終位相

同義語：final topology

概要

前提知識: 位相空間, 連続写像, 商位相, 始位相

位相空間 $X_i$ から集合 $Y$ への写像がいくつか与えられたとき、それらをすべて連続にする $Y$ 上の位相のうち、最も細かいものが 終位相 である。開集合が多いほど写像は連続になりにくいので、「連続でいられる限界まで開集合を増やした位相」と言ってもよい。商位相（一つの全射）、位相和（互いに交わらない空間の和集合）、CW複体の弱位相、位相空間の帰納極限の位相は、どれもこの構成の特別な場合である。終位相は、写像族の始域に位相を入れる始位相と向きが逆の構成である。
この記事では、終位相を定義し、次を示す。終位相をもつ空間から出る写像の連続性は、与えられた写像との合成だけで判定でき、この性質が終位相を特徴づけること（thm-final-universal、thm-final-characterization）。終位相は段階を踏んで作っても同じになり（thm-final-transitivity）、全体を覆う写像族の終位相は位相和の商位相になること（thm-final-sum-quotient）。小さい図式の余極限は、集合の余極限に終位相を入れれば得られること（thm-final-colimit）。

定義

終位相

$Y$ を集合、$(X_i,\tau_i)_{i\in I}$ を位相空間の族、$f_i\colon X_i\to Y$ を写像とする。
$$ \tau_f:=\{V\subset Y\mid\text{すべての }i\in I\text{ について }f_i^{-1}(V)\in\tau_i\} $$
を、写像族 $(f_i)_{i\in I}$ に関する $Y$ 上の 終位相（final topology）という。

終位相の基本性質

上の設定で次が成り立つ。

$\tau_f$ は $Y$ 上の位相であり、すべての $f_i$ は $(Y,\tau_f)$ への写像として連続である。
$Y$ 上の位相 $\sigma$ について、すべての $f_i\colon X_i\to(Y,\sigma)$ が連続であることと $\sigma\subset\tau_f$ は同値である。すなわち $\tau_f$ はすべての $f_i$ を連続にする最も細かい位相である。
$F\subset Y$ が $\tau_f$ の閉集合であることと、すべての $i$ で $f_i^{-1}(F)$ が $X_i$ の閉集合であることは同値である。
どの $f_i$ の像にも入らない点 $y$ について、$\{y\}$ は $\tau_f$ の開集合である。

要点は、逆像をとる操作が和集合・共通部分・補集合を保つことである。

詳細

1：$f_i^{-1}(\emptyset)=\emptyset$、$f_i^{-1}(Y)=X_i$ であり、$f_i^{-1}(\bigcup_\lambda V_\lambda)=\bigcup_\lambda f_i^{-1}(V_\lambda)$、$f_i^{-1}(V\cap V')=f_i^{-1}(V)\cap f_i^{-1}(V')$ なので、$\tau_f$ は位相の 3 条件を満たす。連続性は定義そのものである。2：$f_i$ がすべて $\sigma$ について連続であることは、「$V\in\sigma$ ならすべての $i$ で $f_i^{-1}(V)\in\tau_i$」、すなわち $\sigma\subset\tau_f$ のことである。3：$f_i^{-1}(Y\setminus F)=X_i\setminus f_i^{-1}(F)$ による。4：すべての $i$ で $f_i^{-1}(\{y\})=\emptyset$ だからである。$\square$

いくつかの特別な場合を挙げる。

写像族が空（$I=\emptyset$）なら、条件がないので $\tau_f$ は $Y$ の部分集合全体、すなわち離散位相である。
全射 $p\colon X\to Y$ 一つからなる族の終位相は、$p$ による商位相そのものである（商位相の記事の定義「全射が定める商位相」）。
互いに交わらない空間 $X_i$ の和集合 $Y=\bigcup_iX_i$ と包含写像の族の終位相では、$V$ が開集合であることと、すべての $i$ で $V\cap X_i$ が $X_i$ の開集合であることが同値になる。これを 位相和 といい、$\bigsqcup_iX_i$ と書く（Eng89 §2.2、p. 74）。交わりのある族でも、$X_i\times\{i\}$ のように番号を付けて交わらなくしてから同じことをする。

連続性の判定

終位相の最も大事な性質は、そこから出る写像の連続性が「与えられた写像との合成」だけで判定できることである。

終位相からの写像の連続性

$Y$ に写像族 $f_i\colon X_i\to Y$（$i\in I$）に関する終位相を入れる。位相空間 $Z$ への写像 $g\colon Y\to Z$ について、$g$ が連続であることと、すべての $i$ で $g\circ f_i\colon X_i\to Z$ が連続であることは同値である。

