スキームの点関手

同義語：点関手functor of points

概要

前提知識: スキーム, アフィンスキーム, 米田の補題, 剰余体, 関手

スキーム $X$ の「点」には、位相空間としての点のほかに、環 $A$ に値をもつ点、すなわち射 $\operatorname{Spec}A\to X$ がある。たとえば $X$ が方程式 $f_1=\dots=f_m=0$ で定まるアフィンスキームなら、$A$ に値をもつ点は $A$ の中の解 $(a_1,\dots,a_n)$ にほかならない。スキーム $T$ ごとに射 $T\to X$ の集合 $X(T)$ を対応させる関手を $X$ の点関手（functor of points）という。
米田信夫（Nobuo Yoneda）にちなむ米田の補題により、スキームとその射は点関手とその間の自然変換で完全に捉えられ、さらに可換環に値をもつ点だけで決まる（thm-fop-affine）。この記事では、点関手が Zariski 位相について層であること（prop-fop-zariski-sheaf）とあわせてこれらを証明し、体に値をもつ点が点と剰余体の埋め込みの組であること（prop-fop-field-points）、局所環に値をもつ射影空間の点が斉次座標で書けること（prop-fop-projective-local）を示す。最後に、体に値をもつ点だけではスキームが決まらないこと、表現できない関手があることを反例で確かめる。

定義

スキームとその射のなす圏を $\mathbf{Sch}$、集合の圏を $\mathbf{Set}$、可換環の圏を $\mathbf{Ring}$ と書く。

点関手と値をもつ点

スキーム $X$ に対し、反変関手
$$ h_X:=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}}(-,X)\colon\mathbf{Sch}^{\mathrm{op}}\longrightarrow\mathbf{Set} $$
（射 $u\colon T'\to T$ には前合成 $t\mapsto t\circ u$ を対応させる）を $X$ の点関手（functor of points）という。スキーム $T$ について $X(T):=h_X(T)$ と書き、その元を $X$ の $T$ に値をもつ点（$T$ 値点）という。可換環 $A$ については $X(A):=X(\operatorname{Spec}A)$ と書く。射 $f\colon X\to Y$ は後合成 $t\mapsto f\circ t$ により自然変換 $h_f\colon h_X\to h_Y$ を定める。
$S$ をスキームとし、$X$、$T$ が $S$ 上のスキームのときは、$S$ 射 $T\to X$ の全体を $X(T)$ と書くことも多い。以下では、とくに断らない限り $S=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$、すなわちすべての射を考える。

環準同型 $A\to B$ は射 $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ を定めるので、$A\mapsto X(A)$ は $\mathbf{Ring}$ から $\mathbf{Set}$ への共変関手である。アフィンスキームへの射は大域切断で決まる（スキームの命題「アフィンスキームへの射と大域切断」）ので、$X=\operatorname{Spec}B$ なら、すべてのスキーム $T$ について
$$ X(T)=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(B,\Gamma(T,\mathcal{O}_T)),\qquad X(A)=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(B,A) $$
である。とくに $B=\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]/(f_1,\dots,f_m)$ なら、環準同型 $B\to A$ は $x_i$ の像 $a_i$ で決まり、$X(A)$ は $f_1(a)=\dots=f_m(a)=0$ をみたす $a\in A^n$ の全体と一致する。体 $k$ 上の場合は有理点の命題「方程式の解としての値をもつ点」も参照。

