連立不等式

同義語：system of inequalities

概要

前提知識: 1次不等式, 数直線（高校数学）

高校での出発点：2 つの解の重なりを数直線で見る

いくつかの不等式を組にして、「それらを すべて同時に 満たす $x$」を求める問題がある。この組を 連立不等式 という。1 つずつ解き、解の重なる部分を数直線で読み取る。

2 つの 1 次不等式の連立

$$ \begin{cases}2x-1< 5\\ 3x+2\ge-4\end{cases} $$
を解く。

$2x-1< 5$ は $2x< 6$ で、$x< 3$ である。
$3x+2\ge-4$ は $3x\ge-6$ で、$x\ge-2$ である。
両方を満たすのは、$x\ge-2$ かつ $x< 3$、つまり $-2\le x< 3$ である（図 1）。端の $-2$ は 2 の解に含まれ、1 の解 $x< 3$ にも含まれるので、連立不等式の解に入る。$3$ は 1 の解に含まれないので入らない。
確かめ：$x=0$ では $-1< 5$、$2\ge-4$ で両方成り立つ。$x=3$ では $5< 5$ が成り立たない。

上から順に、x < 3 の解、x ≧ −2 の解、2 つの重なり −2 ≦ x < 3 を数直線に示した図

解がない連立不等式

$$ \begin{cases}x+4>7\\ 2x< 2\end{cases} $$
は、1 つ目が $x>3$、2 つ目が $x< 1$ である。$3$ より大きく、しかも $1$ より小さい実数はないので、解はない。数直線で 2 つの半直線が重ならないことからも読み取れる。

$A< B< C$ の形

$x-1< 2x+1\le x+4$ は、「$x-1< 2x+1$ かつ $2x+1\le x+4$」という連立不等式である。

$x-1< 2x+1$ は $-2< x$。
$2x+1\le x+4$ は $x\le3$。
解は $-2< x\le3$ である。$x=3$ では $2< 7\le7$ で、2 つ目は等号で成り立つ。

この記事では次の問いに答える。

連立不等式の解は、なぜ「各不等式の解の重なり」になるのか。→ def-soi-system
1 次の連立不等式の解は、どんな形の集合になるのか。いつ解がなくなるのか。→ thm-soi-main
「または」と「かつ」を取り違えると何が起こるか。連立方程式のように足し合わせてよいか。→ ex-soi-or、ex-soi-add

文字が 2 つの連立不等式から、1 つの文字の範囲を求めるにはどうするか。→ prop-soi-eliminate

高校の計算	この記事の言葉	ボックス
解の重なりを読む	解の集合の共通部分	def-soi-system
「大きいほうより大きい」	下の端の最大値	lem-soi-lower
「重ならないので解なし」	下の端が上の端を超える	lem-soi-meet
$A< B< C$	$A< B$ かつ $B< C$	ex-soi-chain

連立不等式とその解

連立不等式と共通部分

いくつかの不等式を組にし、それらを すべて同時に満たす ことを求めるものを 連立不等式 という。連立不等式のすべての不等式を満たす $x$ を連立不等式の解という。
2 つの集合 $A$、$B$ の両方に属する要素全体を $A$ と $B$ の 共通部分 といい、$A\cap B$ と書く。3 つ以上のときも同じように、すべてに属する要素全体を共通部分という。連立不等式の解全体は、各不等式の解全体の共通部分である。

最後の文は定義を言いかえただけである。$x$ が連立不等式の解であることは、$x$ が 1 つ目の不等式の解であり、かつ 2 つ目の不等式の解であり、……ということだからである。$A< B< C$ という書き方は「$A< B$ かつ $B< C$」の意味で、2 つの不等式の連立である（ex-soi-chain。教科書での扱いの例は Abr21 の §2.7）。

共通部分を求める

$A$ を区間 $[-2,\infty)$、$B$ を区間 $(-\infty,3)$ とすると、$A\cap B=[-2,3)$ である（ex-soi-first）。
$A=(1,5)$、$B=[3,8]$ なら $A\cap B=[3,5)$ である。$3$ は $A$ にも $B$ にも入り、$5$ は $A$ に入らない。
$A=(-\infty,1)$、$B=(3,\infty)$ なら、共通部分に要素はない。要素をもたない集合を 空集合 といい、$\emptyset$ と書く（ex-soi-empty）。