$g$ が連続なら、連続写像 $f_i$ との合成 $g\circ f_i$ は連続である。逆にすべての $g\circ f_i$ が連続だとし、$W$ を $Z$ の開集合とする。各 $i$ について $f_i^{-1}(g^{-1}(W))=(g\circ f_i)^{-1}(W)$ は $X_i$ の開集合なので、終位相の定義により $g^{-1}(W)$ は $Y$ の開集合である。よって $g$ は連続である。$\square$

この性質は終位相を特徴づける。

連続性の判定による終位相の特徴づけ

$\tau$ を $Y$ 上の位相とする。どの位相空間 $Z$ とどの写像 $g\colon Y\to Z$ についても「$g\colon(Y,\tau)\to Z$ が連続 $\iff$ すべての $g\circ f_i$ が連続」が成り立つならば、$\tau=\tau_f$ である。

$Z=(Y,\tau)$、$g=\mathrm{id}_Y$ とすると、$g$ は連続なので、仮定からすべての $f_i=g\circ f_i\colon X_i\to(Y,\tau)$ は連続であり、prop-final-basic の 2 により $\tau\subset\tau_f$ である。次に $Z=(Y,\tau_f)$、$g=\mathrm{id}_Y$ とすると、$g\circ f_i=f_i$ は $\tau_f$ について連続なので、仮定から $\mathrm{id}_Y\colon(Y,\tau)\to(Y,\tau_f)$ は連続であり、$\tau_f\subset\tau$ である。$\square$

thm-final-universal は始位相の記事の定理「始位相への写像の連続性」と矢印の向きを逆にしたものである。二つを並べると次のようになる。

	始位相	終位相
位相を入れる場所	写像族 $f_i\colon X\to Y_i$ の始域 $X$	写像族 $f_i\colon X_i\to Y$ の終域 $Y$
開集合	$f_i^{-1}(U)$ の有限個の共通部分の和集合	すべての $f_i^{-1}(V)$ が開となる $V$
位相の大きさ	$f_i$ を連続にする最も粗い位相	$f_i$ を連続にする最も細かい位相
連続性の判定	$Z\to X$ への写像 $g$：すべての $f_i\circ g$ が連続	$Y\to Z$ への写像 $g$：すべての $g\circ f_i$ が連続
代表例	相対位相、直積位相	商位相、位相和

推移性と位相和の商

終位相の推移性

$f_i\colon X_i\to Y$（$i\in I$）を写像とし、各 $X_i$ の位相は、ある写像族 $h_{ij}\colon W_{ij}\to X_i$（$j\in J_i$）に関する終位相であるとする。このとき $Y$ 上の、$(f_i)_{i\in I}$ に関する終位相と、合成の族 $(f_i\circ h_{ij})_{i\in I,\,j\in J_i}$ に関する終位相は一致する。

$V\subset Y$ について、$(f_i\circ h_{ij})^{-1}(V)=h_{ij}^{-1}(f_i^{-1}(V))$ である。$X_i$ の位相が $(h_{ij})_j$ に関する終位相なので、「すべての $j$ で $h_{ij}^{-1}(f_i^{-1}(V))$ が開」であることは「$f_i^{-1}(V)$ が $X_i$ の開集合」であることと同値である。これがすべての $i$ で成り立つことが、どちらの終位相についても $V$ が開集合であるための条件である。$\square$

推移性から、終位相はいつでも一つの写像の終位相に書き直せる。

位相和の商としての表示

$f_i\colon X_i\to Y$（$i\in I$）を写像とし、位相和 $\bigsqcup_iX_i$ から $Y$ への写像 $\Phi$ を、各 $X_i$ の上で $f_i$ に一致するものとする。

$(f_i)_{i\in I}$ に関する $Y$ 上の終位相は、$\Phi$ 一つに関する終位相に等しい。
$Y=\bigcup_if_i(X_i)$（写像族が全体を覆う）ならば、$\Phi$ は全射であり、終位相をもつ $Y$ は $\Phi$ による位相和の商空間である。

1：位相和 $\bigsqcup_iX_i$ の位相は包含写像の族 $\iota_i\colon X_i\to\bigsqcup_iX_i$ に関する終位相であり、$\Phi\circ\iota_i=f_i$ である。thm-final-transitivity（$\Phi$ 一つの族に、$\bigsqcup_iX_i$ の族 $(\iota_i)_i$ を当てる）により、$\Phi$ に関する終位相は $(\Phi\circ\iota_i)_i=(f_i)_i$ に関する終位相に等しい。
2：$\Phi$ の像は $\bigcup_if_i(X_i)=Y$ なので $\Phi$ は全射である。全射一つに関する終位相は商位相なので、1 により結論を得る。$\square$

