Castelnuovo–Mumford正則性

要点：有限個の随伴点を避ける 1 次形式は非零因子で、制限の長完全列で消滅が $H$ へ受け渡される。

無限体への帰着。 $K\supset k$ を無限体の拡大（たとえば有理関数体 $k(t)$）とし、$\mathbb{P}^n_K\to\mathbb{P}^n_k$ による $\mathcal{F}$ の引き戻しを $\mathcal{F}_K$ とする。$\operatorname{Spec}K\to\operatorname{Spec}k$ は平坦なので $H^i(\mathbb{P}^n_K,\mathcal{F}_K(j))\cong H^i(\mathcal{F}(j))\otimes_kK$ であり（Har77 III, Proposition 9.3, p. 255）、$\mathcal{F}_K$ も $m$ 正則である。1・2 のコホモロジーの消滅と写像の全射性は $\otimes_kK$ の後で確かめればよい。3 の大域生成は、写像 $H^0(\mathcal{F}(r))\otimes_k\mathcal{O}\to\mathcal{F}(r)$ の余核 $\mathcal{C}$ が $0$ であることで、$\mathbb{P}^n_K\to\mathbb{P}^n_k$ は全射かつ平坦なので、引き戻し $\mathcal{C}_K$（$\mathcal{F}_K(r)$ についての同じ写像の余核）が $0$ なら $\mathcal{C}=0$ である。よって $k$ は無限体としてよい。
2 と 1 の証明。 $n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $\mathbb{P}^0=\operatorname{Spec}k$ で、高次コホモロジーはなく、$H^0(\mathcal{O}(1))=k$ で 1 の写像は同型なので、主張は明らかである。$n\ge1$ とし、$n-1$ では主張が成り立つとする。lem-cmr-hyperplane の超平面 $H$ をとると、$\mathcal{F}_H$ は $H\cong\mathbb{P}^{n-1}$ の上で $m$ 正則なので、帰納法の仮定により 1・2 が $\mathcal{F}_H$ について成り立つ。
2：$i\ge1$ を固定し、$r\ge m-i$ についての帰納法で示す。$r=m-i$ なら定義そのものである。$r>m-i$ のとき、完全列 $0\to\mathcal{F}(r-1)\to\mathcal{F}(r)\to\mathcal{F}_H(r)\to0$ から
$$ H^i(\mathcal{F}(r-1))\to H^i(\mathcal{F}(r))\to H^i(H,\mathcal{F}_H(r)) $$
が完全で、左端は $r$ についての帰納法の仮定、右端は $\mathcal{F}_H$ についての 2 により $0$ である。よって中央も $0$ である。
1：$r\ge m$ とし、可換図式
$$ \begin{array}{ccc} H^0(\mathcal{O}(1))\otimes H^0(\mathcal{F}(r)) & \xrightarrow{\ \sigma\ } & H^0(\mathcal{O}_H(1))\otimes H^0(\mathcal{F}_H(r)) \\ \downarrow\mu & & \downarrow\tau \\ H^0(\mathcal{F}(r+1)) & \xrightarrow{\ \nu\ } & H^0(\mathcal{F}_H(r+1)) \end{array} $$
を考える（縦は掛け算、横は $H$ への制限）。2 により $H^1(\mathcal{F}(r-1))=0$（$r-1\ge m-1$）なので、制限 $H^0(\mathcal{F}(r))\to H^0(\mathcal{F}_H(r))$ は全射である。$H^0(\mathcal{O}(1))\to H^0(\mathcal{O}_H(1))$ も全射なので $\sigma$ は全射であり、$\tau$ は $\mathcal{F}_H$ についての 1 により全射である。よって $\nu\circ\mu=\tau\circ\sigma$ は全射で、$H^0(\mathcal{F}(r+1))=\operatorname{im}\mu+\ker\nu$ である。完全列 $0\to H^0(\mathcal{F}(r))\xrightarrow{\ell}H^0(\mathcal{F}(r+1))\xrightarrow{\nu}H^0(\mathcal{F}_H(r+1))$ により $\ker\nu=\ell\cdot H^0(\mathcal{F}(r))$ で、これは $\ell\otimes H^0(\mathcal{F}(r))$ の $\mu$ による像なので $\operatorname{im}\mu$ に含まれる。したがって $\mu$ は全射である。
3 の証明。 高次コホモロジーの消滅は 2 で $r\ge m>m-i$ としたものである。$r\ge m$ とし、$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}(r)$ を大域切断で生成される部分層とする。Serre の定理（Har77 II, Theorem 5.17, p. 121）により、十分大きい $p$ で $\mathcal{F}(r+p)$ は大域切断で生成される。1 を $r,r+1,\dots,r+p-1$ に繰り返し使うと、掛け算写像 $H^0(\mathcal{O}(p))\otimes H^0(\mathcal{F}(r))\to H^0(\mathcal{F}(r+p))$ は全射である。よって $H^0(\mathcal{F}(r+p))$ の元は $f\cdot s$（$f$ は $p$ 次式、$s\in H^0(\mathcal{F}(r))$）の和で、その芽は $\mathcal{G}(p)$ に入る。$\mathcal{F}(r+p)$ はこれらで生成されるので $\mathcal{G}(p)=\mathcal{F}(r+p)$ であり、$\mathcal{O}(-p)$ でひねって $\mathcal{G}=\mathcal{F}(r)$ を得る。$\square$

