二重被覆群
概要
二重被覆群（double covering group）とは、位相群 $H$ に対し、連続な全射準同型 $p\colon G\to H$ で 2 重の被覆写像であるものを伴う位相群 $G$ である。核は位数 $2$ の中心的部分群であり、逆に $T_1$ 位相群を位数 $2$ の中心的部分群で割ると二重被覆群が得られる。円周の二乗写像、$\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$、$\mathrm{Spin}(n)\to\mathrm{SO}(n)$、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ のメタプレクティック二重被覆が代表例で、$G$ が単連結なら $\pi_1(H)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ となる。ファイバーが二元というだけでは被覆写像にならない。
定義
$G,H$ を位相群（群演算と逆元をとる写像が連続な群）とする。連続な全射準同型 $p\colon G\to H$ が 2 重被覆準同型であるとは、$p$ が 2 重の被覆写像（被覆空間）であること、すなわち $H$ の各点 $h$ に対し、$h$ の開近傍 $V$ と $G$ の互いに交わらない開集合 $W_1,W_2$ で、$p^{-1}(V)=W_1\sqcup W_2$ かつ各制限 $p|_{W_j}\colon W_j\to V$（$j=1,2$）が同相写像となるものが存在することをいう。このような $p$ を伴う $G$ を $H$ の二重被覆群（double covering group、二枚被覆群）という。
同様に、$n$ 重の被覆写像である連続な全射準同型を伴う $G$ を $H$ の $n$ 重被覆群といい、一般に被覆写像である連続な全射準同型を被覆準同型、$G$ を $H$ の被覆群という。
被覆写像の定義には全射性を課さない流儀もある（被覆空間の記事の注意（定義の流儀））が、本記事では準同型 $p$ に全射性を課す。各ファイバー $p^{-1}(h)$ が二元であるだけでは被覆写像にならない（rem-double-covering-group-not-covering）。文献では Lie 群（Lie群）の二重被覆群が主に扱われる。二重被覆準同型 $p\colon G\to H$ の核は離散的なので、$p$ の微分は $G$ と $H$ の Lie 環（Lie環）の同型を与える。$\mathrm{Spin}(n)\to\mathrm{SO}(n)$ がその典型である（thm-double-covering-group-spin）。
直感
二重被覆群 $G\to H$ は、$H$ の各元を「二つの元で覆う」群である。局所的には $G$ は $H$ の二枚のコピーであり、群演算も局所的には同じだが、大域的には二枚がつながっていて、$H$ のあるループを一周すると $G$ ではもう一枚のコピーに移る。3 次元の回転を $2\pi$ 回すと元に戻るが、スピン $1/2$ の状態は符号が反転して $4\pi$ で戻る、という現象がその典型で、$\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$ がこれを記述する（SO(3)とSU(2)）。二重被覆群の核は必ず位数 $2$ の中心的部分群であり、逆に位相群をそのような部分群で割れば二重被覆群が得られる（prop-double-covering-group-quotient）。連結（連結空間）な $H$ の連結な二重被覆群 $G$ は $H$ の基本群の指数(群論) $2$ の部分群に対応し、$G$ が単連結（単連結空間）なら $\pi_1(H)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。
例と反例
円周群 $S^1=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|=1\}$（単位円周。複素数の積を演算とする位相群）に対し、$p_2(z):=z^2$ は $S^1$ から $S^1$ への連続な全射準同型であり（$(zw)^2=z^2w^2$、任意の $w\in S^1$ は平方根 $z$ をもつ）、2 重の被覆写像である。被覆写像であることの証明は被覆空間の記事の例（円周の $n$ 重被覆）の $n=2$ の場合にある。核は $\{1,-1\}$ である。同じ写像は $\mathrm{SO}(2)\cong S^1$ の二重被覆 $\mathrm{Spin}(2)\to\mathrm{SO}(2)$ でもある。