この定理により、全体を覆う写像族の終位相について成り立つことの多くは、商写像の性質に帰着する。写像族が全体を覆わないときは、prop-final-basic の 4 により、像の外の点は孤立点になる。

部分空間による被覆

位相空間 $Y$ が部分集合 $A_j$（$j\in J$）で覆われているとき、各 $A_j$ に相対位相を入れ、包含写像の族に関する終位相を考える。包含写像はもとの位相で連続なので、prop-final-basic の 2 によりもとの位相は終位相に含まれる。両者が一致するとき、$Y$ の位相は $(A_j)$ と 整合する（coherent）という（Mun00 §71、p. 435）。$V\subset Y$ が開集合であることと、すべての $j$ で $V\cap A_j$ が $A_j$ の開集合であることが同値になる、ということである。

整合する被覆

位相空間 $Y$ の被覆 $(A_j)_{j\in J}$ が次のどちらかを満たせば、$Y$ の位相は $(A_j)$ と整合する。

すべての $A_j$ が開集合である。
すべての $A_j$ が閉集合で、族 $(A_j)$ が局所有限である（各点が、有限個の $A_j$ としか交わらない近傍をもつ）。とくに有限個の閉集合による被覆はこれを満たす。
このとき、写像 $g\colon Y\to Z$ が連続であることと、すべての制限 $g|_{A_j}$ が連続であることは同値である。

$V\subset Y$ について、すべての $j$ で $V\cap A_j$ が $A_j$ の開集合だとし、$V$ が $Y$ の開集合であることを示す。
1：$A_j$ が開集合なので、$A_j$ の開集合 $V\cap A_j$ は $Y$ の開集合である。$V=\bigcup_j(V\cap A_j)$ は開集合である。
2：$F:=Y\setminus V$ とおくと、$F\cap A_j=A_j\setminus(V\cap A_j)$ は $A_j$ の閉集合で、$A_j$ が閉集合なので $Y$ の閉集合である。$F=\bigcup_j(F\cap A_j)$ が閉集合であることを示す。$y\notin F$ とし、$y$ の近傍 $N$ で $A_j$（$j\in J_0$、$J_0$ は有限）としか交わらないものをとる。$N\setminus\bigcup_{j\in J_0}(F\cap A_j)$ は有限個の閉集合を除いた近傍なので $y$ の近傍であり、$F$ と交わらない。よって $Y\setminus F=V$ は開集合である。
最後の主張は thm-final-universal を包含写像の族に当てたものである（$g\circ(\text{包含})=g|_{A_j}$）。$\square$

有限個の閉集合の場合の最後の主張は、連続写像の「貼り合わせの補題」（Mun00 Theorem 18.3、p. 108 は閉集合 2 個の場合）である。閉集合による被覆でも、局所有限でなければ整合するとは限らない（rem-final-counterexamples の 1 行目）。

CW 複体とコンパクト生成空間

CW複体 $X$ の位相は、すべての胞体の特性写像 $\Phi_\alpha\colon D^n_\alpha\to X$ の族に関する終位相である（CW複体の定理「胞体ごとの判定」の (R1)）。定義の弱位相の条件は、骨格の族 $(X^n)$ と位相が整合することを述べている。また位相空間 $X$ の $k$ 化 $kX$ の位相は、コンパクト Hausdorff 空間からのすべての連続写像（試験写像）に関する終位相である（コンパクト生成空間の定義「$k$-空間とコンパクト生成空間」と命題「$k$ 化」）。$X$ が $k$-空間であることは、$X$ の位相が試験写像の族に関する終位相に一致することにほかならない。

余極限

位相空間の圏では、どんな（小さい）図式にも余極限(圏論)がある。集合として余極限をとり、終位相を入れればよい。

位相空間の余極限

$I$ を小さい圏、$D\colon I\to\mathbf{Top}$ を関手とし、$X_i:=D(i)$ とおく。集合の圏での $D$ の余極限を $L$、標準写像を $\mu_i\colon X_i\to L$ とし、$L$ に $(\mu_i)_{i\in I}$ に関する終位相を入れる。このとき $(L,(\mu_i)_i)$ は $D$ の $\mathbf{Top}$ での余極限である。

集合の余極限は、$\bigsqcup_iX_i$ を「$x\in X_i$ と $D(u)(x)\in X_{i'}$（$u\colon i\to i'$）を同じとみなす」ことで生成される同値関係で割った集合として作れ、各 $\mu_i$ は $x$ をその類に送る写像である（余極限(圏論) の記事の、集合の圏での構成）。
$\mu_i$ は終位相について連続であり、$u\colon i\to i'$ について $\mu_{i'}\circ D(u)=\mu_i$ を満たすので、$(L,(\mu_i))$ は $\mathbf{Top}$ での余錐である。別の余錐、すなわち位相空間 $Z$ と連続写像 $g_i\colon X_i\to Z$ で $g_{i'}\circ D(u)=g_i$ を満たすものが与えられたとする。集合の余極限の普遍性により、$g\circ\mu_i=g_i$ を満たす写像 $g\colon L\to Z$ がただ一つある。すべての $g\circ\mu_i=g_i$ が連続なので、thm-final-universal により $g$ は連続である。条件を満たす連続写像は特に写像なので、一意性は集合の場合から従う。$\square$