群に値をもつ点関手

環 $A$ に対し次が成り立つ。

$\mathbb{A}^n:=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$ について $\mathbb{A}^n(A)=A^n$。より一般に $\mathbb{A}^1(T)=\Gamma(T,\mathcal{O}_T)$。
乗法群 $\mathbb{G}_m:=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$ について $\mathbb{G}_m(A)=A^\times$。環準同型 $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]\to A$ は $t$ の像で決まり、その像は可逆元でなければならないからである。
$\mu_n:=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[t]/(t^n-1)$ について $\mu_n(A)=\{a\in A\mid a^n=1\}$（$A$ の中の1の冪根）。
一般線形群 $\mathrm{GL}_n:=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x_{ij},1/\det(x_{ij})]$ について $\mathrm{GL}_n(A)$ は $A$ 成分の可逆な $n$ 次正方行列の群。
これらの右辺は環準同型 $A\to A'$ と両立する群の構造をもつ。米田の補題により、点関手の上の群構造（自然な群演算）は、スキームの射 $X\times X\to X$ などで群の公理をみたすもの、すなわち群スキームの構造と同じものである（thm-fop-yoneda の 1 と 3 による。環に値をもつ点の上で与えた群演算は、$(X\times X)(A)=X(A)\times X(A)$ と後の thm-fop-affine により射 $X\times X\to X$ などを定め、群の公理も同定理の単射性で射の等式になる）。たとえば $\mathbb{G}_m$ の乗法は $\mathbb{Z}[t^{\pm1}]\to\mathbb{Z}[t_1^{\pm1},t_2^{\pm1}]$、$t\mapsto t_1t_2$ が定める射である。

米田の補題による埋め込み

米田の補題によるスキームの埋め込み

$X\mapsto h_X$ は、$\mathbf{Sch}$ から関手圏 $\operatorname{Fun}(\mathbf{Sch}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set})$ への充満忠実関手である。すなわち、写像 $\operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}}(X,Y)\to\operatorname{Nat}(h_X,h_Y)$、$f\mapsto h_f$ は全単射である。
$h_X$ と $h_Y$ が自然同型なら $X\cong Y$ である。
スキームの射 $X\to S$、$Y\to S$ について、すべてのスキーム $T$ で $(X\times_SY)(T)=X(T)\times_{S(T)}Y(T)$ が自然に成り立つ。

1 は、圏 $\mathbf{Sch}$ に対する米田埋め込みの定理「米田埋め込みは充満忠実」そのものである（$\mathbf{Sch}$ は小さい圏ではないので、関手圏は 1 つ大きいGrothendieck宇宙の中で考える）。具体的には、自然変換 $\varphi\colon h_X\to h_Y$ に対応する射は $f:=\varphi_X(\mathrm{id}_X)\in Y(X)$ であり、自然性から $t\in X(T)$ について $\varphi_T(t)=\varphi_T(\mathrm{id}_X\circ t)=\varphi_X(\mathrm{id}_X)\circ t=f\circ t$ となる。
2：自然同型 $h_X\to h_Y$ とその逆は 1 により射 $X\to Y$、$Y\to X$ から来る。合成が恒等自然変換になるので、1 の単射性により対応する射の合成も恒等射である。
3：ファイバー積 $X\times_SY$（スキームのファイバー積の定理「スキームのファイバー積の存在」）の普遍性は、射 $T\to X\times_SY$ が、$S$ 上で両立する射の組 $T\to X$、$T\to Y$ と 1 対 1 に対応することである。これが右辺である。$\square$

この定理により、スキームの射は、すべての $T$ について $X(T)\to Y(T)$ を自然に与えれば定まる。

開被覆での貼り合わせとアフィンスキームへの制限

点関手は Zariski 層である

$X$ をスキーム、$T$ をスキーム、$\{T_i\}_{i\in I}$ を $T$ の開被覆とする。写像の列
$$ X(T)\longrightarrow\prod_{i}X(T_i)\rightrightarrows\prod_{i,j}X(T_i\cap T_j) $$
（左は $t\mapsto(t|_{T_i})_i$、右の 2 本は $(t_i)\mapsto(t_i|_{T_i\cap T_j})$ と $(t_i)\mapsto(t_j|_{T_i\cap T_j})$）はイコライザである。すなわち、射 $T\to X$ は各 $T_i$ への制限で決まり、重なりで一致する射の族 $t_i\colon T_i\to X$ は射 $T\to X$ に貼り合わさる。とくに $X(\emptyset)$ は 1 点で、交わらない開集合の和 $T=T_1\sqcup T_2$ について $X(T)=X(T_1)\times X(T_2)$ である。