Pauli行列への共役作用 $\mathrm{Ad}\colon\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$ は、核が $\{\pm I_2\}$ の連続な全射準同型で 2 重の被覆写像であり、$\mathrm{SU}(2)$ は $\mathrm{SO}(3)$ の二重被覆群である。$\mathrm{SU}(2)$ は 3 次元球面 $S^3$ と同相で単連結なので、これは普遍被覆（普遍被覆空間）であり、$\mathrm{SO}(3)\cong\mathbb{RP}^3$（実射影空間）、$\pi_1(\mathrm{SO}(3))\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。構成と証明はSO(3)とSU(2)の記事の定理（二重被覆 $\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$）にある。$\mathrm{SU}(2)$ は単位四元数の群と同型であり、有限群である四元数群 $Q_8$ はその部分群である。
$n\geq2$ とする。実 $n$ 次元Euclid空間の Clifford 代数（Clifford代数）の単位群の中に、連結なコンパクト（コンパクト空間）Lie 群 $\mathrm{Spin}(n)$（Spin群）と、核が $\{\pm1\}$ の連続な全射準同型 $\mathrm{Spin}(n)\to\mathrm{SO}(n)$ が構成され、$\mathrm{Spin}(n)$ は $\mathrm{SO}(n)$ の二重被覆群である。$n\geq3$ のとき $\mathrm{Spin}(n)$ は単連結で、$\pi_1(\mathrm{SO}(n))\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。低次元では $\mathrm{Spin}(3)\cong\mathrm{SU}(2)$、$\mathrm{Spin}(4)\cong\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$ である。
Clifford 代数による $\mathrm{Spin}(n)$ の構成と上の性質の証明は BtD85 Chapter I §6 に譲る。$n=3$ の場合の直接の構成はSO(3)とSU(2)の記事にある。
$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})=\{g\in M_2(\mathbb{R})\mid\det g=1\}$ は $\mathrm{SO}(2)\times\mathbb{R}_{>0}\times\mathbb{R}$ と同相であり、したがって $S^1\times\mathbb{R}^2$ と同相で、$\pi_1(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}))\cong\mathbb{Z}$ である。
$g\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の第 1 列を $v_1=ge_1\neq0$ とし、$k(g)\in\mathrm{SO}(2)$ を $k(g)e_1=v_1/\|v_1\|$ となる回転行列とする。$k(g)$ は $v_1/\|v_1\|\in S^1$ から連続に定まる。$k(g)^{-1}g$ は第 1 列が $(\|v_1\|,0)$ で行列式が $1$ なので、$k(g)^{-1}g=\begin{pmatrix}r&s\\0&1/r\end{pmatrix}$、$r=\|v_1\|>0$、$s\in\mathbb{R}$ と書ける。写像 $g\mapsto(k(g),r,s)$ は連続であり、逆写像 $(k,r,s)\mapsto k\begin{pmatrix}r&s\\0&1/r\end{pmatrix}$ も連続で、互いに逆である。$\mathrm{SO}(2)\cong S^1$（$\theta\mapsto e^{i\theta}$）、$\mathbb{R}_{>0}\cong\mathbb{R}$（$\log$）なので $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})\cong S^1\times\mathbb{R}^2$ であり、$\mathbb{R}^2$ は可縮（可縮空間）なので $\pi_1(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}))\cong\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ である（$\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ は被覆空間の記事の注意（基本群との関係の証明について）で出典付きで述べられている）。$\square$