この定理を個々の余極限に当てると、余積は位相和、余等化子は商空間（商写像の記事の節「圏論的な見方」）、押し出しは空間の貼り合わせ、帰納系の余極限は帰納極限の位相になる。最後の場合、部分空間の増大列の帰納極限は、和集合に相対位相を入れたものと一般に異なる（帰納極限の例「反例：位相空間の帰納極限の位相」）。終位相は「各段で開なら開」とする最も細かい位相なので、各段では見えない開集合が増えうるからである。

条件を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
prop-final-coherent の 2 の「局所有限」	$\mathbb{R}$ の一点集合 $\{x\}$ 全体による閉被覆	位相が被覆と整合すること
thm-final-universal の「$Y$ の位相が終位相」	$f\colon[0,1)\to S^1$、$f(t)=(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$、$S^1$ には通常の位相	すべての $g\circ f_i$ が連続なら $g$ が連続
thm-final-transitivity の「各 $X_i$ の位相が $(h_{ij})_j$ に関する終位相」	離散位相の $\mathbb{R}$ から通常の $\mathbb{R}$ への恒等写像 $h$ と、$\mathbb{R}$ の恒等写像 $f$	$(f)$ に関する終位相と $(f\circ h)$ に関する終位相が一致すること

反例の確認

1 行目：一点集合の相対位相は自明なので、どの $V\subset\mathbb{R}$ についても $V\cap\{x\}$ は $\{x\}$ の開集合であり、終位相は離散位相である。$\mathbb{R}$ の通常の位相は離散位相でないので整合しない。一点集合はどれも閉集合だが、どの点のどの近傍も無限個の一点集合と交わるので、被覆は局所有限でない。
2 行目：$f$ は連続な全単射である。$g:=f^{-1}\colon S^1\to[0,1)$ とすると $g\circ f=\mathrm{id}_{[0,1)}$ は連続だが、$g$ は点 $(1,0)$ で連続でない（$(1,0)$ に下から近づく点 $f(1-1/n)$ の $g$ による像 $1-1/n$ は $g((1,0))=0$ に近づかない）。$S^1$ の通常の位相は $f$ に関する終位相より真に粗い（終位相では $f([0,1/2))$ が開集合になる）。
3 行目：$W:=\mathbb{R}$ に離散位相、$X:=\mathbb{R}$ に通常の位相を入れ、$h:=\mathrm{id}\colon W\to X$ とする。$h$ は連続だが、$h$ に関する $X$ 上の終位相は離散位相なので、$X$ の位相は $h$ に関する終位相ではない。$Y:=\mathbb{R}$、$f:=\mathrm{id}\colon X\to Y$ とすると、$f$ に関する終位相は通常の位相、$f\circ h$ に関する終位相は離散位相である。$\{0\}$ は後者では開だが前者では開でないので、二つは一致しない。

補足

部分空間・直積との相性

終位相は、部分集合への制限や直積とは相性がよくない。全射 $p$ 一つの場合でも、飽和した部分集合 $A$ への制限 $p|_A\colon A\to p(A)$ は商写像とは限らず（商写像の記事の注意「反例：飽和集合への制限が商写像でない例」）、二つの商写像の直積も商写像とは限らない（同じ記事の節「直積との相性」）。一方の因子が局所コンパクト Hausdorff 空間なら、商写像と恒等写像の直積は商写像である（J. H. C. Whitehead の補題。この記事では証明しない。局所コンパクト空間の命題「局所コンパクト因子と商写像」）。直積位相を $k$ 化して取り直す工夫はコンパクト生成空間の記事が扱う（命題「$k$-空間の圏の直積」）。

圏論からの見方

写像族 $f_i\colon X_i\to Y$ で $Y$ の位相が終位相になっているものは、位相空間の圏の「終的なシンク」（final sink）と呼ばれる（AHS06 Example 10.68 (3)、p. 181）。写像一つの場合は終射（final morphism）で、全射の終射が商写像である（AHS06 Definition 8.10・Examples 8.11 (1)、p. 131）。thm-final-colimit のように、台集合の余極限に終位相を入れれば余極限になるという性質は、位相空間の圏の余積が台集合の余積に終位相を入れたものであること（AHS06 Examples 10.67 (2)、p. 181）の一般化である。