混合Hodge構造

$W_{n-1}=0$、$W_n=V_{\mathbb{Q}}$ なら $\operatorname{Gr}_n=V_{\mathbb{C}}$、$F^p\operatorname{Gr}_n=F^p$ であり、ほかの $\operatorname{Gr}_m$ は $0$ である。したがって前半は Hodge構造 の命題「Hodge フィルトレーションによる特徴づけ」そのものである。

射について。$f_{\mathbb{C}}(V^{p,q})\subset V'^{p,q}$ がすべての $(p,q)$ で成り立てば、$F^p$ の定義から $f_{\mathbb{C}}(F^p)\subset F'^p$ であり、$W$ の条件は自明である。逆に $f_{\mathbb{C}}(F^p)\subset F'^p$ がすべての $p$ で成り立つとする。$f_{\mathbb{C}}$ は複素共役と可換なので $f_{\mathbb{C}}(\bar F^q)\subset\bar F'^q$ でもあり、同じ命題により $V^{p,q}=F^p\cap\bar F^q$（$p+q=n$）だから、$f_{\mathbb{C}}(V^{p,q})\subset F'^p\cap\bar F'^q=V'^{p,q}$ を得る。

$m$ に関する帰納法で、すべての $p$ について同時に示す。$m$ が十分小さければ $W_m=0$ で、両辺とも $0$ である。$m-1$ では（すべての $p$ について）成り立つとし、$p$ を固定して $a:=m-p+1$ とおく。$(m-1)-p+1=a-1$ なので、帰納法の仮定は $W_{m-1}=(F^p\cap W_{m-1})\oplus G^{a-1}_{m-1}$ である。

和になること。$\operatorname{Gr}_m$ は重さ $m$ の Hodge 構造なので $\operatorname{Gr}_m=F^p\operatorname{Gr}_m+\overline{F^{a}\operatorname{Gr}_m}$ であり、$F^p\operatorname{Gr}_m=\pi_m(F^p\cap W_m)$、$\overline{F^a\operatorname{Gr}_m}=\pi_m(\bar F^a\cap W_m)$ だから $W_m=(F^p\cap W_m)+(\bar F^a\cap W_m)+W_{m-1}$ である。右辺の $W_{m-1}$ に帰納法の仮定を代入すると、$F^p\cap W_{m-1}\subset F^p\cap W_m$ と $(\bar F^a\cap W_m)+G^{a-1}_{m-1}=G^a_m$ により $W_m=(F^p\cap W_m)+G^a_m$ を得る。

共通部分が $0$ であること。$x\in F^p\cap G^a_m$ をとり、$x=y+z$（$y\in\bar F^a\cap W_m$、$z\in G^{a-1}_{m-1}\subset W_{m-1}$）と書く。$\pi_m(x)=\pi_m(y)$ は $F^p\operatorname{Gr}_m\cap\overline{F^a\operatorname{Gr}_m}$ に属し、これは $\operatorname{Gr}_m$ の直和分解により $0$ である。よって $x\in W_{m-1}$ であり、$y=x-z\in\bar F^a\cap W_{m-1}\subset\bar F^{a-1}\cap W_{m-1}\subset G^{a-1}_{m-1}$ となる。したがって $x\in F^p\cap G^{a-1}_{m-1}$ であり、帰納法の仮定の直和性から $x=0$ である。

1. まず $\pi_n(I^{p,q})\subset H^{p,q}_n$ を示す。$x\in I^{p,q}$ は $F^p\cap W_n$ に属するので $\pi_n(x)\in F^p\operatorname{Gr}_n$ である。また $x=a+u$（$a\in\bar F^q\cap W_n$、$u\in G^{q-1}_{n-2}\subset W_{n-2}$）と書けるので、$\pi_n(x)=\pi_n(a)\in\overline{F^q\operatorname{Gr}_n}$ である。

単射であること。$x\in I^{p,q}\cap W_{n-1}$ とし、上のように $x=a+u$ と書く。$a=x-u\in W_{n-1}$ なので $x\in(\bar F^{\,q}\cap W_{n-1})+G^{q-1}_{n-2}=G^{q}_{n-1}$ である。一方 $x\in F^p$ であり、$(n-1)-p+1=q$ だから、lem-mhs-complement（$m=n-1$）の直和性から $F^p\cap G^q_{n-1}=0$、すなわち $x=0$ である。