thm-cmr-mumford の 1 を $r,r+1,\dots,r+p-1$ に順に使い、$p$ 次式が 1 次式の積の和であることを使えばよい。$\square$

要点：長完全列で、消える両隣の項に挟む。

1：$i\ne i'$ について、$p_{i'}$ で消え $p_i$ で消えない 1 次形式 $\ell_{ii'}$ と、$p_i$ で消えない 1 次形式 $u_i$ をとる。$j\ge r-1$ なら $g_i:=u_i^{\,j-r+1}\prod_{i'\ne i}\ell_{ii'}$ は $p_i$ でだけ消えない $j$ 次式なので、$\mathrm{ev}_j$ は全射である。また $\mathrm{ev}_j$ が全射なら、各 $i$ について $p_i$ でだけ消えない $j$ 次式 $g$ があり、$u_ig$ は同じ性質の $(j+1)$ 次式なので $\mathrm{ev}_{j+1}$ も全射である。
2：$0\to\mathcal{I}_Z\to\mathcal{O}\to\mathcal{O}_Z\to0$ と $H^0(\mathcal{O}_Z(j))\cong k^{r}$、$i\ge1$ での $H^i(\mathcal{O}_Z(j))=0$ を使う。$i\ge2$ なら $H^i(\mathcal{I}_Z(j))\cong H^i(\mathcal{O}(j))$ であり、$i=n$（$n\ge2$）のとき $H^n(\mathcal{I}_Z(m-n))=0$ は $m\ge0$ と同値、$2\le i< n$ では自動的に $0$ である。$i=1$ では、完全列
$$ H^0(\mathcal{O}(m-1))\xrightarrow{\mathrm{ev}_{m-1}}k^{r}\to H^1(\mathcal{I}_Z(m-1))\to H^1(\mathcal{O}(m-1)) $$
がある。$m\ge1$ なら右端は $0$ なので、$H^1(\mathcal{I}_Z(m-1))=0$ は $\mathrm{ev}_{m-1}$ の全射性と同値である。$m\le0$ なら $H^0(\mathcal{O}(m-1))=0$ で、$k^r\ne0$ が単射で入るので $H^1(\mathcal{I}_Z(m-1))\ne0$ である。以上と 1 から、$\mathcal{I}_Z$ が $m$ 正則であることは $m\ge j_0+1$ と同値である。
3：$Z\subset L$（直線）なら、$\mathrm{ev}_{r-2}$ は $L\cong\mathbb{P}^1$ への制限 $H^0(\mathcal{O}(r-2))\to H^0(\mathcal{O}_L(r-2))$ を経由し、後者は $r-1$ 次元なので $k^r$ へ全射でない。よって $j_0=r-1$ である。座標ベクトルが 1 次独立なら、座標変換で $p_i$ を座標点 $e_i$ にでき、1 次形式 $x_i$ は $p_i$ でだけ消えないので $j_0\le1$、$r\ge2$ なら定数は $p_1$ と $p_2$ を区別しないので $j_0=1$ である。$\square$