス座標 $(V,\psi)$、$\psi=(y^1,\dots,y^k)$ をとり、$g:=(y^{m+1},\dots,y^k)$ とおく。横断性定理の記事の補題「横断性の局所的な言い換え」の 1（$N=\mathbb{R}^k$、$Z=M$ とする）により、$V\cap M=g^{-1}(0)$、$g$ は沈め込みで、$x\in V\cap M$ では $T_xM=\ker Dg(x)$ である。$Dg(x)$ は階数 $k-m$ の $(k-m)\times k$ 行列なので、線形代数により $(\ker Dg(x))^\perp$ は $Dg(x)$ の行ベクトルが張る空間、すなわち $Dg(x)^{\mathsf T}(\mathbb{R}^{k-m})$ であり、$Dg(x)^{\mathsf T}$ は単射である。とくに $G(x):=Dg(x)Dg(x)^{\mathsf T}$ は $V$ の各点で正則な対称行列で、$x$ について滑らかである。

$\Phi$ は滑らかであり（$V\cap M$ は $M$ の開集合、$x\mapsto Dg(x)$ は $V$ 上で滑らか）、上のことからその像は $\nu M\cap(V\times\mathbb{R}^k)$ に等しい。$v=Dg(x)^{\mathsf T}w$ なら $Dg(x)v=G(x)w$ なので、$\Phi$ は単射で、逆写像は $(x,v)\mapsto\bigl(x,\ G(x)^{-1}Dg(x)v\bigr)$ であり、これは $V\times\mathbb{R}^k$ 上の連続写像の制限なので連続である。よって $\Phi$ は像への同相写像である。$\xi\in T_xM$、$\eta\in\mathbb{R}^{k-m}$ について$$d\Phi_{(x,w)}(\xi,\eta)=\Bigl(\xi,\ \bigl(D(Dg^{\mathsf T})(x)\xi\bigr)w+Dg(x)^{\mathsf T}\eta\Bigr)$$であり、これが $0$ なら $\xi=0$、したがって $Dg(x)^{\mathsf T}\eta=0$、$\eta=0$ である。よって $\Phi$ ははめ込みで、埋め込みである。

2．はめ込みと埋め込み(可微分多様体)の記事の定理「埋め込みの像は部分多様体」により、$\nu M\cap(V\times\mathbb{R}^k)$ は $\mathbb{R}^{2k}$ の $m+(k-m)=k$ 次元の部分多様体である。これは $\nu M$ と開集合 $V\times\mathbb{R}^k$ の共通部分で、このような開集合は $\nu M$ を覆うので、スライス座標の定義域を $V\times\mathbb{R}^k$ の中に縮めれば、$\nu M$ は $k$ 次元の部分多様体である。$\pi$、$\theta$ は $\mathbb{R}^{2k}$ 上の線形写像 $(x,v)\mapsto x$、$(x,v)\mapsto x+v$ の制限なので滑らかであり、$\pi$ は $M$ に値をもつので $M$ への写像として滑らかである（同じ記事の命題「終域を部分多様体に制限する」）。$\pi\circ\Phi(x,w)=x$ は射影で沈め込みであり、$\Phi$ は $(V\cap M)\times\mathbb{R}^{k-m}$ から $\nu M$ の開集合への微分同相写像なので、$\pi$ は沈め込みである。

3．$w=0$ では上の式の第 1 項が消え、$d\Phi_{(x,0)}(\xi,\eta)=(\xi,\ Dg(x)^{\mathsf T}\eta)$ である。$\xi$ が $T_xM$、$\eta$ が $\mathbb{R}^{k-m}$ を動くとき、これは $T_xM\times N_xM$ 全体を動く。$\Phi$ は $\nu M$ の開集合への微分同相写像なので $T_{(x,0)}\nu M=T_xM\times N_xM$ である。$\theta$ は線形写像の制限なので $d\theta_{(x,0)}(\xi,\eta)=\xi+\eta$ であり、$\mathbb{R}^k=T_xM\oplus N_xM$ よりこれは同型である。$\square$

