代数学
概要
代数学（algebra）とは、群・環・体・加群のように演算とその規則（公理）をもつ集合、すなわち代数構造と、演算を保つ写像（準同型）を研究する数学の分野である。方程式を解くこと、構造を同型を除いて分類すること、部分構造と商で構造を分解すること、ほかの分野の言語になることが主な問いで、Lagrange の定理・準同型定理・Galois 理論の基本定理などが基本の定理である。群の位数の議論と多項式の根の個数の上界を組み合わせると、体の乗法群の有限部分群はつねに巡回群であることが示され、とくに有限体の乗法群は巡回群になる。
代数学（algebra）は、足し算や掛け算のような演算をもつ集合を、演算が満たす規則（公理）だけから調べる数学の分野である。整数・有理数・実数・複素数・多項式・行列は、それぞれ演算の規則が少しずつ異なる。代数学は、これらに共通する規則を取り出して群・環・体・加群といった代数構造を定め、1 つの構造について示したことを、同じ規則をもつすべての対象に一度に当てはめる。
この記事では、まず代数構造と準同型を定義し、代数学が立てる主な問いと代表的な定理を、それを扱う記事とともに一覧にする。続いて、群と体と多項式が 1 つの議論の中で働く代表例として「体の乗法群の有限部分群は巡回群である」を完全に証明し、仮定を 1 つずつ外した反例を示す。最後に、学ぶ順に記事を並べた道筋を示す。
定義
集合 $A$ と、$A$ の上のいくつかの演算（二項演算 $A\times A\to A$ や、逆元をとる写像 $A\to A$、特定の元の指定、加群のスカラー倍のように決まった環 $R$ の元を作用させる写像 $R\times A\to A$）の組で、演算が指定された等式（結合律・分配律など）を満たすものを代数構造という。同じ種類の代数構造 $A,B$ の間の写像 $f\colon A\to B$ が、すべての演算と指定された元を保つ（たとえば $f(xy)=f(x)f(y)$）とき、$f$ を準同型という。準同型が全単射であるとき同型といい、同型が存在する $A,B$ は同型であるという。
代数学とは、代数構造とその間の準同型を研究する数学の分野である。
同型な代数構造は、元の名前を付け替えただけで演算の表は同じなので、代数学の主張は同型を除いて述べられる。主な代数構造は次の 4 つである。それぞれの記事が詳しい定義と基本性質を扱う。
- 群（群）：結合律を満たす二項演算 $(a,b)\mapsto ab$ をもち、単位元 $e$ と各元の逆元が存在する集合。$ab=ba$ がつねに成り立つ群をアーベル群という。
- 環（環）：加法についてアーベル群であり、結合律を満たす乗法と乗法の単位元 $1$ をもち、分配律 $a(b+c)=ab+ac$、$(a+b)c=ac+bc$ を満たす集合。乗法が可換な環を可換環という。$ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$ となる、$0\ne1$ の可換環を整域という。
- 体（体）：$0\ne1$ の可換環で、$0$ でないすべての元が乗法の逆元をもつもの。体 $K$ の $0$ でない元の全体 $K^\times$ は乗法について群をなし、これを $K$ の乗法群という。
- 加群（加群）：環 $R$ の元によるスカラー倍をもつアーベル群で、スカラー倍が分配律と結合律を満たし、環の単位元 $1$ が恒等的に作用する（$1m=m$）もの。$R$ が体のときの加群がベクトル空間である。
たとえば、整数全体 $\mathbb Z$ は環（整域）だが体ではない。有理数 $\mathbb Q$、実数 $\mathbb R$、複素数 $\mathbb C$ は体である。$n\ge2$ のとき、$n$ を法とする剰余類の全体 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ は剰余環であり、$n$ が素数のとき、またそのときに限り体である。体 $K$ の上の多項式環 $K[x]$ は整域であり、$n$ 次正方行列の全体（行列環）は $n\ge2$ のとき可換でない環である。Hamiltonの四元数 $\mathbb H$ は、$0$ でない元がすべて逆元をもつが乗法が可換でない環（斜体）である。
代数学の主な問い
代数学の研究は、おおよそ次の 4 つの問いをめぐって進む。
