Stiefel多様体

要点：写像 $A\mapsto A^*A$ に対して $I_k$ が正則値であることを、微分の全射性で示す。

要点：正規直交枠は正規直交基底に延ばせるので全射であり、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は同相写像である。

$x_0\in S^{cn-1}$ を固定する。$x_0$ を第 1 列とするユニタリ行列（$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ なら直交行列）$s_0=(x_0,b_2,\dots,b_n)$ を一つとる。
$$ U:=\{x\in S^{cn-1}\mid\langle x_0,x\rangle\ne0\} $$
は $x_0$ を含む開集合である。$x\in U$ なら $(x,b_2,\dots,b_n)$ は線形独立である。実際、$x$ を基底 $(x_0,b_2,\dots,b_n)$ で展開したときの $x_0$ の係数は $\langle x_0,x\rangle\ne0$ である。そこで
$$ s(x):=\mathrm{GS}(x,b_2,\dots,b_n),\qquad g(x):=s(x)\,s_0^{-1}\qquad(x\in U) $$
とおく。$\|x\|=1$ なので $s(x)$ の第 1 列は $x$ であり、$s(x)$ はユニタリ行列、$g\colon U\to U_{\mathbb{K}}(n)$ は連続、$g(x)x_0=x$、$g(x_0)=I_n$ である。
$x_0$ の上のファイバー $p^{-1}(x_0)$ は、$x_0^\perp$ の中の正規直交 $(k-1)$ 枠 $(w_2,\dots,w_k)$ の全体 $F$ と同一視でき、$x_0^\perp\cong\mathbb{K}^{n-1}$ なので $F\cong V_{k-1}(\mathbb{K}^{n-1})$ である。
$$ \varphi\colon U\times F\to p^{-1}(U),\qquad\varphi(x,(w_2,\dots,w_k)):=(x,g(x)w_2,\dots,g(x)w_k) $$
を考える。$g(x)$ はユニタリで $x_0$ を $x$ に送るので $x_0^\perp$ を $x^\perp$ に送り、$\varphi$ の値は $x$ で始まる正規直交枠である。逆写像は $(v_1,\dots,v_k)\mapsto(v_1,(g(v_1)^{-1}v_2,\dots,g(v_1)^{-1}v_k))$ で、$g(v_1)^{-1}=g(v_1)^*$ は $v_1$ について連続である。$\varphi$ と逆写像はともに連続で $p\circ\varphi=\mathrm{pr}_1$ を満たすので、$\varphi$ は $U$ の上の局所自明化である。$x_0$ は任意なので $p$ はファイバー束である。$\square$

$N(n,k):=c(n-k+1)-2$ とおく。$k=1$ のとき $V_1(\mathbb{K}^n)=S^{cn-1}$ であり、$N(n,1)=cn-2$ なので、主張は $i< cn-1$ で $\pi_i(S^{cn-1})=0$ であること（Hat02 Corollary 4.9、p. 349）にほかならない。
$k\ge2$ とし、$k-1$ まで主張が成り立つとする。$N(n,k)<0$ なら示すことはない。$N(n,k)\ge0$ とする。thm-stiefel-bundle のファイバー束 $V_{k-1}(\mathbb{K}^{n-1})\to V_k(\mathbb{K}^n)\xrightarrow{p}S^{cn-1}$ は CW 対についてホモトピー持ち上げ性質をもつ（Hat02 Proposition 4.48、p. 379）。底空間の次元について $cn-1\ge c(n-k+1)-1=N(n,k)+1\ge1$ なので底空間は弧状連結であり、ホモトピー群の長完全列
$$ \pi_i(V_{k-1}(\mathbb{K}^{n-1}))\to\pi_i(V_k(\mathbb{K}^n))\to\pi_i(S^{cn-1})\quad(i\ge1),\qquad\pi_0(V_{k-1}(\mathbb{K}^{n-1}))\to\pi_0(V_k(\mathbb{K}^n))\to0 $$
が成り立つ（Hat02 Theorem 4.41、p. 376）。$N(n-1,k-1)=c(n-k+1)-2=N(n,k)$ なので、帰納法の仮定により $i\le N(n,k)$ でファイバーの $\pi_i$ は $0$ である。また $i\le N(n,k)\le cn-2$ なので $\pi_i(S^{cn-1})=0$ である。完全性により $1\le i\le N(n,k)$ で $\pi_i(V_k(\mathbb{K}^n))=0$ であり、$i=0$ ではファイバーが弧状連結なので $V_k(\mathbb{K}^n)$ も弧状連結である。$\square$