1 の $\Phi$ は、$\nu M$ を $V\cap M$ の上で積 $(V\cap M)\times\mathbb{R}^{k-m}$ と同一視し、各ファイバー $\{x\}\times N_xM$ の上では線形同型になっている。別の $V'$、$g'$ で作った $\Phi'$ との間の写像は $(x,w)\mapsto\bigl(x,\ G'(x)^{-1}Dg'(x)Dg(x)^{\mathsf T}w\bigr)$ で、$x$ について滑らかな行列を掛けるだけである。つまり $\nu M$ は $M$ 上の階数 $k-m$ のベクトル束である。

管状近傍定理

零切断 $\{(x,0)\}$ の各点の近くでは、prop-tub-normal-bundle の 3 と逆関数定理により、$\theta$ は微分同相写像である。問題は、別々の点の近くの微分同相写像が大域的に単射になるように、法ベクトルの長さの上限 $\varepsilon(x)$ をとれるかどうかである。$M$ がコンパクトでなければ $\varepsilon$ は定数にとれないことがある（下の「反例」）ので、点ごとに変わる $\varepsilon$ を、1-Lipschitz な関数で制御する。

管状近傍定理

$M\subset\mathbb{R}^k$ を部分多様体とする。連続関数 $\rho\colon M\to(0,1]$ で、すべての $x,x'\in M$ について $\lvert\rho(x)-\rho(x')\rvert\le\lvert x-x'\rvert$ を満たし、次の性質をもつものが存在する：$0<\varepsilon\le\tfrac12\rho$ を満たす任意の連続関数 $\varepsilon$ について、$\nu_\varepsilon M$ は $\nu M$ の開集合であり、$\theta$ は $\nu_\varepsilon M$ から $M$ を含む開集合 $U_\varepsilon\subset\mathbb{R}^k$ への微分同相写像である。とくに $M$ は管状近傍をもつ。

