円錐曲線

有理点 $[x:y:z]$ があったとする。分母を払い、最大公約数で割って、$x,y,z$ は最大公約数が $1$ の整数としてよい。平方数を $3$ で割った余りは $0$ か $1$ なので、$x^2+y^2\equiv0\pmod 3$ となるのは $x\equiv y\equiv0\pmod3$ のときに限る。すると $9\mid x^2+y^2=3z^2$ なので $3\mid z^2$、したがって $3\mid z$ となり、最大公約数が $1$ であることに反する。$\square$

1. 2次形式 の記事の定理「平方完成による対角化」により、正則行列 $M$ で $M^{\top}AM$ が対角行列 $\operatorname{diag}(a,b,c)$ になるものがある。これは $Q(MX)=ax^2+by^2+cz^2$ を意味する。$M$ と $c\ne0$ は正則なので $\operatorname{rank}(cM^{\top}AM)=\operatorname{rank}A$ である。
2. 階数 $3$ は行列の正則性そのものである。階数 $2$ のときは 1 により（変数の名前を替えて）$Q=ax^2+by^2$、$ab\ne0$ としてよい。$\overline K$ で $\beta^2=-b/a$ となる $\beta$ をとると $Q=a(x-\beta y)(x+\beta y)$ であり、$\beta\ne0$ と標数が $2$ でないことから $\beta\ne-\beta$ なので、2 直線 $x=\beta y$ と $x=-\beta y$ は異なる。階数 $1$ なら $Q=ax^2$ で、直線 $x=0$ を 2 重に数えたものである。
3. 1 により $Q=ax^2+by^2+cz^2$ で、非退化なので $abc\ne0$ である。代数閉体では $a,b,c$ の平方根 $\alpha,\beta,\gamma$ があり、$M=\operatorname{diag}(\alpha^{-1},\beta^{-1},\gamma^{-1})$ とおけば $Q(MX)=x^2+y^2+z^2$ となる。
4. 3 と同じく $|a|,|b|,|c|$ の平方根で割れば、$Q$ は $\pm x^2\pm y^2\pm z^2$ と射影同値である。$Q$ を $-Q$ に替えてよいので、正の符号の個数が $3$ か $2$ のものだけ考えればよく、変数の順を入れ替えれば $x^2+y^2+z^2$ か $x^2+y^2-z^2$ になる。前者は $x=y=z=0$ でしか $0$ にならないので実点をもたず、後者は $[1:0:1]$ を含む。実点の有無は射影同値で変わらないので、2 つは射影同値でない。$\square$