主定理：1 次の連立不等式の解の形

1次不等式の「1 次不等式の解」により、$x$ の 1 次不等式の解は、$x>p$、$x\ge p$（下に端がある半直線）か、$x< q$、$x\le q$（上に端がある半直線）である。前者を 下からの条件、後者を 上からの条件 と呼ぶことにする。連立不等式の解を求めるには、これらの共通部分を調べればよい。

下からの条件を 1 つにまとめる

2 つの下からの条件の共通部分は、端の大きいほうの条件になる。詳しくは、実数 $p$、$p'$ について

$p< p'$ なら、「$x\mathrel{\rho}p$ かつ $x\mathrel{\rho'}p'$」は「$x\mathrel{\rho'}p'$」と同値である。ここで $\rho$、$\rho'$ は $>$ か $\ge$ のどちらかを表す。
$p=p'$ なら、「$x\ge p$ かつ $x\ge p$」は $x\ge p$ と、2 つのうち少なくとも一方が $>$ なら $x>p$ と同値である。
上からの条件についても、$>$、$\ge$、「大きいほう」を $< $、$\le$、「小さいほう」に替えて同じことが成り立つ。

端の大きいほうが小さいほうを含む

方針：端の大きいほうの条件を満たせば、端の小さいほうの条件は自動的に満たされることを示す。
1：$p< p'$ とする。$x\mathrel{\rho'}p'$ を満たす $x$ は、$x\ge p'$ を満たす（$\rho'$ が $>$ なら $x>p'$ から $x\ge p'$）。$p'>p$ なので $x\ge p'>p$ で、$x>p$ であり、したがって $x\ge p$ でもある。よって $x\mathrel{\rho}p$ も満たす。逆に、両方を満たせば当然 $x\mathrel{\rho'}p'$ を満たす。
2：$p=p'$ とする。両方 $\ge$ なら条件は同じである。一方が $>$ のとき、$x>p$ なら $x\ge p$ も成り立つので、「$x>p$ かつ $x\ge p$」は $x>p$ と同値である。両方 $>$ なら条件は同じである。
上からの条件は、数直線の向きを逆にして同じ議論をすればよい（$x< q$ は $-x>-q$ と同値なので、1次不等式の「同値な変形」により下からの条件に直せる）。$\square$

下からの条件と上からの条件の共通部分

実数 $p$、$q$ について、

$p< q$ なら、「$x\mathrel{\rho}p$ かつ $x\mathrel{\sigma}q$」（$\rho$ は $>$ か $\ge$、$\sigma$ は $< $ か $\le$）の解は、端を $p$、$q$ とする区間で、少なくとも $\dfrac{p+q}2$ を含む。
$p=q$ なら、解は「$x\ge p$ かつ $x\le p$」のとき $x=p$ の 1 点だけで、少なくとも一方が $>$ か $< $ なら解はない。
$p>q$ なら、解はない。

端の大小で 3 つに分ける

方針：2 つの条件から $x$ についての 2 つの評価を作り、$p$ と $q$ の大小と比べる。
1：$p< q$ とする。解の集合は定義から $\{x\mid x\mathrel{\rho}p\ \text{かつ}\ x\mathrel{\sigma}q\}$ で、これは数直線（高校数学）の「区間の記号」の 4 つの有界な区間のどれかである。$m:=\dfrac{p+q}2$ とおくと、$p< q$ の両辺に $p$ を足して $2p< p+q$、$\dfrac12$ を掛けて $p< m$ である。同じく $q$ を足すと $m< q$ である。よって $m>p$、$m< q$ で、$m$ は $\rho$、$\sigma$ がどちらでも条件を満たす。
2：$p=q$ とする。$x\ge p$ かつ $x\le p$ なら、$x>p$ でも $x< p$ でもないので $x=p$ であり、逆に $x=p$ は両方を満たす。一方が $>$ のときは $x>p$ と $x\le p$ が両立しないので解はない。$< $ のときも同じである。
3：$p>q$ とする。解 $x$ があったとすると、$x\ge p$ と $x\le q$ が成り立ち（$>$、$< $ ならなおさら）、$q\ge x\ge p$ から $q\ge p$ となって $p>q$ に反する。よって解はない。$\square$