管状近傍定理

$x\in M$、$r>0$ について
$$ A(x,r):=\{(y,v)\in\nu M\mid\lvert y-x\rvert< r,\ \lvert v\rvert< r\} $$
とおく（$\nu M$ の開集合）。$r$ が $x$ の良い半径であるとは、$\theta$ が $A(x,r)$ の上で単射であり、$A(x,r)$ の各点で $d\theta$ が線形同型であることをいう。$r$ が良い半径なら、$r'< r$ も良い半径である（$A(x,r')\subset A(x,r)$）。
段 1：良い半径は存在する． prop-tub-normal-bundle の 3 により $d\theta_{(x,0)}$ は同型であり、$\nu M$ と $\mathbb{R}^k$ はともに $k$ 次元なので、微分同相写像の記事の命題「局所微分同相の判定」により、$(x,0)$ の開近傍 $\Omega\subset\nu M$ で、$\theta|_\Omega$ が開集合への微分同相写像となるものがある。$\Omega$ の上で $\theta$ は単射で、微分は同型である。$\nu M$ の位相は $\mathbb{R}^{2k}$ からの部分空間位相なので、十分小さい $r$ で $A(x,r)\subset\Omega$ となり、その $r$ は良い半径である。
段 2：$\rho$ を定める． $\rho(x):=\sup\{r\in(0,1]\mid r\text{ は }x\text{ の良い半径}\}$ とおく。段 1 により $0<\rho(x)\le1$ であり、$0< r<\rho(x)$ ならば $r$ は良い半径である。$x,x'\in M$、$\delta:=\lvert x-x'\rvert$ とする。$\delta\ge\rho(x)$ なら $\rho(x')>0\ge\rho(x)-\delta$ である。$\delta<\rho(x)$ なら、$\delta< r<\rho(x)$ となる良い半径 $r$ について、$(y,v)\in A(x',r-\delta)$ ならば $\lvert y-x\rvert\le\lvert y-x'\rvert+\delta< r$、$\lvert v\rvert< r$ なので $A(x',r-\delta)\subset A(x,r)$ であり、$r-\delta$ は $x'$ の良い半径である。よって $\rho(x')\ge r-\delta$ で、$r\to\rho(x)$ として $\rho(x')\ge\rho(x)-\delta$ である。$x$ と $x'$ を入れ替えて $\lvert\rho(x)-\rho(x')\rvert\le\delta$ を得る。
段 3：$\nu_\varepsilon M$ の上で単射． $0<\varepsilon\le\tfrac12\rho$ とし、$(y,v),(y',v')\in\nu_\varepsilon M$ が $y+v=y'+v'$ を満たすとする。対称性から $\rho(y')\le\rho(y)$ としてよい。
$$ \lvert y-y'\rvert=\lvert v'-v\rvert\le\lvert v\rvert+\lvert v'\rvert<\tfrac12\rho(y)+\tfrac12\rho(y')\le\rho(y) $$
であり、$\lvert v\rvert<\tfrac12\rho(y)$、$\lvert v'\rvert<\tfrac12\rho(y')\le\tfrac12\rho(y)$ である。そこで $\max\{\lvert y-y'\rvert,\lvert v\rvert,\lvert v'\rvert\}< r<\rho(y)$ となる $r$ をとると、$r$ は $y$ の良い半径で、$(y,v)$ と $(y',v')$ はともに $A(y,r)$ に属する。$\theta$ は $A(y,r)$ の上で単射なので $(y,v)=(y',v')$ である。
段 4：微分同相であること． $\nu_\varepsilon M$ は連続関数 $(y,v)\mapsto\lvert v\rvert-\varepsilon(y)$ の負の部分なので $\nu M$ の開集合であり、$k$ 次元の多様体である。$(y,v)\in\nu_\varepsilon M$ なら $\lvert v\rvert< r<\rho(y)$ となる良い半径 $r$ について $(y,v)\in A(y,r)$ なので、$d\theta_{(y,v)}$ は同型である。したがって $\theta|_{\nu_\varepsilon M}$ は各点の近くで開集合への微分同相写像であり、とくに開写像なので、$U_\varepsilon=\theta(\nu_\varepsilon M)$ は $\mathbb{R}^k$ の開集合である。段 3 により $\theta\colon\nu_\varepsilon M\to U_\varepsilon$ は全単射なので、微分同相写像の記事の定理「全単射な局所微分同相は微分同相」により微分同相写像である。$(x,0)\in\nu_\varepsilon M$、$\theta(x,0)=x$ なので $M\subset U_\varepsilon$ である。$\square$

証明の要は段 2 である。各点で良い半径の上限 $\rho(x)$ をとると、$x$ を $\delta$ だけ動かしても上限は $\delta$ しか減らないので $\rho$ は連続であり、$\varepsilon=\tfrac12\rho$ が許される（この評価は thm-tub-nearest でも使う）。段 3 では、$\rho$ の大きい方の点 $y$ で良い半径をとることで、離れた点どうしの比較を $y$ のまわりの局所的な単射性に帰着している。$M$ が閉集合である必要はない。この証明は Lee13 Theorem 6.24（pp. 139–140）の証明と同じ方針である。

滑らかな引き込み

管状近傍の断面をつぶすと、$M$ への滑らかな引き込みが得られる。

管状近傍による引き込み

$M\subset\mathbb{R}^k$ を部分多様体とする。$M$ を含む開集合 $U\subset\mathbb{R}^k$ と滑らかな写像 $r\colon U\to M$ で、次を満たすものが存在する。