段 1（交点の計算）。$[P]$ を通る直線は、$[D]\ne[P]$ となる点を 1 つとれば $\{[sP+tD]\mid[s:t]\in\mathbb{P}^1(K)\}$ と書け、$[s:t]$ と直線上の点が 1 対 1 に対応する。$Q(P)=0$ なので
$$ Q(sP+tD)=t\bigl(2s\,F(P,D)+t\,Q(D)\bigr) $$
である。$F(P,D)=Q(D)=0$ とすると、$F$ は $P$ と $D$ の張る 2 次元部分空間 $U$ の上で恒等的に $0$ になり $U\subset U^{\perp}$ となるが、$F$ は非退化なので 双線形形式 の記事の定理「直交補空間と直和分解」により $\dim U^{\perp}=3-2=1$ であり、矛盾する。よって $\bigl(F(P,D),Q(D)\bigr)\ne(0,0)$ で、上の 2 次式の根は $t=0$（点 $[P]$）と $[s:t]=[-Q(D):2F(P,D)]$ の 2 つ（重複を込めて）であり、後者は点
$$ R:=-Q(D)\,P+2F(P,D)\,D $$
を表す。$R$ は $K$ の元で書けるので有理点である。$[R]=[P]$ となるのは $F(P,D)=0$、すなわち $D$ が $[P]$ の極線の上にあり、直線が接線 $T_P$ であるときに限る。これで 1 が示せた。
段 2（全単射）。$[R]\in C(K)$、$[R]\ne[P]$ に対し直線 $PR$ は $T_P$ と異なり（$T_P\cap C=\{[P]\}$ だから）、段 1 によりこの直線に対応する点は $[R]$ である。$[P]$ には $T_P$ を対応させる。この対応が 2 の写像の逆写像になるので、2 の写像は全単射である。$[P]$ を通る直線の全体は、$[P]$ を通らない 1 本の直線 $m$ との交点によって $m$ の点の全体、すなわち $\mathbb{P}^1(K)$ と 1 対 1 に対応する。
段 3（標準形）。$T_P$ と異なる $[P]$ を通る直線（$\mathbb{P}^1(K)$ は 3 点以上を含むのでとれる）に段 1 を使い、$[P]$ と異なる有理点 $[P']$ をとる。$[P']\notin T_P$ なので $c:=F(P,P')\ne0$ である。2 つの 1 次方程式 $F(P,U)=F(P',U)=0$ の $0$ でない解 $U\in K^3$ をとる。$U=\alpha P+\beta P'$ と書けたとすると $0=F(P,U)=\beta c$、$0=F(P',U)=\alpha c$ となって $U=0$ となるので、$P,U,P'$ は $K^3$ の基底である。$d:=Q(U)$ が $0$ なら $U$ は $P,U,P'$ のすべてと直交し、$F$ の核に入るので、$d\ne0$ である。この基底では $F$ の行列は
$$ \begin{pmatrix}0&0&c\\0&d&0\\c&0&0\end{pmatrix},\qquad Q(xP+yU+zP')=dy^2+2cxz $$
であり、$P'$ を $-\frac{d}{2c}P'$ に替えると $Q(xP+yU+zP')=d(y^2-xz)$ となる。基底の取り替えは射影変換なので、$C$ は $y^2=xz$ と射影同値である。
最後に、$y^2=xz$ の点 $[x:y:z]$ で $x\ne0$ なら $[x:y:z]=[x^2:xy:xz]=[x^2:xy:y^2]$ で $s=x$、$t=y$ とおけばよく、$x=0$ なら $y=0$ で、点は $[0:0:1]$（$s=0$、$t=1$）である。逆に $[s^2:st:t^2]$ から、$s\ne0$ なら $[s:t]=[s^2:st]$、$s=0$ なら $[0:1]$ として $[s:t]$ が復元できる。$\square$