1 次の連立不等式の解の形

$x$ についての有限個の 1 次不等式の連立不等式の解全体は、次のどれかである。

空集合（解なし）
1 点だけ
半直線（下からの条件だけ、または上からの条件だけのとき）
両端のある区間（$[p,q]$、$[p,q)$、$(p,q]$、$(p,q)$、$p< q$）
さらに、下からの条件の端のうち最大のものを $p$、上からの条件の端のうち最小のものを $q$ とすると、両方の条件があるとき、解があることは、$p< q$ であるか、または $p=q$ で、端が $p$ の条件（下からの条件も上からの条件も）がすべて等号つき（$\ge$、$\le$）であることと同値である。

条件を下と上の 1 つずつにまとめる

方針：lem-soi-lower をくり返して、下からの条件を 1 つ、上からの条件を 1 つにまとめ、最後に lem-soi-meet を使う。
段 1（各不等式を条件に直す）。1次不等式の「1 次不等式の解」により、連立不等式の各不等式は、同じ解をもつ下からの条件か上からの条件に直せる。連立不等式の解はそれらの共通部分である（def-soi-system）。
段 2（下からの条件をまとめる）。下からの条件が 2 つ以上あれば、lem-soi-lower により 2 つを、端の大きいほう（端が等しく一方が $>$ なら $>$）の 1 つの条件に替えても、共通部分は変わらない。これをくり返すと、条件は 1 つずつ減り、最後に 1 つになる。その端は、すべての下からの条件の端の最大値 $p$ で、$p$ を端とする条件のどれかが $>$ なら $>$、すべて $\ge$ なら $\ge$ である。上からの条件も同じように、端の最小値 $q$ をもつ 1 つの条件にまとまる。
段 3（場合を分ける）。下からの条件だけなら、解は段 2 の 1 つの条件の解で、半直線である。上からの条件だけでも同じである。両方あるときは、残った 2 つの条件に lem-soi-meet を使うと、$p< q$ なら両端のある区間、$p=q$ なら 1 点か空集合、$p>q$ なら空集合になる。$p=q$ のとき 1 点になるのは、まとめた 2 つの条件がどちらも等号つきのとき、つまり $p$ や $q$ を端とする条件がすべて等号つきのときである。$\square$

3 つ以上の不等式の連立

$$ \begin{cases}x>-1\\ 2x\ge4\\ x-3< 2\\ 3x\le18\end{cases} $$
は、$x>-1$、$x\ge2$、$x< 5$、$x\le6$ である。下からの条件の端は $-1$、$2$ で最大は $2$（$\ge$）、上からの条件の端は $5$、$6$ で最小は $5$（$< $）である。$2< 5$ なので、解は $2\le x< 5$ である。

解が 1 点になる場合とならない場合

$\begin{cases}2x-1\ge5\\ x+2\le5\end{cases}$ は $x\ge3$ かつ $x\le3$ で、解は $x=3$ だけである。
$\begin{cases}2x-1>5\\ x+2\le5\end{cases}$ は $x>3$ かつ $x\le3$ で、解はない。端は同じ $3$ でも、一方が等号を含まないと解がなくなる。

$A< B< C$ の形の連立不等式では、3 つの式すべてに同じ式を足したり、同じ正の数を掛けたりしてもよい。$x$ に数を 1 つ代入するごとに、1次不等式の「同値な変形」を 2 つの不等式に同時に使うことになるからである。たとえば $x+1< 2x-3< x+5$ の各辺から $x$ を引くと $1< x-3< 5$、各辺に $3$ を足すと $4< x< 8$ である。

文字を含む連立不等式

thm-soi-main の「端の最大値と最小値を比べる」という見方は、端に文字が入っても使える。

解をもつ条件と、整数の解の個数

$a$ を定数として、連立不等式 $\begin{cases}x>2\\ x< a\end{cases}$ を考える。

解をもつ条件：lem-soi-meet により、解があるのは $2< a$ のときに限る。$a\le2$ なら解はない。
整数の解がちょうど 3 個になる条件：$a>2$ のとき解は $2< x< a$ である。整数の解が $3$、$4$、$5$ の 3 個だけになるのは、$5$ が解に入り（$5< a$）、$6$ が入らない（$6\ge a$）とき、つまり $5< a\le6$ のときである。たとえば $a=6$ なら解は $2< x< 6$ で、整数は $3$、$4$、$5$ である。$a=5$ なら $5$ が入らず、整数は $3$、$4$ の 2 個になる。