すべての $x\in M$ で $r(x)=x$ である。
$r$ は沈め込みである。
すべての $y\in U$ で $y-r(y)\in N_{r(y)}M$ である。

thm-tub-main の $\rho$ について $\varepsilon:=\tfrac12\rho$、$U:=U_\varepsilon$ とし、$r:=\pi\circ(\theta|_{\nu_\varepsilon M})^{-1}\colon U\to M$ とおく。$\theta|_{\nu_\varepsilon M}$ の逆写像は微分同相写像で、$\pi$ は滑らかな沈め込み（prop-tub-normal-bundle の 2）なので、$r$ は滑らかな沈め込みである。$x\in M$ なら $\theta(x,0)=x$ なので $r(x)=\pi(x,0)=x$ である。$y\in U$ を $y=\theta(x,v)=x+v$（$(x,v)\in\nu_\varepsilon M$）と書くと $r(y)=x$ で、$y-r(y)=v\in N_xM$ である。$\square$

同じ主張は Lee13 Proposition 6.25（pp. 140–141）にある。$r$ のファイバー $r^{-1}(x)$ は、$x$ を中心とする法方向の開円板 $x+\{v\in N_xM\mid\lvert v\rvert<\varepsilon(x)\}$ である。$M$ が $\mathbb{R}^k$ の閉部分多様体のときは、$r$ は「最も近い点に写す写像」になる。

例

線形部分空間

$M=\mathbb{R}^m\times\{0\}\subset\mathbb{R}^k$ なら、どの点でも $T_xM=\mathbb{R}^m\times\{0\}$、$N_xM=\{0\}\times\mathbb{R}^{k-m}$ であり、$\theta(x,v)=x+v$ は $\nu M=M\times(\{0\}\times\mathbb{R}^{k-m})$ から $\mathbb{R}^k$ 全体への微分同相写像である。法ベクトルの長さに制限は要らず、引き込み $r$ は直交射影 $(x_1,\dots,x_k)\mapsto(x_1,\dots,x_m,0,\dots,0)$ である。

球面と中心

$R>0$ とし、半径 $R$ の球面 $M=S_R:=\{x\in\mathbb{R}^k\mid\lvert x\rvert=R\}$（$k\ge2$）を考える。$T_xS_R=x^\perp$ なので $N_xS_R=\mathbb{R}x$ であり、$\theta(x,tx)=(1+t)x$ である。

定数 $\varepsilon\le R$ なら、$\nu_\varepsilon S_R=\{(x,tx)\mid\lvert t\rvert R<\varepsilon\}$ の上で $1+t>0$ なので、$(1+t)x=(1+t')x'$ の長さを比べて $1+t=1+t'$、したがって $x=x'$ となり、$\theta$ は単射である。像は $\{R-\varepsilon<\lvert y\rvert< R+\varepsilon\}$ で、逆写像は $y\mapsto\bigl(Ry/\lvert y\rvert,\ y-Ry/\lvert y\rvert\bigr)$ なので微分同相写像であり、引き込みは $r(y)=Ry/\lvert y\rvert$ である。これは $y$ に最も近い球面の点である。
定数 $\varepsilon>R$ なら、すべての $x\in S_R$ について $(x,-x)\in\nu_\varepsilon S_R$ で $\theta(x,-x)=0$ なので、$\theta$ は単射でない。
つまり法ベクトルの長さの上限は、球面が曲がっている度合い（半径 $R$）で決まる。中心の点 $0$ には球面のすべての点からの法線が集まる。$R=1$ の場合の引き込み $y\mapsto y/\lvert y\rvert$ は、Whitneyの近似定理の記事で球面への写像を近似するのに使った写像である。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\varepsilon$ を点ごとに変える（定数にする）	$M=\{y=0\}\cup\{y=e^{-x}\}\subset\mathbb{R}^2$	$\theta$ が $\nu_\varepsilon M$ の上で単射
$\varepsilon$ を小さくとる	半径 $R$ の円周、定数 $\varepsilon>R$	$\theta$ が $\nu_\varepsilon M$ の上で単射
$M$ が滑らかな部分多様体	折れ線 $X=\{(x,\lvert x\rvert)\}\subset\mathbb{R}^2$	$X$ を含む開集合から $X$ への滑らかな引き込み
$M$ が埋め込まれた部分多様体	8 の字 $X=\{(\sin2t,\sin t)\}\subset\mathbb{R}^2$	$X$ を含む開集合から $X$ への滑らかな引き込み