前半はスキームの補題「射は開被覆で決まり貼り合わさる」の言い換えである。空なスキームは空な族で覆われ、空な積は 1 点なので $X(\emptyset)$ は 1 点である。$T=T_1\sqcup T_2$ では $T_1\cap T_2=\emptyset$ で $X(\emptyset)$ が 1 点なので、重なりの条件は何も課さない。$\square$

この性質を、関手 $F\colon\mathbf{Sch}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ が Zariski 層であるという。点関手はより細かいエタール位相や fppf 位相についても層である（Grothendieck位相の定理「表現可能関手は層」。この記事では証明しない）。
次の定理が、点関手を可換環の言葉で扱える根拠である。アフィンスキームのなす $\mathbf{Sch}$ の充満部分圏を $\mathbf{Aff}$ と書く。$\mathbf{Aff}$ は $\mathbf{Ring}$ の反対圏と圏同値である（アフィンスキーム）。

アフィンスキームへの制限で決まる

スキーム $X$、$Y$ について、射 $f\colon X\to Y$ に点関手の制限の間の自然変換 $h_f|_{\mathbf{Aff}}\colon h_X|_{\mathbf{Aff}}\to h_Y|_{\mathbf{Aff}}$ を対応させる写像
$$ \operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}}(X,Y)\longrightarrow\operatorname{Nat}(h_X|_{\mathbf{Aff}},h_Y|_{\mathbf{Aff}}) $$
は全単射である。言い換えると、可換環 $A$ ごとの写像 $X(A)\to Y(A)$ の族で環準同型と両立するものは、ただ 1 つの射 $X\to Y$ から来る。とくに、$A\mapsto X(A)$ と $A\mapsto Y(A)$ が $\mathbf{Ring}$ からの関手として自然同型なら $X\cong Y$ である。

$X$ のアフィン開被覆 $\{U_i\}$ と同型 $\operatorname{Spec}A_i\cong U_i$ をとり、これと包含の合成を $u_i\colon\operatorname{Spec}A_i\to X$ とおく（$u_i\in X(A_i)$）。$u_i$ は $\operatorname{Spec}A_i$ から開部分スキーム $U_i$ への同型を与える。
単射性：$f,f'\colon X\to Y$ が $\mathbf{Aff}$ 上で同じ自然変換を定めるとすると、$f\circ u_i=f'\circ u_i$ なので $f|_{U_i}=f'|_{U_i}$ がすべての $i$ で成り立ち、スキームの補題「射は開被覆で決まり貼り合わさる」により $f=f'$ である。
全射性：自然変換 $\varphi\colon h_X|_{\mathbf{Aff}}\to h_Y|_{\mathbf{Aff}}$ をとる。$g_i:=\varphi(u_i)\colon\operatorname{Spec}A_i\to Y$ とし、$f_i:=g_i\circ u_i^{-1}\colon U_i\to Y$ とおく（$u_i^{-1}$ は $U_i\to\operatorname{Spec}A_i$）。
(a) $f_i$ は貼り合わさる。$U_i\cap U_j$ は $X$ のアフィン開集合で覆われる（スキームの命題「開部分スキームはスキームである」）。そのような $W\subset U_i\cap U_j$ と包含 $w\colon W\to X$ をとると、$W$ はアフィンであり、$a:=u_i^{-1}\circ w\colon W\to\operatorname{Spec}A_i$ は $\mathbf{Aff}$ の射で $w=u_i\circ a$ である。$\varphi$ の自然性から
$$ \varphi(w)=\varphi(u_i\circ a)=\varphi(u_i)\circ a=g_i\circ u_i^{-1}\circ w=f_i|_W $$
であり、同様に $\varphi(w)=f_j|_W$ である。よって $f_i$ と $f_j$ は $U_i\cap U_j$ を覆う各 $W$ の上で一致し、補題「射は開被覆で決まり貼り合わさる」の一意性により $U_i\cap U_j$ 上で一致する。同じ補題の存在により、$f|_{U_i}=f_i$ をみたす射 $f\colon X\to Y$ が得られる。
(b) $\varphi=h_f|_{\mathbf{Aff}}$ である。$T=\operatorname{Spec}A$ と $t\in X(T)$ をとる。開集合 $t^{-1}(U_i)$ は $T$ を覆い、$D(g)$（$g\in A$）の形の開集合は開基をなすので、各 $D(g)$ が $t(D(g))\subset U_{i(g)}$ をみたす被覆 $T=\bigcup D(g)$ がとれる。包含 $\iota\colon D(g)\to T$ は $\mathbf{Aff}$ の射（$D(g)\cong\operatorname{Spec}A_g$）で、$t\circ\iota=u_i\circ s$（$i=i(g)$、$s:=u_i^{-1}\circ t\circ\iota$）と書ける。自然性を 2 回使うと
$$ \varphi(t)\circ\iota=\varphi(t\circ\iota)=\varphi(u_i\circ s)=g_i\circ s=f_i\circ u_i\circ s=f\circ t\circ\iota $$
である。よって $\varphi(t)$ と $f\circ t$ は $T$ の開被覆 $\{D(g)\}$ の各元の上で一致し、補題の一意性により $\varphi(t)=f\circ t$ である。
最後の主張：$\mathbf{Ring}$ からの関手としての自然同型は $\mathbf{Aff}$ 上の自然同型と同じものであり、2 方向の自然変換が単射性により射 $X\to Y$、$Y\to X$ から来て、合成が恒等射になる。$\square$