各 $n\geq1$ に対し、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の連結な $n$ 重被覆群が同型を除いて一意に存在し、その核は巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である。$n=2$ のものをメタプレクティック群 $\mathrm{Mp}(2,\mathbb{R})$ という。$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の普遍被覆群の任意の有限次元連続表現（群の表現）は $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の表現を経由する。したがって $\mathrm{Mp}(2,\mathbb{R})$ をはじめ $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の自明でない連結被覆群は忠実な有限次元表現をもたず、行列群として実現できない。
連結 Lie 群 $H$ の普遍被覆 $\tilde H$ が $H$ の被覆群となる群構造を一意にもち、連結な被覆群が $\pi_1(H)$ の部分群と対応することは Lie 群論の標準的事実であり、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の普遍被覆群の有限次元表現がすべて $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ を経由することとあわせて Hal15 Chapter 5 に譲る（$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ の表現は $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の表現に複素化され、単連結な $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ の表現に積分されて $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ に制限される、という議論である）。$\pi_1(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}))\cong\mathbb{Z}$ の部分群は $n\mathbb{Z}$ の形なので、連結被覆群は $n$ ごとに一つである。$\mathrm{Mp}(2,\mathbb{R})$ が忠実な有限次元表現をもたないことは次のように従う。$\mathrm{Mp}(2,\mathbb{R})$ の有限次元表現 $\rho$ を普遍被覆 $\tilde G\to\mathrm{Mp}(2,\mathbb{R})$（核は $2\mathbb{Z}$ に対応）と合成すると $\tilde G$ の表現になり、それは $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ を経由するので、核は $\tilde G\to\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の核（$\mathbb{Z}$ に対応）を含む。ゆえに $\rho$ は $\mathrm{Mp}(2,\mathbb{R})\to\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の核 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 上で自明であり、忠実でない。
$C_2=\{1,-1\}$ とし、直積群 $S^1\times C_2$ に離散位相を入れた位相群を $G$、通常の位相の $S^1$ を $H$ とする。射影 $p\colon G\to H$、$p(z,\varepsilon)=z$ は連続（離散空間からの写像）な全射準同型で、各ファイバー $\{(z,1),(z,-1)\}$ は二元である。しかし $p$ は被覆写像でない。実際、$G$ の任意の部分集合は離散空間だが、$H$ の空でない開集合 $V$ は離散でない（$V$ は開弧を含む）ので、$p^{-1}(V)$ の開部分集合から $V$ への同相写像は存在しない。満たす性質は「連続な全射準同型で各ファイバーが二元」、満たさない性質は「被覆写像」であり、破る含意は「ファイバーが二元 $\Rightarrow$ 二重被覆準同型」である。定義の局所同相の条件は落とせない。
また、$p_3(z)=z^3$ は $S^1$ の連続な全射準同型で 3 重の被覆写像であり（被覆空間の記事の例（円周の $n$ 重被覆））、二重被覆準同型ではない。$t\mapsto e^{2\pi it}$ は $\mathbb{R}$ から $S^1$ への被覆準同型だが、ファイバーが無限なので $n$ 重被覆群にはならない。
性質
$\ker p$ は準同型の核なので正規部分群である。単位元 $e_H$ のファイバーは二元なので $\ker p=\{e,k\}$、$k\neq e$ であり、$k^2\in\ker p$ かつ $k^2\neq k$ から $k^2=e$ である。任意の $g\in G$ について $gkg^{-1}\in\ker p$ であり、$gkg^{-1}\neq e$ なので $gkg^{-1}=k$ である。よって $k$ は中心的である。$p(g)=h$ なら $p^{-1}(h)=g\ker p=\{g,gk\}$ であり、$k$ が中心的なので $gk=kg$ である。$\square$