文字が 2 つの連立不等式

$x$、$y$ の 1 次不等式を連立すると、解は座標平面の点の集まりになる。各不等式の表す半平面（1次不等式の「2 つの文字の 1 次不等式」）の共通部分である（図で読む方法の例は MH20 の §4.7）。その図形の性質（凸であること、頂点での最大・最小）は不等式の表す領域と線形計画法で扱う。ここでは、1 つの文字を消して、もう 1 つの文字のとりうる範囲を求める方法を示す。

1 つの文字を消す

$x$ を固定するごとに、$y$ についての連立不等式が
$$ y\ge\ell_1,\ \dots,\ y\ge\ell_k,\qquad y\le u_1,\ \dots,\ y\le u_m $$
の形（$\ell_i$、$u_j$ は $x$ だけの式、$k\ge1$、$m\ge1$）になるとする。このとき、この連立不等式を満たす $y$ が存在することは、すべての $i$、$j$ について $\ell_i\le u_j$ が成り立つことと同値である。

端の最大値と最小値で比べる

方針：$x$ を 1 つ固定すれば $\ell_i$、$u_j$ はただの数なので、thm-soi-main の証明と同じく、下の端の最大値と上の端の最小値を比べる。
段 1。$x$ を固定し、$L:=\max\{\ell_1,\dots,\ell_k\}$、$U:=\min\{u_1,\dots,u_m\}$ とおく。lem-soi-lower をくり返し使うと（prf-thm-soi-main の段 2 と同じ）、$y$ の条件は「$y\ge L$ かつ $y\le U$」とまとまる（等号つきの条件だけなので、端が等しくなっても等号つきのまま）。
段 2。lem-soi-meet により、これを満たす $y$ があることは $L\le U$ と同値である（$L< U$ なら区間、$L=U$ なら 1 点）。
段 3。$L\le U$ は、すべての $i$、$j$ で $\ell_i\le u_j$ が成り立つことと同値である。実際、$L\le U$ なら $\ell_i\le L\le U\le u_j$ である。逆に、すべての $\ell_i\le u_j$ が成り立てば、最大値 $L$ もある $\ell_i$ に等しく、最小値 $U$ もある $u_j$ に等しいので、$L\le U$ である。$\square$

$y$ を消して $x$ の範囲を求める

$$ \begin{cases}y\ge x-1\\ y\ge0\\ x+y\le3\end{cases} $$
を満たす点 $(x,y)$ があるような $x$ の範囲を求める。3 つ目は $y\le3-x$ である。下からの条件は $y\ge x-1$、$y\ge0$、上からの条件は $y\le3-x$ なので、prop-soi-eliminate により、条件は
$$ x-1\le3-x\quad\text{かつ}\quad0\le3-x $$
で、$x\le2$ かつ $x\le3$、つまり $x\le2$ である。

$x=2$ のとき、$y$ の条件は $y\ge1$、$y\ge0$、$y\le1$ で、$y=1$ だけが入る。点 $(2,1)$ は 3 つの不等式を満たす。
$x=2.5$ のとき、$y\ge1.5$ と $y\le0.5$ が両立せず、点はない。
$x=-10$ のとき、$y$ の条件は $y\ge-11$、$y\ge0$、$y\le13$ で、$0\le y\le13$ の点がある。$x$ をいくら小さくしても点があり、この 3 つの不等式の表す領域は左へ限りなく広がっている。右の端は点 $(2,1)$ である。

例と反例

連立不等式の解き方の前提を外したり、取り違えたりすると、解が変わる。

外した前提・取り違え	崩れる主張	ボックス
条件を「かつ」で結ぶ	解は 1 つの区間か 1 点か空集合（thm-soi-main）	ex-soi-or
端を比べるときに等号の有無を区別する	端が等しいときの解の有無（lem-soi-meet の 2）	ex-soi-point
各不等式を同値な変形で解く	得た範囲がちょうど解になる	ex-soi-add
文字を消すとき、下の端と上の端の組をすべて比べる	文字の範囲が正しく求まる（prop-soi-eliminate）	ex-soi-pairs