体に値をもつ点

スキーム $X$ の点 $x$ の剰余体を $\kappa(x)$ と書く（スキームの定義「局所環付き空間」）。

体に値をもつ点と剰余体

$X$ をスキーム、$K$ を体とする。射 $g\colon\operatorname{Spec}K\to X$ に、像の点 $x:=g(\ast)$（$\ast$ は $\operatorname{Spec}K$ の唯一の点）と、茎の写像 $g^\sharp_\ast\colon\mathcal{O}_{X,x}\to K$ が誘導する体の準同型 $\iota\colon\kappa(x)\to K$ の組を対応させる写像は、$X(K)$ から組 $(x,\iota)$（$x\in X$、$\iota\colon\kappa(x)\to K$ は体の準同型）の全体への全単射である。とくに、体 $k$ 上のスキーム $X$ の $k$ 有理点（$k\to\kappa(x)$ が同型である点）は、$k$ 射 $\operatorname{Spec}k\to X$ と 1 対 1 に対応する。

要点：$g$ の茎の写像は局所準同型なので核が $\mathfrak{m}_x$ になり、$\iota$ が定まる。逆に組 $(x,\iota)$ からは、$x$ を含むアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の上で $A\to\kappa(x)\xrightarrow{\iota}K$ が定める射を作る。射は大域切断で決まるので、これが唯一の射である。

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対応が定まること：$g^\sharp_\ast\colon\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}K,\ast}=K$ は局所準同型であり、$K$ の極大イデアルは $0$ なので、核は極大イデアル $\mathfrak{m}_x$ に一致する。よって $g^\sharp_\ast$ は単射 $\iota\colon\kappa(x)=\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x\to K$ を誘導する。

