ホモトピー仮説

$N\mathcal G$ が Kan 複体であることは Kan複体 の定理「脈体が Kan 複体であるための条件」である。

1. $N\mathcal G$ の辺は $\mathcal G$ の射なので、頂点 $x,y$ が辺で結ばれることと、$\mathcal G$ で同型であることは同値である。
2. $\pi_1$ の元の代表は、$\partial\Delta^1$ を $x$ に写す辺、すなわち射 $g\colon x\to x$ である。$g$ から $g'$ への $\partial\Delta^1$ を固定したホモトピー $\Delta^1\times\Delta^1\to N\mathcal G$ は、脈体 の命題「自然変換と $\Delta^1\times N(\mathcal C)$」（$\mathcal C=[1]$、$N[1]=\Delta^1$）により、$g$ と $g'$ の定める関手 $[1]\to\mathcal G$ の間の自然変換 $\theta$ と 1 対 1 に対応する。ホモトピーが $\partial\Delta^1$ の上で定値なので $\theta_0=\theta_1=\mathrm{id}_x$ であり、自然性 $\theta_1\circ g=g'\circ\theta_0$ から $g=g'$ を得る。よって $\pi_1(N\mathcal G,x)$ は集合として $\operatorname{Aut}_{\mathcal G}(x)$ である。$\pi_1$ の積 $[v_0][v_2]$ は、$d_0\omega=v_0$、$d_2\omega=v_2$ となる $2$ 単体 $\omega$ の $d_1\omega$ で与えられる（GJ09 §I.8、p. 36）。$N\mathcal G$ の $2$ 単体は合成可能な射の組 $(v_2,v_0)$ で $d_1\omega=v_0\circ v_2$ なので、積は $\mathcal G$ の合成である。
3. $n\ge2$ とし、$\alpha\colon\Delta^n\to N\mathcal G$ が $\partial\Delta^n$ を $x$ に写すとする。$\alpha$ は関手 $[n]\to\mathcal G$ であり、各辺 $\{a< b\}$ の射で決まる。$n\ge2$ なので、各辺は $\{a,b\}$ 以外の頂点 $c$ を除いた面 $d_c\alpha$ に含まれ、その面は $x$ の定値の単体だから、辺の射はすべて $\mathrm{id}_x$ である。よって $\alpha$ は定値の単体であり、$\pi_n(N\mathcal G,x)$ はただ 1 つの元からなる。$\square$

脈体 の命題「脈体関手は充満忠実である」により、単体的写像 $N\mathcal G\to N\mathcal H$ は関手 $\mathcal G\to\mathcal H$ と 1 対 1 に対応する。同じ記事の命題「自然変換と $\Delta^1\times N(\mathcal C)$」により、$NF$ から $NF'$ へのホモトピー $\Delta^1\times N\mathcal G\cong N\mathcal G\times\Delta^1\to N\mathcal H$ は自然変換 $F\Rightarrow F'$ と 1 対 1 に対応する。$\mathcal H$ は亜群なので、自然変換の各成分は可逆であり、自然変換はすべて自然同型である。よって $NF$ と $NF'$ がホモトピックであることと $F\cong F'$ は同値であり、主張の写像は定まって全単射である。$N$ は合成を保つので、関手 $\mathrm{ho}(\mathbf{Gpd})\to\mathrm{Ho}(\mathbf{Kan})$ が得られる。$\square$

prop-hohyp-nerve により $N$ は $\mathrm{Ho}(\mathbf{Kan})_{\le1}$ に値をとり、prop-hohyp-fully-faithful により充満忠実である。あとは、1 型の Kan 複体 $X$ が $N(hX)$ と $\mathrm{Ho}(\mathbf{Kan})$ で同型であることを示せばよい。まず $\eta_X$ が弱同値であることを示す。
$\pi_0$。$\eta_X$ は頂点の上で恒等写像なので、$\pi_0$ の上で全射である。$hX$ の射は辺の有限列 $x=x_0\to x_1\to\cdots\to x_r=y$ の類なので、$x$ から $y$ への射があれば $x,y$ は $X$ の同じ連結成分にある。逆に辺があれば射がある。prop-hohyp-nerve の 1 により、$\pi_0$ の上で単射でもある。
$\pi_1$。Kan 複体 $X$ について、$X\to N(hX)$ に、さらに $hX$ から生成される亜群への写像を合成したものが、すべての頂点 $x$ で $\pi_1(X,x)$ と生成される亜群での自己同型群の同型を誘導する（GJ09 Remark III.1.3、pp. 142–143。そこでの道の圏 $P_*X$ は、脈体の左随伴であることから $hX$ と同型である）。いま $hX$ はすでに亜群なので、生成される亜群は $hX$ 自身であり、$\eta_X$ は同型 $\pi_1(X,x)\cong\operatorname{Aut}_{hX}(x)\cong\pi_1(N(hX),x)$ を誘導する（後半は prop-hohyp-nerve の 2）。この記事ではこの事実を証明しない。
$n\ge2$。$X$ は 1 型なので $\pi_n(X,x)$ は自明であり、prop-hohyp-nerve の 3 により $\pi_n(N(hX),x)$ も自明である。
以上で $\eta_X$ は Kan 複体の間の弱同値である。Kan 複体はすべて Kan–Quillen モデル構造のコファイブラントかつファイブラントな対象であり（Kan–Quillenモデル構造 の定理「Kan–Quillen モデル構造」の 3）、その間の弱同値はホモトピー同値である（GJ09 Theorem II.1.10、p. 73）。さらに、単体的集合のホモトピー圏は Kan 複体と def-hohyp-homotopy の意味のホモトピー類のなす圏 $\mathrm{Ho}(\mathbf{Kan})$ と同値である（GJ09 p. 63）。この記事ではこれらを証明しない。よって弱同値 $\eta_X$ は $\mathrm{Ho}(\mathbf{Kan})$ の同型であり、$N$ は本質的全射である。$\square$