Eilenberg–Steenrodの公理

ホモトピー公理は相対ホモロジーの記事の命題「対のホモトピー不変性」、完全性公理は同記事の定理「対の長完全列」と命題「被約ホモロジーの対の長完全列」である。CW 対は良い対であり（Hat02 Proposition A.5, p. 523）、切除定理の記事の命題「良い対の相対ホモロジー」により商写像は $H_n(X,A)\cong\tilde H_n(X/A)\cong H_n(X/A,A/A)$ を誘導する。加法性は、特異単体の像が連結なので一つの $X_\alpha$ に入り、相対特異鎖複体が直和に分かれることから従う。楔公理は Hat02 Corollary 2.25（p. 126）、次元公理は一点の特異鎖複体の計算（Hat02 Proposition 2.8, p. 110）である。整数係数での議論は係数 $G$ でも変更なく通る（Hat02 Section 2.2, p. 153）。$\square$

1：$X=A=\mathrm{pt}$ とすると $X/A=\mathrm{pt}$ で、$i$ も $q$ も恒等写像である。完全性公理の列 $\tilde h_n(\mathrm{pt})\xrightarrow{\mathrm{id}}\tilde h_n(\mathrm{pt})\xrightarrow{\mathrm{id}}\tilde h_n(\mathrm{pt})$ の中央で $\ker(\mathrm{id})=0$ と $\operatorname{im}(\mathrm{id})=\tilde h_n(\mathrm{pt})$ が一致するので、$\tilde h_n(\mathrm{pt})=0$ である。2：ホモトピー逆 $g$ について $g_*f_*=(gf)_*=\mathrm{id}$、$f_*g_*=\mathrm{id}$ である（ホモトピー公理と関手性）。可縮なら $X$ は一点とホモトピー同値なので、1 から従う。$\square$

$CX$ と $SX$ は $X\times I$ の積の CW 構造から CW 複体になり、$X=X\times\{1\}$ は $CX$ の部分複体である（Hat02 Chapter 0, pp. 8–9）。$CX$ は錐の頂点へのホモトピー $([x,s],t)\mapsto[x,(1-t)s]$ により可縮である（$I$ は局所コンパクトなので、商写像と $I$ の積は商写像であり、このホモトピーは連続：Hat02 Proposition A.17, p. 532）。es-prop-point により $\tilde h_n(CX)=0$ がすべての $n$ で成り立つので、対 $(CX,X)$ の完全列
$$ 0=\tilde h_{n+1}(CX)\to\tilde h_{n+1}(CX/X)\xrightarrow{\partial}\tilde h_n(X)\to\tilde h_n(CX)=0 $$
から $\partial$ は同型である。$f\colon X\to Y$ は $Cf\colon CX\to CY$ を誘導して $X$ を $Y$ へ写し、$CX/X\to CY/Y$ は $Sf$ なので、$\partial$ の自然性から $\partial\circ(Sf)_*=f_*\circ\partial$ である。$SX$ は 懸垂の記事の定義の懸垂と同じ空間であり、同記事の例「球面の懸垂」により $S(S^{k-1})\cong S^k$（$k\ge1$）なので、帰納法で $\tilde h_n(S^k)\cong\tilde h_{n-1}(S^{k-1})\cong\cdots\cong\tilde h_{n-k}(S^0)$ を得る。通常の理論では $\tilde h_m(S^0)$ は $m=0$ でだけ $0$ でなく、$G$ である。$\square$

$Z:=X\vee Y$ とする。$X$ の上では恒等写像、$Y$ を基点へつぶす写像 $Z\to X$ は、閉集合 $X,Y$ の上でそれぞれ連続なので連続であり、商 $Z/Y$ から $X$ への連続写像を誘導する。これは商写像 $q\colon Z\to Z/Y$ と $i_X$ の合成 $q\circ i_X\colon X\to Z/Y$ の逆写像なので、$q\circ i_X$ は同相写像である。同様に $X$ を基点へつぶす写像 $r\colon Z\to Y$ は連続で $r\circ i_Y=\mathrm{id}_Y$ を満たすから、$i_{Y*}$ はすべての次数で単射である。
対 $(Z,Y)$ の完全列 $\tilde h_{n+1}(Z/Y)\xrightarrow{\partial}\tilde h_n(Y)\xrightarrow{i_{Y*}}\tilde h_n(Z)\xrightarrow{q_*}\tilde h_n(Z/Y)\xrightarrow{\partial}\tilde h_{n-1}(Y)\xrightarrow{i_{Y*}}\tilde h_{n-1}(Z)$ で、$i_{Y*}$ が単射だから両方の $\partial$ は $0$ であり、$q_*$ は全射である。$q\circ i_X$ は同相写像なので $q_*\circ i_{X*}$ は同型であり、$s:=i_{X*}\circ(q_*i_{X*})^{-1}$ は $q_*$ の切断である。よって $\tilde h_n(Z)=\operatorname{im}i_{Y*}\oplus\operatorname{im}s$ で、$\operatorname{im}s=\operatorname{im}i_{X*}$、$i_{X*}$ も単射である。これは $(i_{X*},i_{Y*})$ が同型であることにほかならない。$\square$