全射性：組 $(x,\iota)$ をとり、$x$ を含むアフィン開集合と同型 $U\cong\operatorname{Spec}A$ をとって、$x$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とする。環準同型 $\psi\colon A\to A_{\mathfrak{p}}\to\kappa(\mathfrak{p})=\kappa(x)\xrightarrow{\iota}K$ が定める射 $\operatorname{Spec}K\to\operatorname{Spec}A\cong U$ に $U\subset X$ の包含を合成したものを $g$ とする。$\iota$ は単射で、$A_{\mathfrak{p}}\to\kappa(\mathfrak{p})$ の核は $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ なので $\psi^{-1}(0)=\mathfrak{p}$、すなわち $g(\ast)=x$ である。$g$ の点 $\ast$ での茎の写像は $\psi$ の局所化 $A_{\mathfrak{p}}\to\kappa(\mathfrak{p})\xrightarrow{\iota}K$ であり（スキームの注意「アフィンスキームから使う事実」の 4）、誘導される体の準同型は $\iota$ である。

単射性：$g'\colon\operatorname{Spec}K\to X$ も組 $(x,\iota)$ を与えるとする。$g'(\ast)=x\in U$ なので $g'$ は $U$ を経由し、$\operatorname{Spec}K\to U\cong\operatorname{Spec}A$ は大域切断の写像 $\psi'\colon A\to K$ で決まる。大域切断の写像は茎の写像と両立するので $\psi'$ は $A\to A_{\mathfrak{p}}\xrightarrow{g'^\sharp_\ast}K$ に等しく、$g'^\sharp_\ast$ は $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ を $0$ に送って $\iota$ を誘導するので、$\psi'=\psi$ である。開埋め込みを経由する射は経由した先の射で決まるので $g'=g$ である。

最後の主張：$k$ 射 $\operatorname{Spec}k\to X$ は、$\iota\colon\kappa(x)\to k$ と構造射から来る $k\to\kappa(x)$ の合成が $\mathrm{id}_k$ になる組 $(x,\iota)$ に対応する。体の準同型は単射なので、このとき $k\to\kappa(x)$ は全射でもあり、$x$ は $k$ 有理点である。逆に $x$ が $k$ 有理点なら、$\iota$ は $k\to\kappa(x)$ の逆写像としてただ 1 つに決まる。$\square$

$k$ の拡大体 $K$ については、同じ論法で $X$ の $K$ 値点（$k$ 射）は、点 $x$ と $k$ 上の埋め込み $\kappa(x)\to K$ の組に対応する（有理点）。

実数体上のアフィン直線の点

$X:=\mathbb{A}^1_{\mathbb{R}}=\operatorname{Spec}\mathbb{R}[t]$ の点は、生成点 $(0)$（剰余体 $\mathbb{R}(t)$）と、モニックな既約多項式 $p(t)$ が生成する閉点 $(p(t))$ で、剰余体 $\mathbb{R}[t]/(p)$ は $\deg p=1$ なら $\mathbb{R}$、$\deg p=2$ なら $\mathbb{C}$ に同型である。$\mathbb{R}$ 射としての値をもつ点は $X(\mathbb{C})=\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}\text{-alg}}(\mathbb{R}[t],\mathbb{C})=\mathbb{C}$ であり、$z\in\mathbb{C}$ に対応する射の像は $z$ の最小多項式が生成する素イデアルである。$z\notin\mathbb{R}$ なら $z$ と $\bar z$ が同じ閉点に写る。これは prop-fop-field-points で、剰余体 $\kappa(x)\cong\mathbb{C}$ の $\mathbb{R}$ 上の埋め込み $\kappa(x)\to\mathbb{C}$ が 2 つあることにあたる。生成点には $\mathbb{C}$ 値点が対応しない。$\mathbb{R}$ 上の体の準同型 $\mathbb{R}(t)\to\mathbb{C}$ は、$t$ の像 $c$ が $\mathbb{R}$ 上超越的であることを要するが、$\mathbb{C}$ の元はすべて $\mathbb{R}$ 上代数的だからである。このように、1 つの体に値をもつ点だけでは位相空間の点を尽くさない。