- 方程式を解く。 多項式の方程式 $f(x)=0$ がどんな体で根をもつか、根を係数から四則と冪根で表せるか。$\mathbb C$ ではすべての 1 次以上の多項式が根をもつ（代数学の基本定理）。根の置換がなす群を調べるGalois理論は、5 次以上の一般の方程式に冪根による解の公式がないこと（Abel–Ruffiniの定理）を示す。連立 1 次方程式は線形代数学の主題である。
- 構造を分類する。 与えられた条件をもつ代数構造を、同型を除いてすべて挙げる。有限生成アーベル群は巡回群の直積に分解し（有限生成アーベル群の基本定理）、有限体の位数は素数冪に限られ、素数冪の位数ごとに同型を除いてただ 1 つ存在する（有限体）。複素数体上の正方行列は相似を除いて Jordan標準形 で分類される。
- 部分と商で構造を分解する。 部分群・イデアル・部分加群をとり、商（剰余群・剰余環）をつくって、大きな構造を小さな構造の組み合わせとして理解する。準同型定理 は、準同型の像が定義域を核で割った商と同型であることを述べ、この分解の基本の道具になる。
- 他の分野の言語になる。 数の性質は整数環とその拡大（代数的整数 のなす環）の性質として（数論）、図形の対称性は群として（群の作用）、多項式の零点の幾何は可換環として（可換環論・代数幾何学）、空間の形はアーベル群の列として（ホモロジー代数）調べられる。
代表的な定理
代数学の基本となる定理を、それを証明している記事とともに挙げる。
| 定理 | 主張の要点 | 記事 |
|---|---|---|
| Lagrange の定理 | 有限群の部分群の位数は群の位数を割り切る | Lagrangeの定理 |
| 準同型定理 | 準同型 $f$ について $A/\ker f\cong f(A)$ | 準同型定理 |
| Sylow の定理 | 有限群は、各素数 $p$ について位数を割る $p$ の最大の冪を位数とする部分群をもち、それらは互いに共役 | Sylowの定理 |
| 有限生成アーベル群の基本定理 | 有限生成アーベル群は巡回群の直積と同型 | 有限生成アーベル群の基本定理 |
| 体上の多項式環の性質 | $K[x]$ は単項イデアル整域で、次数 $n$ の多項式の根は高々 $n$ 個 | 多項式環 |
| 代数学の基本定理 | 1 次以上の複素係数の多項式は $\mathbb C$ に根をもつ | 代数学の基本定理 |
| Galois 理論の基本定理 | 有限次 Galois 拡大の中間体と Galois 群の部分群が 1 対 1 に対応する | Galois理論 |
| Abel–Ruffini の定理 | 5 次以上の一般の方程式は冪根で解けない | Abel–Ruffiniの定理 |
| Hilbert の基底定理 | Noether 環上の多項式環は Noether 環 | Hilbertの基底定理 |
| Wedderburn の小定理 | 有限の斜体は可換で、体である | Wedderburnの小定理 |
代表例：体の乗法群の有限部分群は巡回群
代数学の議論では、ある構造についての事実が別の構造の問いを解くことが多い。次の定理はその典型で、群の側の位数の計算と、体の側の「多項式の根は次数より多くない」という事実を組み合わせる。有限体 の定理「有限体の乗法群の構造」も同じ主張を含み、そちらは Euler 関数による数え上げで証明している。ここでは元の位数の最大値を使う証明を与える。教科書では DF04 §9.5 Proposition 18（p. 314）にあり、そこでは有限生成アーベル群の基本定理を使って証明している。
この節では、群 $G$ の元 $g$ の位数（元の位数）を、$g^k=e$ となる最小の正の整数 $k$ とする。有限群の元の位数は有限である。1 つの元 $g$ で生成される群 $\{g^k\mid k\in\mathbb Z\}$ が $G$ 全体になるとき、$G$ を巡回群という。位数 $m$ の元 $g$ について、$g^k=e$ となるのは $m\mid k$ のときに限り、$\{e,g,\dots,g^{m-1}\}$ は相異なる $m$ 個の元である（$k$ を $m$ で割った余りを考えればよい）。
アーベル群 $G$ の元 $x,y$ の位数 $u,v$ が互いに素ならば、$xy$ の位数は $uv$ である。
