Jannsenの定理

要点：左イデアルが冪等元で生成されることから 1〜3 が、Jacobson 根基の冪零性から 4 が従う。

段 1（核を切り出す冪等元）。 $L:=\{h\circ f\mid h\in\operatorname{Hom}(Y,X)\}$ は $\operatorname{End}(X)$ の左イデアルなので、lem-jan-ring の 1 により $L=\operatorname{End}(X)e$、$e=h_0\circ f$ と書ける。まず $f\circ e=f$ を示す。$m:=f-f\circ e$ とおくと、任意の $h\in\operatorname{Hom}(Y,X)$ について $h\circ f\in L$ なので $h\circ f\circ e=h\circ f$、すなわち $h\circ m=0$ である。$S:=\operatorname{End}(X\oplus Y)$ の元 $\mu:=\iota_Y\circ m\circ\pi_X$ をとると、任意の $\eta\in S$ について $\pi_X\circ\eta\circ\iota_Y\in\operatorname{Hom}(Y,X)$ なので
$$ \mu\circ\eta\circ\mu=\iota_Y\circ m\circ(\pi_X\circ\eta\circ\iota_Y)\circ m\circ\pi_X=0 $$
である。よって両側イデアル $I:=S\mu S$ は $I^2=S\mu S\mu S=0$ をみたし、lem-jan-ring の 2 により $\mu=0$、$m=\pi_Y\circ\mu\circ\iota_X=0$ である。そこで $p:=1-e$ とおくと $f\circ p=0$ であり、任意の対象 $T$ と $t\colon T\to X$ について
$$ f\circ t=0\iff t=p\circ t $$
が成り立つ。実際 $f\circ t=0$ なら $e\circ t=h_0\circ f\circ t=0$、逆に $t=p\circ t$ なら $f\circ t=f\circ p\circ t=0$ である。
段 2（余核を切り出す冪等元）。 $L':=\{g\in\operatorname{End}(Y)\mid g\circ f=0\}$ は左イデアルなので $L'=\operatorname{End}(Y)q$（$q\in L'$ は冪等元）と書け、$q\circ f=0$ である。任意の $s\colon Y\to T$ について $s\circ f=0\iff s=s\circ q$ を示す。$\Leftarrow$ は $q\circ f=0$ による。$s\circ f=0$ とし $m':=s-s\circ q$ とおくと、任意の $h\colon T\to Y$ について $h\circ s\in L'$ なので $h\circ s=h\circ s\circ q$、すなわち $h\circ m'=0$ である。段 1 と同じく $\mu':=\iota_T\circ m'\circ\pi_Y\in\operatorname{End}(Y\oplus T)$ は $\mu'\circ\eta\circ\mu'=0$ をみたすので $\mu'=0$、$m'=0$ である。
段 3（核と余核）。 $K:=\operatorname{Im}p$、$X':=\operatorname{Im}(1-p)$、$C:=\operatorname{Im}q$、$Y':=\operatorname{Im}(1-q)$ とおく。$\iota_K=p\circ\iota_K$ なので $f\circ\iota_K=0$ であり、$f\circ t=0$ なら段 1 により $t=p\circ t=\iota_K\circ(\pi_K\circ t)$ と分解する。$\pi_K\circ\iota_K=\mathrm{id}_K$ なので分解は一意であり、$\iota_K$ は $f$ の核である。同様に $\pi_C=\pi_C\circ q$ なので $\pi_C\circ f=0$ であり、段 2 により $s\circ f=0$ なら $s=(s\circ\iota_C)\circ\pi_C$ と一意に分解するので、$\pi_C$ は $f$ の余核である。
段 4・5（中間の射は同型で、アーベル圏になる）。 要点：$f=\iota_{Y'}\circ f'\circ\pi_{X'}$ と書くと、段 1・2 から、$f'\circ t=0$ なら $t=0$、$s\circ f'=0$ なら $s=0$ である。$\operatorname{End}(X'\oplus Y')$ の左イデアルを冪等元で書き直すと $f'$ の左逆が得られ、同型になる。これから正規性・余正規性と、モノ射の分裂が従う。

要点：相補的なサイクルは転置 ${}^tg$ の形に書けるので後半は (W2) そのもので、$\phi(g)$ の張る空間の基底との交点数で $A$ が $\mathbb{Q}^N$ に埋め込まれる。