表の反例の確認

近づいていく 2 本の曲線：$\{y=0\}$ と $C:=\{(s,e^{-s})\}$ は交わらない閉集合で、それぞれ 1 次元の部分多様体なので、$M$ は閉部分多様体である。定数 $\varepsilon>0$ に対し $e^{-x_0}<\varepsilon$ となる $x_0$ をとり、$y:=(x_0,\tfrac12e^{-x_0})$ とおく。$y=\theta\bigl((x_0,0),(0,\tfrac12e^{-x_0})\bigr)$ で、この法ベクトルの長さは $\varepsilon$ 未満である。一方、閉集合 $C$ の中で $y$ に最も近い点 $z$ をとると、thm-tub-nearest の証明と同じ議論で $y-z\in N_zC=N_zM$、$\lvert y-z\rvert\le\lvert y-(x_0,e^{-x_0})\rvert=\tfrac12e^{-x_0}<\varepsilon$ であり、$y=\theta(z,y-z)$ となる。$z\in C$ は $(x_0,0)$ と異なるので、$\theta$ は $\nu_\varepsilon M$ の上で単射でない。満たす性質は「$M$ は閉部分多様体」、満たさない性質は「定数 $\varepsilon$ で管状近傍がとれる」であり、thm-tub-main で $\varepsilon$ を関数にした理由である。
円周と中心：ex-tub-sphere（$k=2$）で示した。満たさない性質は「$\varepsilon\le\tfrac12\rho$」であり、破る含意は「どんな $\varepsilon$ でも $\theta$ は単射」である。
折れ線：$X$ を含む開集合 $U$ と滑らかな $r\colon U\to\mathbb{R}^2$ で、$r(U)\subset X$、$X$ の上で $r=\mathrm{id}$ となるものがあったとする。$t\ge0$ で $r(t,t)=(t,t)$、$r(-t,t)=(-t,t)$ なので、$t=0$ での右微分をとると $dr_0(1,1)=(1,1)$、$dr_0(-1,1)=(-1,1)$ であり、$dr_0$ は恒等写像である。逆関数定理により $r$ は $0$ の近くで開集合への微分同相写像であり、$r(U)$ は $\mathbb{R}^2$ の空でない開集合を含む。しかし $X$ はグラフなので、$(x,\lvert x\rvert+s)$（$s\neq0$）を含まず、開集合を含まない。これは矛盾である。一方、連続な引き込み $(x,y)\mapsto(x,\lvert x\rvert)$ は存在する。満たす性質は「$X$ は $\mathbb{R}$ と同相な閉集合」、満たさない性質は「$X$ は滑らかな部分多様体」であり、破る含意は「$\mathbb{R}$ と同相な閉集合は近傍からの滑らかな引き込みをもつ」である。
8 の字：$t$ が $0$ と $\pi$ の近くで $X$ は原点を通る 2 本の滑らかな曲線になり、原点での速度は $(2,1)$ と $(2\cos2\pi,\cos\pi)=(2,-1)$ である。3 と同じく、滑らかな引き込み $r$ があれば $dr_0$ はこの 2 つのベクトルを固定するので恒等写像になり、$r$ の像が開集合を含んで矛盾する。$X$ が部分多様体なら thm-tub-retraction により滑らかな引き込みがあるので、$X$ は埋め込まれた部分多様体ではない（$X$ ははめ込み $t\mapsto(\sin2t,\sin t)$ の像であり、単射なはめ込みでも埋め込みにならないことははめ込みと埋め込み(可微分多様体)の記事の例「反例：8 の字」）。満たす性質は「$X$ ははめ込みの像でコンパクト」、満たさない性質は「$X$ は埋め込まれた部分多様体」であり、破る含意は「はめ込みの像は近傍からの滑らかな引き込みをもつ」である。