$K$ は中心的なので正規部分群であり、商群 $G/K$ が定まる。$G$ の開集合 $O$ に対し $q^{-1}(q(O))=O\cup kO$ は開なので（左移動 $x\mapsto kx$ は同相写像）、商位相の定義により $q(O)$ は開であり、$q$ は開写像（開写像）である。正規部分群による商群に商位相を入れたものが位相群であることは標準的である（Bou98 Chapter III §2）。
$G$ が $T_1$ なので $G\setminus\{k\}$ は $e$ の開近傍である。写像 $(x,y)\mapsto x^{-1}y$ は $(e,e)$ で連続なので、$e$ の開近傍 $W$ で $W^{-1}W\subset G\setminus\{k\}$ となるものがとれる。このとき $W\cap kW=\emptyset$ である。実際 $w=kw'$（$w,w'\in W$）なら、$k$ が中心的なので $w'^{-1}w=w'^{-1}kw'=k\in W^{-1}W$ となり矛盾する。
$g\in G$ に対し $gW$ は $g$ の開近傍で、$gW\cap kgW=g(W\cap kW)=\emptyset$ である。$V:=q(gW)$ は $q(g)$ の開近傍で、$q^{-1}(V)=gW\sqcup kgW$ である。$q|_{gW}\colon gW\to V$ は連続な全射で、$gW$ が $K$ の剰余類の対を含まないので単射であり、開写像の制限として開写像なので同相写像である。$kgW$ についても同様である。よって $q$ は 2 重の被覆写像であり、全射準同型なので 2 重被覆準同型である。
逆の主張：$\bar p$ は全単射な連続準同型である。被覆写像は開写像である（被覆空間の記事の命題（被覆写像の基本性質））ので、$G/\ker p$ の開集合 $U$ の像 $\bar p(U)=p(q^{-1}(U))$ は $p$ が開写像なので開であり、$\bar p$ は開写像、したがって同相写像である。$\square$
$p\colon G\to H$ を 2 重被覆準同型とし、$G$ は弧状連結（弧状連結空間）とする。このとき $H$ も弧状連結で、$p_*\colon\pi_1(G,e)\to\pi_1(H,e_H)$ は単射であり、その像は指数 $2$ の部分群である。特に $G$ が単連結ならば $\pi_1(H,e_H)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり、その自明でない元は、$e$ から $k$ への $G$ 内の道を $p$ で写したループで代表される。
$H=p(G)$ は弧状連結空間の連続像なので弧状連結である。$p$ は被覆写像なので、被覆空間の記事の定理（基本群との関係）により $p_*$ は単射で、$E,B$ が弧状連結のときファイバーの濃度は $p_*\pi_1(G,e)$ の指数に等しい。ファイバーは二元なので指数は $2$ である。$G$ が単連結なら $p_*\pi_1(G,e)$ は自明群であり、その指数が $2$ なので $\pi_1(H,e_H)$ は位数 $2$、すなわち $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。$e$ から $k$ への道 $\tilde\gamma$ をとると（$G$ は弧状連結）、$\gamma:=p\circ\tilde\gamma$ は $e_H$ を基点とするループで、その $e$ を始点とする持ち上げ $\tilde\gamma$ の終点は $k\neq e$ である。定値ループの持ち上げは定値なので、持ち上げの終点がホモトピー類で定まること（同記事の系（道のホモトピー類と持ち上げの終点））により $[\gamma]$ は単位元でない。$\square$
$H$ が連結でも $G$ は連結とは限らない。たとえば直積 $H\times C_2$（$C_2$ は離散二元群）から $H$ への射影は自明な二重被覆準同型であり、$G=H\times C_2$ は二つの連結成分をもつ。$H$ が連結かつ局所連結（局所連結空間）のとき、$G$ も局所連結（被覆写像は局所同相）なので単位元の連結成分 $G_0$ は開部分群であり、$p(G_0)$ は連結群 $H$ の開部分群なので $p(G_0)=H$、したがって $G=G_0\cup kG_0$ である。ゆえに $G$ の連結成分は高々二つであり、$G$ が連結であることと $k\in G_0$ とは同値である。$H$ が連結かつ局所弧状連結なら、$G$ が連結な二重被覆群は $\pi_1(H)$ の指数 $2$ の部分群に対応し（prop-double-covering-group-pi1）、$\pi_1(H)$ が奇数位数の有限群なら連結な二重被覆群は存在しない。
関連項目
参考文献
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