$A$ は有限次元なので、その Jacobson 根基 $\mathfrak{R}$ は冪零な両側イデアルであり（lem-jan-ring の 4 の証明）、$\mathfrak{R}=0$ を示せばよい。$r\in\mathfrak{R}$ の持ち上げを $f$ とし、$g\in Z^d(X\times X)_{\mathbb{Q}}$ を任意にとる。$w:=f\circ g$ の類は $\mathfrak{R}$ に属するので冪零であり、ある $N$ について $n\ge N$ なら $w^{\circ n}$ は数値的に $0$ である。$u:=\phi(w)$ とおくと、lem-jan-finite を $w^{\circ n}$ と $[\Delta_X]$ に使い (W1) を合わせて、$\operatorname{str}(u^n)=0$（$n\ge N$）を得る。
$K$ の代数閉包の上で、$u$ の $0$ でない相異なる固有値を $\lambda_1,\dots,\lambda_s$、$\lambda_j$ の $H^i(X)$ での重複度を $m_i(\lambda_j)$ とし、$c_j:=\sum_i(-1)^im_i(\lambda_j)\in\mathbb{Z}$ とおく。固有値 $0$ は跡に寄与しないので、$n\ge1$ について $\operatorname{str}(u^n)=\sum_{j=1}^sc_j\lambda_j^n$ である。$n=N,\dots,N+s-1$ の $s$ 本の等式 $\sum_jc_j\lambda_j^n=0$ の係数行列 $(\lambda_j^{N+t})_{t,j}$ は、Vandermonde 行列 $(\lambda_j^t)_{t,j}$ と可逆な対角行列 $\operatorname{diag}(\lambda_j^N)$ の積なので可逆である（Vandermonde行列式）。よって $c_j=0$（標数 $0$ なので整数として $0$）であり、$\operatorname{str}(u)=\operatorname{str}(\phi(f)\phi(g))=0$ である。$g$ は任意だったので、lem-jan-finite により $f$ は数値的に $0$、すなわち $r=0$ である。$\square$

2 ⇒ 1。 対象 $M=(X,p,m)$ について $\operatorname{End}(M)$ が半単純環であることを示せば、thm-jan-lemma と擬アーベル性（モチーフ の定理「モチーフの圏は擬アーベル」）により 1 が従う。$X$ の連結成分を $X_a$、その次元を $d_a$、$D:=\max_ad_a$ とし、純 $D$ 次元の $Y:=\coprod_aX_a\times\mathbb{P}^{D-d_a}$ をとる。有理点 $e_a\in\mathbb{P}^{D-d_a}(k)$ による切断 $s\colon X\to Y$、$x\mapsto(x,e_a)$ と射影 $\varpi\colon Y\to X$ は $\varpi\circ s=\mathrm{id}_X$ をみたすので、$h$ の反変性から $h(s)\circ h(\varpi)=h(\mathrm{id}_X)=[\Delta_X]$ である。$h(\varpi)\in\operatorname{Corr}^0_\sim(X,Y)$、$h(s)\in\operatorname{Corr}^0_\sim(Y,X)$ は $(X,[\Delta_X],m)$ と $N:=(Y,[\Delta_Y],m)$ の間の射でもあるので、$i:=h(\varpi)\circ p\colon M\to N$、$r:=p\circ h(s)\colon N\to M$ は $r\circ i=p=\mathrm{id}_M$ をみたす。$\epsilon:=i\circ r$ は $\operatorname{End}(N)$ の冪等元で、$\varphi\mapsto i\circ\varphi\circ r$ は環の同型 $\operatorname{End}(M)\cong\epsilon\operatorname{End}(N)\epsilon$ を与える（逆は $\psi\mapsto r\circ\psi\circ i$）。$\operatorname{End}(N)=\operatorname{Corr}^0_\sim(Y,Y)$ は 2 により有限次元半単純なので、lem-jan-ring の 4 により $\operatorname{End}(M)$ は半単純である。
1 ⇒ 3。 $\sim$ が数値的同値と異なるとする。数値的同値はもっとも粗いので、連結な $X\in\mathcal{V}_k$（次元 $d$）と、$\sim$ では $0$ でないが数値的に $0$ な $z\in A^j_\sim(X)$ がある。$\operatorname{Hom}(\mathbb{1},(X,[\Delta_X],j))=\operatorname{Corr}^j_\sim(\operatorname{Spec}k,X)=A^j_\sim(X)$ なので、$z$ は $0$ でない射 $z\colon\mathbb{1}\to(X,[\Delta_X],j)$ を定める。その核 $\kappa\colon\ker z\to\mathbb{1}$ は半単純性により分裂し、$\kappa\circ\lambda$（$\lambda\circ\kappa=\mathrm{id}$）は $\operatorname{End}(\mathbb{1})=\mathbb{Q}$（モチーフ の命題「サイクルの群は Lefschetz モチーフからの射」）の冪等元なので $0$ か $1$ である。$1$ なら $\kappa$ は同型で $z=0$ となり矛盾するので $0$ であり、$\kappa=\kappa\circ\lambda\circ\kappa=0$、$\ker z=0$ である。よって $z$ はモノ射で、左逆 $y\colon(X,[\Delta_X],j)\to\mathbb{1}$ をもつ。$y\in\operatorname{Corr}^{-j}_\sim(X,\operatorname{Spec}k)=A^{d-j}_\sim(X)$ であり、合成の定義から $y\circ z=\deg(z\cdot y)\in A^0(\operatorname{Spec}k)=\mathbb{Q}$ なので $\deg(z\cdot y)=1$ となる。これは $z$ が数値的に $0$ であることに反する（Jan92 p. 448）。
3 ⇒ 2（$k$ が代数閉体のとき）。 lem-jan-finite と prop-jan-semisimple による。$\square$