1．球面． es-thm-suspension の同型 $\partial$ と $T$ が可換なので、$T$ が $X$ のすべての次数で同型なら $SX$ でも同型である。$T$ は同相写像の誘導する同型とも可換なので、$S^0$ から始めて $S(S^{k-1})\cong S^k$ により、すべての $S^k$ で $T$ は同型である。
2．胞体の個数についての帰納法． 胞体が一つなら $X=\mathrm{pt}$ で、両辺は $0$ である（es-prop-point）。胞体が二つ以上のとき、次元が最大の胞体 $e$（次元 $k$）を一つ選ぶ。ほかの胞体の接着写像の像は $(k-1)$ 骨格に入り $e$ と交わらないので、$Y:=X\setminus e$ は空でない部分複体で、胞体の個数は一つ少ない。$k\ge1$ なら、$e$ の特性写像はコンパクト空間 $D^k/\partial D^k\cong S^k$ から $X/Y$ への連続な全単射を誘導し、$X/Y$ は CW 複体なので Hausdorff であり（CW複体の記事の定理「CW 複体は Hausdorff」）、同相写像である。$k=0$ なら $X=Y\sqcup\{e\}$ で $X/Y\cong S^0$ である。
対 $(X,Y)$ の完全列を $\tilde h$ と $\tilde h'$ で並べると、$T$ は自然変換で $\partial$ と可換なので、列の間の可換な図式を与える。
$$ \xymatrix{ \tilde h_{n+1}(X/Y) \ar[r] \ar[d]_{T} & \tilde h_n(Y) \ar[r] \ar[d]_{T} & \tilde h_n(X) \ar[r] \ar[d]_{T} & \tilde h_n(X/Y) \ar[r] \ar[d]_{T} & \tilde h_{n-1}(Y) \ar[d]_{T} \\ \tilde h'_{n+1}(X/Y) \ar[r] & \tilde h'_n(Y) \ar[r] & \tilde h'_n(X) \ar[r] & \tilde h'_n(X/Y) \ar[r] & \tilde h'_{n-1}(Y) } $$
帰納法の仮定により $Y$ での $T$ は同型、1 により球面 $X/Y$ での $T$ は同型なので、五項補題により中央の $T$ も同型である。$\square$

成分ごとの写像は直和を直和へ写すので、商の上の準同型が定まり、関手性・ホモトピー公理・$\partial$ の自然性は成分ごとの性質から従う。
完全性：空でない部分複体 $A\subset X$ について、群 $P(A),P(X),P(X/A)$ を $P(A)\to P(X)\to P(X/A)\xrightarrow{\partial}P(A)\to P(X)\to\cdots$ と周期的に並べた鎖複体 $E_P$ を考える（$\partial$ は $\prod_i\tilde H_i(X/A)\to\prod_i\tilde H_{i-1}(A)=P(A)$）。各位置での完全性は成分ごとに見ればよく、成分ごとには被約特異ホモロジーの対の長完全列（es-prop-singular）の完全性そのものなので、$E_P$ は完全である。同じ理由で、直和で作った $E_S$ も完全である。$0\to E_S\to E_P\to E_P/E_S\to0$ は鎖複体の短完全列で、蛇の補題によるホモロジーの長完全列において $E_S,E_P$ のホモロジーが $0$ なので、$E_P/E_S$ のホモロジーも $0$ である。$E_P/E_S$ は $\tilde h$ の完全性公理の列そのものである。
有限次元の場合：$X$ が有限次元なら $i>\dim X$ で $\tilde H_i(X)=0$ であり（胞体ホモロジーの記事の補題「骨格の対のホモロジー」の 2）、$i< 0$ でも $0$ なので、$P(X)=S(X)$ で $\tilde h_n(X)=0$ である。
楔公理の不成立：特異ホモロジーの楔公理により $\tilde H_i(W)\cong\bigoplus_{j\ge1}\tilde H_i(S^j)\cong\mathbb{Z}$（$i\ge1$）なので、$\tilde h_n(W)\cong\prod_{i\ge1}\mathbb{Z}/\bigoplus_{i\ge1}\mathbb{Z}$ であり、$(1,1,1,\dots)$ の類は $0$ でない。一方、各 $S^j$ は有限次元なので $\bigoplus_j\tilde h_n(S^j)=0$ であり、$\bigoplus_j\tilde h_n(S^j)\to\tilde h_n(W)$ は同型でない。$\square$