射影空間の点

$\mathbb{P}^n:=\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}$ をスキームの例「射影空間の貼り合わせ」（$A=\mathbb{Z}$）のとおりに構成する。$S=\mathbb{Z}[x_0^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}]$ の中で $A_i:=\mathbb{Z}[x_k/x_i\mid k\neq i]$、$U_i:=\operatorname{Spec}A_i$ とおき、$U_{ij}=D(x_j/x_i)\subset U_i$ と $U_{ji}\subset U_j$ を、ともに $\operatorname{Spec}A_{ij}$（$A_{ij}:=A_i[x_i/x_j]=A_j[x_j/x_i]$）と同一視して貼り合わせる。$A_i$ は次数 $0$ の Laurent 単項式 $x^c$（$c\in\mathbb{Z}^{n+1}$、$c_0+\dots+c_n=0$、$k\neq i$ について $c_k\ge0$）を基底とする。

局所環に値をもつ射影空間の点

$R$ を局所環とする。$R^{n+1}$ の元 $a=(a_0,\dots,a_n)$ で、ある $a_i$ が $R$ の可逆元であるものの全体を $P$ とし、$R^\times$ をスカラー倍で作用させる。$a_i$ が可逆な $a\in P$ に、環準同型 $\psi^a_i\colon A_i\to R$、$x^c\mapsto a^c:=\prod_ka_k^{c_k}$ が定める射 $\operatorname{Spec}R\to U_i\subset\mathbb{P}^n$ を対応させると、これは $i$ の選び方によらず、全単射
$$ P/R^\times\xrightarrow{\ \sim\ }\mathbb{P}^n(R) $$
を与える。$a$ の類を $[a_0:\dots:a_n]$ と書く。

要点：局所環のスペクトルでは閉点を含む開集合は全体なので、射は閉点の像を含む 1 枚の $U_i\cong\operatorname{Spec}A_i$ を経由し、環準同型 $A_i\to R$、すなわち $a_i=1$ の座標で決まる。2 枚の $U_i$、$U_j$ を経由する射は $A_{ij}$ からの環準同型で比べる。

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$c_i=-\sum_{k\neq i}c_k\le0$ で $a_i$ は可逆なので $a^c$ は意味をもち、$x^c\mapsto a^c$ は単項式の積を保つので環準同型である。射 $\operatorname{Spec}R\to\operatorname{Spec}A_i$ の像が $D(h)$ に入ることは、$h$ の像が可逆であることと同値である（像がどの素イデアルにも入らないこと）。

$i$ によらないこと：$a_i$、$a_j$ がともに可逆なら、$\psi^a_i(x_j/x_i)=a_j/a_i$ は可逆なので、$i$ からの射は $U_{ij}$ を経由し、環準同型 $A_{ij}\to R$、$x^c\mapsto a^c$ で与えられる。$j$ からの射も同じ式で $U_{ji}$ を経由する。$U_{ij}$ と $U_{ji}$ は $A_{ij}$ の恒等写像で同一視されているので、2 つの射は等しい。$u\in R^\times$ について $(ua)^c=u^{c_0+\dots+c_n}a^c=a^c$ なので、類の上で写像が定まる。

全射性：射 $g\colon\operatorname{Spec}R\to\mathbb{P}^n$ をとる。$R$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ の像はある $U_i$ に入る。$\operatorname{Spec}R$ のどの素イデアル $\mathfrak{q}$ も $\mathfrak{q}\subset\mathfrak{m}$ をみたし、$\overline{\{\mathfrak{q}\}}=V(\mathfrak{q})\ni\mathfrak{m}$ なので、$\mathfrak{m}$ を含む開集合は $\mathfrak{q}$ も含む。よって開集合 $g^{-1}(U_i)$ は $\operatorname{Spec}R$ 全体であり、$g$ は $U_i$ を経由する。スキームの命題「アフィンスキームへの射と大域切断」により、$g$ は環準同型 $\psi\colon A_i\to R$ で決まる。$a_k:=\psi(x_k/x_i)$（$a_i:=1$）とおくと、$\psi$ と $\psi^a_i$ は生成元 $x_k/x_i$ で一致するので等しく、$g$ は $[a]$ の像である。