上で見たように、切断は $S^{n-1}$ 上の長さ $1$ の連続な接ベクトル場と同じものであり、零点をもたない連続な接ベクトル場 $w$ があれば $w/\|w\|$ が長さ $1$ の場になる。毛玉の定理 の定理「毛玉の定理」により、$S^{n-1}$ 上に零点をもたない連続な接ベクトル場が存在するのは $n-1$ が奇数のときに限る。$n=2m$ のときは、$\mathbb{R}^{2m}=\mathbb{C}^m$ とみて $w(x):=ix$ が実際の場を与える（$\langle x,ix\rangle_{\mathbb{R}}=\operatorname{Re}(\overline{x}\cdot ix)$ の和は $\operatorname{Re}(i\|x\|^2)=0$）。$\square$

線形写像 $d_{\mathrm{o}}\colon\mathbb{K}^\infty\to\mathbb{K}^\infty$ を $d_{\mathrm{o}}(e_j):=e_{2j-1}$ で定め、固定した枠 $\epsilon:=(e_2,e_4,\dots,e_{2k})$ をとる。$v=(v_1,\dots,v_k)\in V_k(\mathbb{K}^\infty)$ と $t\in[0,1]$ に対し
$$ a_t(v):=\bigl((1-t)v_j+t\,d_{\mathrm{o}}v_j\bigr)_{j},\qquad b_t(v):=\bigl((1-t)d_{\mathrm{o}}v_j+t\,e_{2j}\bigr)_{j} $$
とおく。どちらも線形独立な $k$ 個の組であることを示す。$\lambda_1,\dots,\lambda_k\in\mathbb{K}$ について $w:=\sum_j\lambda_jv_j$ とおくと、$d_{\mathrm{o}}$ の線形性から $\sum_j\lambda_ja_t(v)_j=(1-t)w+t\,d_{\mathrm{o}}w$ である。$w\ne0$ のとき、$w$ の $0$ でない成分の番号の最大値を $m$ とする。$m=1$ なら $d_{\mathrm{o}}w=w$ なので値は $w\ne0$ である。$m\ge2$ なら $2m-1>m$ なので $w_{2m-1}=0$、$(d_{\mathrm{o}}w)_{2m-1}=w_m$ であり、値の第 $2m-1$ 成分は $tw_m$ で、$t>0$ なら $0$ でなく、$t=0$ なら値は $w$ である。よって $\sum_j\lambda_ja_t(v)_j=0$ なら $w=0$、$v$ の線形独立性から $\lambda=0$ である。次に $\sum_j\lambda_jb_t(v)_j=(1-t)d_{\mathrm{o}}w+t\sum_j\lambda_je_{2j}$ の奇数番目の成分は $(1-t)d_{\mathrm{o}}w$、偶数番目の成分は $t\sum_j\lambda_je_{2j}$ である。これが $0$ なら、$t>0$ のとき $\lambda=0$、$t=0$ のとき $d_{\mathrm{o}}w=0$ から $w=0$、$\lambda=0$ である。
そこで $H(v,t)$ を、$t\in[0,\tfrac12]$ で $\mathrm{GS}(a_{2t}(v))$、$t\in[\tfrac12,1]$ で $\mathrm{GS}(b_{2t-1}(v))$ と定める。$t=\tfrac12$ では両方とも $\mathrm{GS}(d_{\mathrm{o}}v)$ で一致する。$H(v,0)=\mathrm{GS}(v)=v$、$H(v,1)=\mathrm{GS}(\epsilon)=\epsilon$ である。各 $V_k(\mathbb{K}^N)\times[0,1]$ の上では $H$ は $V_k(\mathbb{K}^{2N})$ に値をとる有限次元の連続写像（和・スカラー倍・内積・$0$ でないノルムでの割り算の合成）である。$V_k(\mathbb{K}^\infty)\times[0,1]$ は $\mathbb{K}\times(\mathbb{K}^\infty)^k$ の閉集合で（$[0,1]\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{K}$）、閉集合 $C$ の逆像 $H^{-1}(C)$ は各段との共通部分が閉なので閉である。よって $H$ は連続であり、恒等写像と定値写像を結ぶホモトピーである。$\square$

要点：トートロジー束の局所枠を Gram–Schmidt で正規直交にして局所切断を作る。

thm-stiefel-contractible と prop-stiefel-principal により、全空間が可縮な主束である。実の場合、底空間 $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{R}^\infty)$ は CW 複体なので（MS74 Theorem 6.4、p. 79）パラコンパクト Hausdorff であり（パラコンパクト空間 の定理「CW 複体のパラコンパクト性」）、主束は可算被覆的である。よって 分類空間 の定理「普遍束の可縮性による判定」により普遍束である。複素の場合も含めて普遍束であることは Hus94 第 8 章 Theorem 6.1（pp. 95–96）が述べている（複素の場合の可算被覆性はこの記事では証明しない）。ホモトピー群の同型は、ファイバー束の長完全列（Hat02 Theorem 4.41、Proposition 4.48）で全空間のホモトピー群が消えることから従う。$\square$