$G$ はアーベル群なので $(xy)^{uv}=(x^u)^v(y^v)^u=e$ である。逆に $(xy)^t=e$ とすると $x^t=y^{-t}$ である。左辺は $x$ の生成する部分群 $\langle x\rangle$ に、右辺は $\langle y\rangle$ に属するので、$z:=x^t$ は $\langle x\rangle\cap\langle y\rangle$ の元である。この共通部分は位数 $u$ の群 $\langle x\rangle$ と位数 $v$ の群 $\langle y\rangle$ の部分群なので、Lagrangeの定理 によりその位数は $u$ と $v$ の公約数、すなわち $1$ である。よって $x^t=e$、$y^{-t}=e$ となり、$u\mid t$ かつ $v\mid t$ である。$u,v$ は互いに素なので $uv\mid t$ である。$\square$
$G$ を有限アーベル群とし、$G$ の元の位数の最大値を $m$ とする。このとき $G$ のすべての元の位数は $m$ を割り切る。したがって、すべての $g\in G$ について $g^m=e$ である。
位数 $m$ の元 $a$ をとる。ある元 $b$ の位数 $k$ が $m$ を割り切らないと仮定して矛盾を導く。$k\nmid m$ なので、ある素数 $p$ について、$k$ を割る $p$ の最大の冪 $p^s$ と $m$ を割る $p$ の最大の冪 $p^r$ が $s>r$ を満たす。
$a':=a^{p^r}$ とおく。$(a')^j=e$ は $m\mid p^rj$、すなわち $\frac{m}{p^r}\mid j$ と同値なので、$a'$ の位数は $m/p^r$ であり、これは $p$ と互いに素である。同様に $b':=b^{k/p^s}$ の位数は $p^s$ である。lem-alg-coprime-orders により $a'b'$ の位数は $\frac{m}{p^r}\cdot p^s$ であり、$s>r$ よりこれは $m$ より大きい。これは $m$ の最大性に反する。
よってすべての元の位数は $m$ を割り切り、$g$ の位数を $k$ とすると $g^m=(g^k)^{m/k}=e$ である。$\square$
$K$ を体とし、$G$ を乗法群 $K^\times$ の有限部分群とする。このとき $G$ は巡回群である。とくに、有限体の乗法群は巡回群である。
$n:=|G|$ とし、$G$ の元の位数の最大値を $m$、位数 $m$ の元を $a$ とする。$K$ は体なので乗法は可換であり、$G$ はアーベル群である。
まず $m\le n$ である。$a$ の冪 $1,a,\dots,a^{m-1}$ は相異なる $m$ 個の $G$ の元だからである。
次に $n\le m$ を示す。lem-alg-exponent により、$G$ のすべての元 $g$ は $g^m=1$ を満たす。つまり $G$ の $n$ 個の元はどれも多項式 $x^m-1\in K[x]$ の根である。$x^m-1$ は次数 $m$ の $0$ でない多項式なので、多項式環 の定理「根の個数」により、$K$ の中に相異なる根を高々 $m$ 個しかもたない。よって $n\le m$ である。
以上から $m=n$ であり、$G=\{1,a,\dots,a^{n-1}\}$、すなわち $G$ は $a$ で生成される巡回群である。有限体 $F$ については、$F^\times$ 自身が有限部分群なので巡回群である。$\square$
$a$ のように群全体を生成する元を、有限体の乗法群では原始元、$\mathbb Z/p\mathbb Z$ では原始根という（原始根 の定理「素数を法とする原始根の存在」はこの定理の特別な場合である）。体 $K$ の中で $x^n=1$ を満たす元の全体も $K^\times$ の有限部分群なので、どの体でも 1 の $n$ 乗根の全体は巡回群 である（1の冪根）。
- $\mathbb Z/7\mathbb Z$ の乗法群（位数 $6$）では、$3$ の冪が $3,2,6,4,5,1$ と全部の元を回るので、$3$ が生成元である。一方 $2$ の冪は $2,4,1$ で止まり、$2$ の位数は $3$ である。