全射であること。$h\in H^{p,q}_n$ をとる。$h\in F^p\operatorname{Gr}_n$ なので $\pi_n(c)=h$ となる $c\in F^p\cap W_n$ があり、$h\in\overline{F^q\operatorname{Gr}_n}$ なので $\pi_n(a)=h$ となる $a\in\bar F^q\cap W_n$ がある。$c-a\in W_{n-1}$ に lem-mhs-complement（$m=n-1$、$m-p+1=q$）を使い、$c-a=e+g$（$e\in F^p\cap W_{n-1}$、$g\in G^q_{n-1}$）と書く。$x:=c-e=a+g$ とおくと、$x\in F^p\cap W_n$ であり、 $a+g\in(\bar F^{\,q}\cap W_n)+G^q_{n-1}=(\bar F^{\,q}\cap W_n)+(\bar F^{\,q}\cap W_{n-1})+G^{q-1}_{n-2}=(\bar F^{\,q}\cap W_n)+G^{q-1}_{n-2}$ だから $x\in I^{p,q}$ である。$e\in W_{n-1}$ なので $\pi_n(x)=\pi_n(c)=h$ である。

2. $J_n:=\sum_{p+q=n}I^{p,q}$ とおき、$W_n=W_{n-1}\oplus\bigoplus_{p+q=n}I^{p,q}$ を示せば、$n$ に関する帰納法（$W_n=0$ から始める）で 2 が従う。1 により $\pi_n(J_n)=\sum_{p+q=n}H^{p,q}_n=\operatorname{Gr}_n$ なので $W_n=W_{n-1}+J_n$ である。$w+\sum_px_p=0$（$w\in W_{n-1}$、$x_p\in I^{p,n-p}$）とすると、$\pi_n$ を施して $\sum_p\pi_n(x_p)=0$ を得る。$\pi_n(x_p)\in H^{p,n-p}_n$ で $\operatorname{Gr}_n=\bigoplus_pH^{p,n-p}_n$ は直和だから各 $\pi_n(x_p)=0$ であり、1 の単射性から $x_p=0$、したがって $w=0$ である。

3. $I^{p',q'}\subset F^{p'}\subset F^p$（$p'\ge p$）なので右辺は $F^p$ に含まれ、2 によりこの和は直和である。次元を比べる。$\pi_n$ を $F^p\cap W_n$ に制限すると、核は $F^p\cap W_{n-1}$、像は定義により $F^p\operatorname{Gr}_n$ なので、 $\dim F^p=\sum_n\dim\frac{F^p\cap W_n}{F^p\cap W_{n-1}}=\sum_n\dim F^p\operatorname{Gr}_n=\sum_n\sum_{p'\ge p}\dim H^{p',n-p'}_n=\sum_{p'\ge p}\sum_{q'}\dim I^{p',q'}$ である。最後の等号は 1 による。よって包含は等号である。

4. 射 $f$ について $f_{\mathbb{C}}(W_n)\subset W'_n$、$f_{\mathbb{C}}(F^p)\subset F'^p$、$f_{\mathbb{C}}(\bar F^p)\subset\bar F'^p$ である。$G^a_b$ と $I^{p,q}$ はこれらの部分空間から共通部分と和だけで作られているので、$f_{\mathbb{C}}(G^a_b)\subset G'^a_b$、さらに $f_{\mathbb{C}}(I^{p,q})\subset I'^{p,q}$ が従う。

thm-mhs-splitting の 2・4 により、$f_{\mathbb{C}}$ は $I^{p,q}$ から $I'^{p,q}$ への写像 $f^{p,q}$ の直和 $f_{\mathbb{C}}=\bigoplus f^{p,q}$ である。

1. $K_{\mathbb{C}}=\ker f_{\mathbb{C}}=\bigoplus_{p,q}K^{p,q}$、$K^{p,q}:=\ker f^{p,q}=K_{\mathbb{C}}\cap I^{p,q}$ である。$W_n$ と $F^p$ はそれぞれ一部の $I^{p,q}$ の直和なので $W_n\cap K_{\mathbb{C}}=\bigoplus_{p+q\le n}K^{p,q},\qquad F^p\cap K_{\mathbb{C}}=\bigoplus_{p'\ge p}\bigoplus_{q'}K^{p',q'}$ である。$K$ の $\operatorname{Gr}_n$ は $\pi_n$ により $\operatorname{Gr}_n$ の部分空間 $E$ と同一視でき、上の式から $E=\bigoplus_{p+q=n}E^{p,q}$、$E^{p,q}:=\pi_n(K^{p,q})\subset H^{p,q}_n$ であり、$K$ の誘導する Hodge フィルトレーションは $F^pE=\pi_n(F^p\cap W_n\cap K_{\mathbb{C}})=\bigoplus_{p'\ge p}E^{p',n-p'}$ である。$\operatorname{Gr}_n=\bigoplus H^{p,q}_n$ と $E$ の分解が両立しているので $E^{p,q}=E\cap H^{p,q}_n$ である。$E$ は $\mathbb{Q}$ 上の部分空間の複素化なので複素共役で保たれ、 $\overline{E^{p,q}}=\overline{E}\cap\overline{H^{p,q}_n}=E\cap H^{q,p}_n=E^{q,p}$ を得る。よって $E$ は重さ $n$ の Hodge 構造で、その Hodge フィルトレーションは $F^pE$ であり、$K$ は混合 Hodge 構造である。射 $g\colon V''\to V$ が $f\circ g=0$ を満たせば、$g$ は $K_{\mathbb{Q}}$ を通り、$g(W''_n)\subset W_n\cap K_{\mathbb{Q}}$、$g_{\mathbb{C}}(F''^p)\subset F^p\cap K_{\mathbb{C}}$ なので $K$ への射になる。