単射性：$[a]$ と $[b]$ が同じ射 $g$ を与えるとし、$a_i$、$b_j$ が可逆であるとする。$g$ は $U_i$ と $U_j$ の両方を経由するので $U_i\cap U_j=U_{ij}$ を経由し、$U_i$ の側では $\psi^a_i(x_j/x_i)=a_j/a_i$ が可逆、すなわち $a_j$ も可逆である。すると $g$ は $U_j$ の側で $\psi^a_j$ と $\psi^b_j$ の両方で与えられ、開埋め込み $U_j\to\mathbb{P}^n$ を経由する射は経由した先の射で決まるので $\psi^a_j=\psi^b_j$、すなわちすべての $k$ で $a_k/a_j=b_k/b_j$ である。よって $b=(b_j/a_j)\,a$ であり、$[a]=[b]$ である。$\square$

$R$ が体 $K$ なら $P=K^{n+1}\setminus\{0\}$ で、有理点の例「射影空間の値をもつ点」の記述 $\mathbb{P}^n(K)=(K^{n+1}\setminus\{0\})/K^\times$ になる。一般の環 $R$ では、$\mathbb{P}^n(R)$ は射影的な階数 1 の $R$ 加群 $L$ と全射 $R^{n+1}\to L$ の組の同型類と 1 対 1 に対応する（Har77 II 定理 7.1、p. 150 の可逆層と大域切断による記述を $\operatorname{Spec}R$ に当てたもの。この記事では証明しない）。$R$ が局所環なら $L\cong R$ で、上の命題に戻る。局所環の仮定を外すと、可逆な座標をもつ斉次座標では点を尽くせない（ex-fop-counterexamples の 4）。

表現可能性

関手 $F\colon\mathbf{Sch}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ がある $X$ の点関手と自然同型であるとき、$F$ はスキームで表現されるといい、$X$ を $F$ の表現対象という（表現可能関手）。thm-fop-yoneda の 2 により、表現対象は同型を除いて一意である。群スキーム・Grassmann多様体・Hilbertスキーム・Picardスキームなどは、まず関手を定めてから表現可能性を示して作られる。

表現可能性の判定

部分関手 $F'\subset F$ が開部分関手であるとは、任意のスキーム $T$ と $\xi\in F(T)$（前層(圏論) の命題「表現可能前層からの射」、すなわち米田の補題により自然変換 $h_T\to F$ と同じ）について、$T$ の開集合 $T_\xi$ があり、射 $u\colon T'\to T$ について $F(u)(\xi)\in F'(T')$ と $u(T')\subset T_\xi$ が同値になることをいう。開部分関手の族 $\{F_i\}$ が $F$ を覆うとは、すべての $T$、$\xi$ について $T_\xi^{(i)}$ たちが $T$ を覆うことをいう。次が成り立つ（Stacks Lemma 26.15.4。この記事では証明しない）：$F$ が Zariski 層であり、表現可能な開部分関手の族で覆われるなら、$F$ はスキームで表現される。
逆に、表現対象のアフィン開被覆 $\{U_i\}$ の $h_{U_i}$ は、覆う開部分関手の族を与える。射影空間では $U_i\cong\mathbb{A}^n$ がそれにあたる。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
すべての環で値を比べること（体だけで比べる）	$\operatorname{Spec}k$ と $\operatorname{Spec}k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$	値をもつ点の対応から同型が決まること
すべての体で値を比べること（1 つの体 $k$ だけで比べる）	$\mathbb{R}$ 上の $\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ と空スキーム	$k$ 値点から同型が決まること
Zariski 層であること	2 点集合 $\{0,1\}$ に値をとる定数関手	スキームで表現されること
$R$ が局所環であること	$R=k\times k$ と $\mathbb{P}^1$	可逆な座標をもつ斉次座標で $\mathbb{P}^n(R)$ を尽くすこと