- $\mathbb C$ の中の 1 の $n$ 乗根の全体は $e^{2\pi i/n}$ で生成される位数 $n$ の巡回群である。複素平面では正 $n$ 角形の頂点をなす。
- 位数 $4$ の体 $\mathbb F_4=\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$ で $x$ の剰余類を $\omega$ とすると、$\mathbb F_4^\times=\{1,\omega,\omega^2\}$ であり、$\omega^3=1$ である（$\omega^2=\omega+1$ から $\omega^3=\omega^2+\omega=1$）。
3 つは整数の剰余・複素数・多項式の剰余という異なる構成から得られるが、どれも「体の乗法群の有限部分群」なので、1 つの定理がまとめて結論を与える。
この定理から、整数論の古典的な事実がすぐに出る。
$p$ を奇素数とする。$x^2\equiv-1\pmod p$ を満たす整数 $x$ が存在するのは、$p\equiv1\pmod 4$ のときに限る。
$F:=\mathbb Z/p\mathbb Z$ は体であり、thm-alg-finite-subgroup-cyclic により $F^\times$ は位数 $p-1$ の巡回群である。生成元を $g$ とする。$p$ は奇数なので $F$ で $-1\ne1$ である。
$x\in F$ が $x^2=-1$ を満たすとすると、$x^4=1$ かつ $x^2\ne1$ なので $x$ の位数は $4$ であり、Lagrange の定理により $4\mid p-1$ である。逆に $4\mid p-1$ なら $y:=g^{(p-1)/4}$ の位数は $4$ であり、$z:=y^2$ は $z\ne1$、$z^2=1$ を満たす。多項式 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ の根は $F$ の中で $\pm1$ だけなので（$F$ は整域）、$z=-1$、すなわち $y^2=-1$ である。$\square$
たとえば $p=5$ では $2^2=4\equiv-1$、$p=13$ では $5^2=25\equiv-1$ である。$p=3,7$ では $x^2\equiv-1$ の解はない。この系は 代数幾何学 の記事で、有限体の上の円の点の個数を数えるのに使われる。
反例：仮定を外すと崩れること
thm-alg-finite-subgroup-cyclic の証明が使ったのは、(a) 乗法が可換であること、(b) 零因子がないこと（$ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$）、(c) 部分群が有限であること、の 3 つだけである。実際、$K$ を整域 $A$ に替えても、$A$ の単元（乗法の逆元をもつ元）の群の有限部分群は巡回群になる。$A$ はその商体に含まれ、根の個数の上界が $A$ でも成り立つからである。この 3 つを 1 つずつ外すと、結論が成り立たなくなる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| (a) 乗法の可換性 | Hamilton の四元数 $\mathbb H$（斜体）の有限部分群 $Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ | $Q_8$ の元の位数は $4$ 以下なので、位数 $8$ の $Q_8$ は巡回群でない。$x^2+1$ は $\mathbb H$ に無限個の根をもつ（下の prop-alg-quaternion-roots） |
| (b) 零因子がないこと | 可換環 $\mathbb Z/8\mathbb Z$ の単元の群 $\{1,3,5,7\}$ | $1^2=3^2=5^2=7^2=1$ なので位数 $4$ の元がなく、巡回群でない。$x^2-1$ が根を 4 個もつ |
| (c) 部分群の有限性 | 体 $\mathbb Q$ の乗法群 $\mathbb Q^\times$ 全体 | $\mathbb Q^\times$ は巡回群でない（下の注意） |