反例：「かつ」と「または」

「$x< 1$ または $x>3$」を満たす $x$ 全体は、2 つの解の 和集合（少なくとも一方に属する要素全体）で、$1$ 以上 $3$ 以下の数だけが外れた集合である。これは 1 つの区間ではない。たとえば $0$ と $4$ は入るが、その間の $2$ は入らない。連立不等式は「かつ」で結んだものなので、thm-soi-main は「または」で結んだ条件には使えない。2 次不等式 $x^2-4x+3>0$ の解はこの形になる（2次不等式）。

反例：連立方程式のように足し合わせる

$$ \begin{cases}x+y>2\\ x-y>0\\ y< -5\end{cases} $$
の 1 つ目と 2 つ目を辺ごとに足すと $2x>2$、つまり $x>1$ となる。これは「解ならば $x>1$」という正しい結論だが、解をもつ $x$ の範囲ではない。たとえば $x=2$ のとき、$y$ の条件は $y>0$、$y< 2$、$y< -5$ で両立せず、解になる点はない。
正しい範囲は、prop-soi-eliminate と同じく $y$ の下の端と上の端の組をすべて比べて求める（等号のない不等式なので、lem-soi-meet により「$<$」で比べる）。$y$ の条件は $y>2-x$、$y< x$、$y< -5$ なので、
$$ 2-x< x\quad\text{かつ}\quad2-x< -5 $$
で、$x>1$ かつ $x>7$、つまり $x>7$ である。$x=8$ なら $-6< y< -5$ の点、たとえば $(8,-5.5)$ が 3 つの不等式を満たす（$2.5>2$、$13.5>0$、$-5.5< -5$）。足し合わせは同値な変形ではなく、必要条件を取り出すだけである。

反例：端の組を比べ忘れる

ex-soi-eliminate で、下の端 $x-1$ と上の端 $3-x$ だけを比べて $0\le3-x$ を忘れても、この例では $x\le2$ から $x\le3$ が出るので答えは変わらない。しかし、$\begin{cases}y\ge x-1\\ y\ge5\\ x+y\le3\end{cases}$ で $x-1\le3-x$（$x\le2$）だけを比べると誤りになる。$x=0$ は $x\le2$ を満たすが、$y\ge5$ と $y\le3$ は両立しない。もう 1 つの組 $5\le3-x$ から $x\le-2$ が必要で、正しい範囲は $x\le-2$ である（$x=-2$ では $y=5$ で、$5\ge-3$、$5\ge5$、$-2+5=3\le3$ を満たす）。

大学数学で見る：凸集合の共通部分

区間と凸集合

実数の集合 $S$ が「$S$ の 2 点 $s< t$ と $s< x< t$ を満たす $x$ について、つねに $x\in S$」を満たすとき、$S$ を（数直線の）凸集合 と呼ぶ。2 点以上を含む凸集合は区間と同じものである（Leb の Proposition 1.4.1（p. 41）。この記事では証明しない）。凸集合の共通部分はまた凸集合なので（$S$、$T$ の両方で間の点が入れば、共通部分でも入る）、連立不等式の解が区間・1 点・空集合のどれかになること（thm-soi-main）は、この性質からも読み取れる。
平面や空間でも、1 次不等式の解（半平面・半空間）は凸集合で、その共通部分である連立 1 次不等式の解も凸集合である。有限個の 1 次不等式の解全体を 凸多面体（有界でなくてもよい）といい、線形計画法の舞台になる（線形計画法）。
prop-soi-eliminate の「下の端と上の端の組をすべて比べて 1 つの文字を消す」考え方は、文字がいくつあっても使える。消すたびに不等式の個数は増えうるが、最後に 1 つの文字の範囲が残る。

さらに先へ

連立不等式の端の比べ方は、2 次不等式を含む連立（2次不等式の「連立不等式と文字を含む不等式」）でも同じである。
文字が 2 つの連立 1 次不等式の領域で 1 次式の最大・最小を求める方法は不等式の表す領域と線形計画法で、領域を使った最大・最小の別の例は領域を使った最大・最小で扱う。
絶対値の不等式 $|x-c|< r$ は、連立不等式 $c-r< x< c+r$ と同じである（数直線（高校数学）の「1 点からの距離が $r$ より小さい点」）。