2. 商写像を $\rho\colon V'_{\mathbb{C}}\to C_{\mathbb{C}}$ とする。$f_{\mathbb{C}}(V_{\mathbb{C}})=\bigoplus f^{p,q}(I^{p,q})$ で $f^{p,q}(I^{p,q})\subset I'^{p,q}$ だから、$C_{\mathbb{C}}=\bigoplus_{p,q}\rho(I'^{p,q})$ は直和であり、$W_nC=\rho(W'_n)=\bigoplus_{p+q\le n}\rho(I'^{p,q})$、$F^pC=\rho(F'^p)=\bigoplus_{p'\ge p}\rho(I'^{p',q'})$ である。$\rho$ は $W'_n$ を $W_nC$ の上へ写すので、全射 $\sigma_n\colon\operatorname{Gr}'_n\to\operatorname{Gr}_nC$ が誘導され、これは $\mathbb{Q}$ 上定義されているので複素共役と可換である。$D^{p,q}:=\sigma_n(H'^{p,q}_n)$ とおくと、$H'^{p,q}_n=\pi'_n(I'^{p,q})$ だから $D^{p,q}$ は $\rho(I'^{p,q})$ の $\operatorname{Gr}_nC$ での像であり、上の直和分解から $\operatorname{Gr}_nC=\bigoplus_{p+q=n}D^{p,q}$、$F^p\operatorname{Gr}_nC=\bigoplus_{p'\ge p}D^{p',n-p'}$ である。さらに $\overline{D^{p,q}}=\sigma_n(\overline{H'^{p,q}_n})=\sigma_n(H'^{q,p}_n)=D^{q,p}$ なので、$\operatorname{Gr}_nC$ は重さ $n$ の Hodge 構造である。射 $h\colon V'\to V''$ が $h\circ f=0$ を満たせば、$h$ は $C_{\mathbb{Q}}$ を経由し、商のフィルトレーションの定義から得られる写像は射である。

3. 直和 $V\oplus V'$ に $W_n\oplus W'_n$ と $F^p\oplus F'^p$ を与えたものは混合 Hodge 構造で双積になり、射の集合は $\mathbb{Q}$ ベクトル空間で合成は双線型なので、$\mathrm{MHS}_{\mathbb{Q}}$ は加法圏である。1・2 により核と余核がある。残りは、余像 $V/K$（$K\to V$ の余核。商のフィルトレーション）から像 $f(V)$（$V'\to C$ の核。$V'$ から誘導されたフィルトレーション）への標準的な写像 $u$ が同型であることである。$u$ は線型写像として全単射で、$u$ が写す $W$ の段は $f(W_n)$、$f(V)$ の $W$ の段は $W'_n\cap f(V_{\mathbb{Q}})$ であり、thm-mhs-strictness の 2 によりこれらは等しい。$F$ についても 1 により等しい。よって $u^{-1}$ も両方のフィルトレーションを保ち、$u$ は同型である。全単射な射 $f$ については、同じ議論で $f(W_n)=W'_n$、$f_{\mathbb{C}}(F^p)=F'^p$ となり、$f^{-1}$ も射である。

4. $0\to A\to B\to C\to0$ を $\mathrm{MHS}_{\mathbb{Q}}$ の完全列とする。1・2 により、これは $\mathbb{Q}$ ベクトル空間の完全列でもあり、複素化も完全である。各写像は $I^{p,q}$ を $I^{p,q}$ に写すので、複素化した列は列 $0\to I^{p,q}(A)\to I^{p,q}(B)\to I^{p,q}(C)\to0$ の直和であり、直和が完全なので各成分も完全である。thm-mhs-splitting の 1・2 により $\pi_n$ は自然な同型 $\bigoplus_{p+q=n}I^{p,q}(-)\cong\operatorname{Gr}^W_n(-)_{\mathbb{C}}$ を与え、3 により $F^p/F^{p+1}\cong\bigoplus_qI^{p,q}(-)$ である。よって $\operatorname{Gr}^W_n$ と $\operatorname{Gr}_F^p$ は複素化したあとで完全であり、$\mathbb{Q}$ ベクトル空間の列はその複素化が完全なら完全なので、$\operatorname{Gr}^W_n$ は完全である。