$\mathbb Z/8\mathbb Z$ は可換環だが整域でない（$2\cdot4=0$）。この環では「次数 $m$ の多項式の根は高々 $m$ 個」が成り立たず、証明の $n\le m$ の段が働かない。
$\mathbb Q^\times$ が巡回群でないことは次のように確かめられる。生成元 $a$ があったとすると $-1=a^k$ となる整数 $k$ がある。$-1\ne1$ なので $k\ne0$ であり、$a^{2k}=1$ となる。$a\in\mathbb Q$ で $a^{2k}=1$ なら $\lvert a\rvert=1$、すなわち $a=\pm1$ だが、$\pm1$ の冪は $\pm1$ だけで $2\in\mathbb Q^\times$ を表せない。
Hamilton の四元数 $\mathbb H=\{a+bi+cj+dk\mid a,b,c,d\in\mathbb R\}$（$i^2=j^2=k^2=-1$、$ij=-ji=k$、$jk=-kj=i$、$ki=-ik=j$。DF04 §7.1 の例 (5)、p. 224）において、実数 $b,c,d$ が $b^2+c^2+d^2=1$ を満たせば $q:=bi+cj+dk$ は $q^2=-1$ を満たす。とくに多項式 $x^2+1$ は $\mathbb H$ の中に無限個の根をもつ。
分配律で展開すると
$$
q^2=b^2i^2+c^2j^2+d^2k^2+bc(ij+ji)+bd(ik+ki)+cd(jk+kj)
$$
である。$ij+ji=k-k=0$、$ik+ki=-j+j=0$、$jk+kj=i-i=0$ なので、$q^2=-(b^2+c^2+d^2)=-1$ である。$b^2+c^2+d^2=1$ を満たす実数の組 $(b,c,d)$（単位球面の点）は無限個あり、相異なる組は相異なる $q$ を与える。$\square$
$\mathbb H$ は斜体なので零因子をもたないが、乗法が可換でないため、因数定理の「$f(\alpha)=0$ なら $f(x)=(x-\alpha)g(x)$」から根の個数を数える議論が成り立たない。
学ぶ順の道筋
代数学の基礎は、次の順に記事をたどると学べる。各段の記事は、前の段の記事の定義と定理を使う。
- 準備：集合・写像・同値関係（剰余類と商の構成の準備）、整数 の割り算と素数。
- 線形代数：ベクトル空間・線形写像・行列・固有値・固有多項式。全体は 線形代数学 が見渡す。具体的な計算に慣れておくと、群・環・加群の例がすぐに手に入る。
- 群：群 → 部分群 → Lagrangeの定理 → 群準同型 → 正規部分群・剰余群 → 準同型定理 → 群の作用 → Sylowの定理。全体像と群のクラスは 群論 にある。
- 環：環 → イデアル → 剰余環 → 整域 → 単項イデアル整域 → 一意分解整域 → 多項式環。
- 体：体 → 体の拡大 → 拡大次数 → 分解体 → 有限体 → Galois理論。応用として 作図可能数 と Abel–Ruffiniの定理 がある。
- 加群：加群 → 有限生成アーベル群の基本定理 → Jordan標準形（体上の多項式環上の加群として正方行列を見る）。
- その先：可換環論 と 代数幾何学、群の表現 と 表現論、ホモロジー代数、数論。
3〜5 はおおむね並行して学べるが、体の理論（5）は剰余環による体の構成（4）と群（3）を使う。上の代表例の定理は 3・4・5 の最初の数段だけで証明できる。
歴史
algebra の語は、9 世紀の al-Khwārizmī による方程式の解法の書の題にある al-jabr（移項して整える操作）に由来する。16 世紀のイタリアで 3 次・4 次方程式の解の公式が得られ、19 世紀前半に Abel が 5 次の一般の方程式は冪根で解けないことを示し、Galois が方程式が冪根で解けるための条件を根の置換のなす群によって与えた。19 世紀後半から 20 世紀前半にかけて、群・環・体・加群が公理で定義される抽象的な構造として整理され、方程式の理論から、代数構造そのものを研究する現在の代数学に移った。DF04 は群・環・加群・体と Galois 理論をこの順に扱う教科書である。
関連項目
参考文献
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