3・4 は、管状近傍定理が「滑らかな部分多様体」という仮定を本質的に使っていることを示す。連続写像の意味では多くの集合が近傍の引き込みをもつ（絶対近傍レトラクト）が、滑らかな引き込みがあると $dr$ が各点で $M$ の接空間の上への射影になり、接空間がきちんと定まっていなければならない。

補足

一般の多様体の中の部分多様体：多様体 $V$ の部分多様体 $M$ に対しても、$M$ 上のベクトル束 $E$ と、零切断を $M$ に写す $E$ から $M$ の開近傍の上への微分同相写像が存在する（Hir76 Theorem 5.2、p. 110）。証明は $V$ を $\mathbb{R}^k$ に埋め込み、この記事の引き込みを使って $\mathbb{R}^k$ の場合に帰着する。この記事では証明しない。
一意性：$M$ の 2 つの管状近傍は同位変形で移り合う（Hir76 Theorem 5.3、p. 112。コンパクトな場合は Ben19 Proposition 5.4、p. 103）。この記事では証明しない。
カラー：境界付き多様体の境界は、$\partial M\times[0,1)$ と微分同相な近傍（カラー）をもつ。管状近傍の片側版であり、境界付き多様体を貼り合わせるときに使われる（Hir76 Theorem 6.1、p. 113。$\partial M$ がコンパクトな場合の構成は Ben19 §5.3.2、pp. 104–105）。この記事では証明しない。
引き込みによる特徴づけ：多様体の間の滑らかな写像 $f\colon M\to N$ が部分多様体への埋め込みであることは、$f(M)$ の開近傍 $U$ と $r\circ f=\mathrm{id}_M$ となる滑らかな $r\colon U\to M$ が存在することと同値である（Mic08 Corollary 1.16 (2)、p. 12）。この記事の thm-tub-retraction は $N=\mathbb{R}^k$ の場合の一方の向きである。

参考文献

[1]

Morris W. Hirsch, Differential Topology, Graduate Texts in Mathematics 33, Springer, 1976, Ch. 4 §5：Theorem 5.1（R^n の部分多様体は管状近傍をもつ、p. 109）とその証明の後の注意（法方向の管状近傍と最も近い点、p. 110）、Theorem 5.2（多様体の中の部分多様体の管状近傍、p. 110）、Theorem 5.3（管状近傍の一意性、p. 112）；Ch. 4 §6：Theorem 6.1（カラーの存在、p. 113）

[2]

John W. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, 1997, §6（p. 38、コンパクトな部分多様体の閉 ε 近傍と最も近い点）、§8 の問題 11・12（p. 53、法束から ε 近傍への微分同相と引き込み）

[3]

Riccardo Benedetti, Lectures on Differential Topology, arXiv:1907.10297, arXiv:1907.10297v1（2019-07-24。のち AMS Graduate Studies in Mathematics 218 として刊行）。§5.3（コンパクトな部分多様体の管状近傍、pp. 101–103）、Proposition 5.4（管状近傍の一意性、p. 103）、§5.3.2（カラー、pp. 104–105）

[4]

Peter W. Michor, Topics in Differential Geometry (author's PDF; Graduate Studies in Mathematics 93, AMS, 2008), Peter W. Michor, 閲覧日 2026年10月1日, https://www.mat.univie.ac.at/~michor/dgbook.pdf

[5]

John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 218, Springer, 2013, Ch. 6：Theorem 6.24（管状近傍定理、pp. 139–140）、Proposition 6.25（沈め込みである滑らかな引き込み、pp. 140–141）、問題 6-5（最も近い点への射影、p. 147）

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管状近傍定理

管状近傍定理

概要

定義

法束は多様体である

管状近傍定理

滑らかな引き込み

例

反例

補足

関連項目

参考文献