連接解析層

1：thm-cas-oka と 連接層 の補題「有限型の像と部分層」の 3 により $\mathcal{O}_X^{\oplus p}$ は連接であり、同じ補題の 2 により連接層の有限型の部分層は連接である。2：連接層 の定理「連接層の 2 out of 3」と系「連接層の射の核・像・余核」。3：連接層 の命題「連接性と有限表示」により、構造層が連接な環付き空間では連接と局所有限表示は同値である。局所有限表示 $\mathcal{O}_U^{\oplus q}\to\mathcal{O}_U^{\oplus p}\to\mathcal{F}|_U\to0$ の最初の射は、標準基底の像の成分を並べた正則関数の行列 $\varphi$ で与えられる。4：連接層 の命題「テンソル積と内部 Hom」。$\square$

$\ker u$ と $\operatorname{coker}u$ は prop-cas-basic の 2 により連接、とくに有限型である。有限型の層の台は閉集合である（連接層 の命題「台と茎」の 1）。$u_x$ が単射なら $(\ker u)_x=0$ なので、$x$ は閉集合 $\operatorname{Supp}\ker u$ の外にあり、その補集合が求める $V$ を与える。全射の場合は $\operatorname{coker}u$ について同じ議論を行い、同型の場合は両方の近傍の交わりをとる。$\square$

1：問題は局所的なので、prop-cas-basic の 3 により、開集合 $U$ 上で $\mathcal{F}|_U=\operatorname{coker}(\varphi\colon\mathcal{O}_U^{\oplus q}\to\mathcal{O}_U^{\oplus p})$、$\varphi=(\varphi_{ij})$ は正則関数を成分とする $p\times q$ 行列、としてよい。点 $y\in U$ で、完全列 $\mathcal{O}_{X,y}^{\oplus q}\to\mathcal{O}_{X,y}^{\oplus p}\to\mathcal{F}_y\to0$ に右完全な関手 $-\otimes_{\mathcal{O}_{X,y}}\mathbb{C}$ を施すと、完全列
$$ \mathbb{C}^q\xrightarrow{\ \varphi(y)\ }\mathbb{C}^p\longrightarrow\mathcal{F}(y)\longrightarrow0 $$
を得る。ここで $\varphi(y)=(\varphi_{ij}(y))$ は値の行列である。よって
$$ d_{\mathcal{F}}(y)=p-\operatorname{rank}\varphi(y) $$
である。$d_{\mathcal{F}}(y)\ge k$ は $\operatorname{rank}\varphi(y)\le p-k$ と同値であり、これは $\varphi$ の $(p-k+1)$ 次の小行列式（$U$ 上の正則関数）がすべて $y$ で $0$ になることと同値である。$p-k+1>\min(p,q)$ なら条件は $U$ 全体でみたされ（$U$ は空の関数系の零点集合）、$k\le0$ でも同様である。$k>p$ なら集合は空で、定数関数 $1$ の零点集合である。いずれの場合も $U$ との交わりは有限個の正則関数の共通零点であり、解析的集合である。$\{d_{\mathcal{F}}\ge k\}$ が閉集合であることは、$d_{\mathcal{F}}$ の上半連続性にほかならない。
2：$\mathcal{F}_x$ は局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ 上の有限生成加群なので、Nakayamaの補題により $\mathcal{F}_x=0$ と $\mathcal{F}(x)=\mathcal{F}_x/\mathfrak{m}_x\mathcal{F}_x=0$ は同値である。よって $\operatorname{Supp}\mathcal{F}=\{d_{\mathcal{F}}\ge1\}$ であり、1 により解析的集合である。$\square$

1 ならば $V$ 上で $d_{\mathcal{F}}=e$ である。逆を示す。prf-cas-support-rank と同じく、$x$ の開近傍 $V$ 上で $\mathcal{F}|_V=\operatorname{coker}\varphi$（$\varphi$ は正則関数を成分とする $p\times q$ 行列）とし、$V$ 上で $d_{\mathcal{F}}$ が定数、すなわち $\operatorname{rank}\varphi(y)=r$（$y\in V$）であるとする。
$r=0$ なら、$\varphi$ の成分は $V$ の各点で値 $0$ をとる正則関数なので $0$ であり、$\mathcal{F}|_V\cong\mathcal{O}_V^{\oplus p}$ である。$r\ge1$ とする。行と列の順序を入れ替えて（$\mathcal{O}^{\oplus p}$、$\mathcal{O}^{\oplus q}$ の自己同型で余核は変わらない）、左上の $r\times r$ 小行列 $B$ について $\det B(x)\neq0$ としてよい。$V$ を縮めて $\det B$ が $V$ 上で $0$ にならないようにすると、$B^{-1}$ は正則関数を成分とする。$\varphi=\begin{pmatrix}B&C\\D&E\end{pmatrix}$ と区切り、
$$ L:=\begin{pmatrix}I_r&0\\-DB^{-1}&I_{p-r}\end{pmatrix},\qquad R:=\begin{pmatrix}B^{-1}&-B^{-1}C\\0&I_{q-r}\end{pmatrix} $$
とおくと、$L,R$ は $V$ 上で可逆な正則関数の行列であり、
$$ L\varphi R=\begin{pmatrix}I_r&0\\0&\psi\end{pmatrix},\qquad\psi:=E-DB^{-1}C $$
である。$L$ は $\mathcal{O}_V^{\oplus p}$ の自己同型として $\operatorname{im}\varphi=\operatorname{im}(\varphi R)$ を $\operatorname{im}(L\varphi R)$ に移すので、$\operatorname{coker}\varphi\cong\operatorname{coker}(L\varphi R)$ である。各点 $y\in V$ で $\operatorname{rank}\varphi(y)=r+\operatorname{rank}\psi(y)$ なので $\psi(y)=0$ である。$\psi$ の成分は $V$ の各点で値 $0$ をとる正則関数なので $\psi=0$ であり、$\mathcal{F}|_V\cong\operatorname{coker}\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}\cong\mathcal{O}_V^{\oplus(p-r)}$ である。$\square$