反例の確かめ

1：$k$ を体、$D:=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ とし、$k$ 上のスキーム $X:=\operatorname{Spec}k$、$X':=\operatorname{Spec}D$ と、全射 $D\to k$（$\varepsilon\mapsto0$）が定める $k$ 射 $c\colon X\to X'$ を考える。体 $K$ への $k$ 代数の準同型 $D\to K$ は $\varepsilon$ を冪零元に、したがって $0$ に送るので $D\to k$ を経由し、$c$ はすべての体 $K$ について全単射 $X(K)\to X'(K)$ を与える。しかし $X'$ は $X$ に同型でない（$D$ は $0$ でない冪零元 $\varepsilon$ をもつ）。実際 $\mathrm{id}_D$ に対応する $X'(D)$ の元は、$\varepsilon$ を $0$ に送らないので、$c$ の像 $X(D)\to X'(D)$ に入らない。thm-fop-affine は体だけでなくすべての環を使う必要がある。
2：$\mathbb{R}$ 上のスキーム $\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ と空スキーム $\emptyset$ は、どちらも $\mathbb{R}$ 値点をもたない（$\mathbb{R}$ 代数の準同型 $\mathbb{C}\to\mathbb{R}$ は $i^2=-1$ の像がないので存在しない）。しかし同型でない。$\mathbb{C}$ に値をもつ点で比べれば $\operatorname{Spec}\mathbb{C}(\mathbb{C})$ は 2 元、$\emptyset(\mathbb{C})$ は空である。
3：$F(T):=\{0,1\}$（すべての $T$、すべての射に恒等写像）とおく。表現可能なら prop-fop-zariski-sheaf により $F(\emptyset)$ は 1 点のはずだが 2 点である。空でない例でも、$k$ を体として $T=\operatorname{Spec}k\sqcup\operatorname{Spec}k=\operatorname{Spec}(k\times k)$ で $F(T)=\{0,1\}$ と $F(\operatorname{Spec}k)^2$（4 元）が食い違う。この関手を Zariski 層に直した「$T$ 上の局所定数関数 $T\to\{0,1\}$ の集合」は $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\sqcup\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ で表現される（射 $T\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\sqcup\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は、$T$ を 2 つの開かつ閉な部分に分けることと同じである）。
4：$R=k\times k$ とすると $\operatorname{Spec}R$ は 2 点 $\mathfrak{p}_1$、$\mathfrak{p}_2$ の離散空間で、各点の開集合 $\{\mathfrak{p}_\nu\}$ は $\operatorname{Spec}k$ である。prop-fop-zariski-sheaf により、$\mathfrak{p}_1$ の上で $[1:0]$、$\mathfrak{p}_2$ の上で $[0:1]$ となる $g\in\mathbb{P}^1(R)$ がある。$a_0$ が可逆な $a$ から来るなら $g$ は $U_0$ を経由するが、$\mathfrak{p}_2$ の像 $[0:1]$ は $U_0$ に入らない。$a_1$ が可逆な場合も同様に $\mathfrak{p}_1$ の像が $U_1$ に入らない。よって $g$ は prop-fop-projective-local の形では書けない。射影的な階数 1 の加群による記述では $L=R$、全射 $R^2\to R$ は $((1,0),(0,1))$ で与えられる。

参考文献の所在

点関手の定義は Vak25 Definition 7.3.10、Zariski 層と開部分関手の定義は同 §10.1 にある。表現可能性の判定の証明は Stacks Lemma 26.15.4（Tag 01JJ）にある。体に値をもつ点の記述は Har77 II 演習 2.7（p. 80）、射影空間への射の記述は同 II 定理 7.1（p. 150）にある。thm-fop-affine・prop-fop-field-points・prop-fop-projective-local の証明はこの記事で示した。