$f(v)=v^{\top}A_0v+2\beta^{\top}v+g$（$v=(x,y)^{\top}$、$A_0$ は 2 次の対称行列、$\beta\in\mathbb{R}^2$）と書くと、$Q$ の行列は $A=\begin{pmatrix}A_0&\beta\\\beta^{\top}&g\end{pmatrix}$ である。
段 1（不変性）。アフィン変換 $v\mapsto Mv+w$ は射影変換 $\begin{pmatrix}M&w\\0&1\end{pmatrix}$ の $\mathbb{R}^2$ への制限であり（アフィン変換 の記事の命題「アフィン群は半直積」の後の行列表示）、この射影変換は $L_\infty$ を $L_\infty$ に移す。よって $k$ はアフィン変換で変わらない。$C(\mathbb{R})\cap L_\infty$ は $Q(x,y,0)=v^{\top}A_0v=0$ の解であり、$x^2+y^2=z^2$、$yz=x^2$、$x^2-y^2=z^2$ ではそれぞれ $x^2+y^2=0$（解なし）、$x^2=0$（$[0:1:0]$ だけ）、$x^2=y^2$（$[1:1:0]$ と $[1:-1:0]$）なので、3 つの標準形の $k$ は $0,1,2$ であり、互いに移り合わない。
段 2（$A_0\ne0$）。$A_0=0$ なら $Q=z(2\beta^{\top}v+gz)$ は 2 つの 1 次式の積で、行列の階数は $2$ 以下になり非退化性に反する。
段 3（$\det A_0\ne0$ の場合）。$v=u-A_0^{-1}\beta$ と平行移動すると、$f=u^{\top}A_0u+g'$（$g':=g-\beta^{\top}A_0^{-1}\beta$）となる。この平行移動の行列 $N=\begin{pmatrix}I&-A_0^{-1}\beta\\0&1\end{pmatrix}$ について $N^{\top}AN=\operatorname{diag}(A_0,g')$ なので、$\det A=g'\det A_0$ であり、$g'\ne0$ である。$A_0$ を 2次形式 の記事の定理「平方完成による対角化」で対角化すると、線形変換の後で $f=\lambda_1u_1^2+\lambda_2u_2^2+g'$（$\lambda_1\lambda_2\ne0$）となる。$-g'$ で割り、$|\lambda_i/g'|$ の平方根で座標を拡大すると、$f=0$ は $\pm u_1^2\pm u_2^2=1$ になる。実点があるので符号は $(+,+)$、$(+,-)$、$(-,+)$ のどれかで、最後の 2 つは座標の入れ替えで移り合う。前者が楕円、後者が双曲線である。
段 4（$\det A_0=0$ の場合）。段 2 により $A_0$ の階数は $1$ で、線形変換により $v^{\top}A_0v=\lambda x^2$（$\lambda\ne0$）としてよい。このとき $f=\lambda x^2+2\beta_1x+2\beta_2y+g$ で、$\det A=-\lambda\beta_2^2$ なので非退化性から $\beta_2\ne0$ である。$x':=x+\beta_1/\lambda$、$y':=-\bigl(2\beta_2y+g-\beta_1^2/\lambda\bigr)/\lambda$ とおくと、$(x,y)\mapsto(x',y')$ は $\beta_2\ne0$ によりアフィン変換であり、$f=\lambda(x'^2-y')$ となる。よって $f=0$ は放物線 $y'=x'^2$ に移る。
段 1 により、段 3 の楕円・双曲線と段 4 の放物線の場合の $k$ はそれぞれ $0,2,1$ であり、定理の主張が従う。$\square$

段 1（座標の取り替え）。5 点を $[v_1],\dots,[v_5]$ とする。$v_1,v_2,v_3$ は同じ直線上にないので $K^3$ の基底であり、$v_4=\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3$ と書ける。$\alpha=0$ なら $[v_4]$ は $[v_2]$ と $[v_3]$ を通る直線上にあるので、仮定から $\alpha\beta\gamma\ne0$ である。基底 $\alpha v_1,\beta v_2,\gamma v_3$ を座標に使う射影変換で、4 点は $[1:0:0]$、$[0:1:0]$、$[0:0:1]$、$[1:1:1]$ に移る。$[v_5]$ の移った先を $[p:q:r]$ とする。$[p:q:r]$ は直線 $x=0$、$y=0$、$z=0$（最初の 3 点のうち 2 点を通る直線）の上になく、直線 $y=z$、$x=z$、$x=y$（$[1:1:1]$ と最初の 3 点の 1 つを通る直線）の上にもないので、$p,q,r$ は $0$ でなく、どの 2 つも等しくない。
段 2（一意性と存在）。$Q=\sum_{i\le j}a_{ij}x_ix_j$ が $[1:0:0]$、$[0:1:0]$、$[0:0:1]$ で $0$ になることは $x^2,y^2,z^2$ の係数が $0$ であることと同値なので、$Q=\alpha yz+\beta xz+\gamma xy$ である。$[1:1:1]$ と $[p:q:r]$ を通る条件は
$$ \alpha+\beta+\gamma=0,\qquad qr\,\alpha+pr\,\beta+pq\,\gamma=0 $$
である。係数のベクトル $(1,1,1)$ と $(qr,pr,pq)$ が比例するのは $qr=pr=pq$、すなわち $p=q=r$ のときに限るので、2 つの方程式は独立であり、解 $(\alpha,\beta,\gamma)$ の全体は 1 次元である。よって 5 点を通る円錐曲線はただ 1 つ存在する。
段 3（非退化）。この円錐曲線が退化していれば、thm-con-classification の 2 により $\overline K$ 上で 2 本以下の直線の和であり、5 点のうち 3 点が同じ直線上にあることになって仮定に反する。$\square$