Stein多様体

段 1（計量と切り落とし）．$\kappa\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を、$(-\infty,\frac13]$ で $1$、$[\frac23,\infty)$ で $0$ の $C^\infty$ 級関数とし、$\eta_\nu:=\kappa(\sigma-\nu)$（$\nu=1,2,\dots$）とおく。$\eta_\nu$ の台は、相対コンパクトな $\{\sigma<\nu+1\}$ に含まれる閉集合 $\{\sigma\le\nu+\frac23\}$ に含まれるのでコンパクトであり、$\eta_\nu$ は開集合 $\{\sigma<\nu+\frac13\}$ の上で $1$ である。コンパクト集合 $L$ の上で $\sigma$ は最大値をとるので、$\nu$ が大きければ $\eta_\nu$ は $L$ の近傍で $1$ である。Hermite 計量 $g_0$ を 1 つとり、$c_\kappa:=\sup|\kappa'|$、$M:=1+c_\kappa(1+|\bar\partial\sigma|_{g_0}^2)$ とおく。$M$ は $C^\infty$ 級で、$a\le1+a^2$ から $|\bar\partial\eta_\nu|_{g_0}=|\kappa'(\sigma-\nu)|\,|\bar\partial\sigma|_{g_0}\le M$ である。$g:=M^2g_0$ とすると 1 次形式のノルムは $1/M$ 倍になるので、すべての $\nu$ について $|\bar\partial\eta_\nu|_g\le1$ である。以下この $g$ を使う。$\sigma$ は強多重劣調和なので、$m:=\lambda_\sigma$ は正の連続関数である。

段 2（局所枠での表示）．$U$ を、正則座標をもち、その上に $E$ の正則な枠がある開集合とする。$dz_1,\dots,dz_n$ に Gram–Schmidt の直交化を各点で施して、$g$ について各点で正規直交な $C^\infty$ 級の $(1,0)$ 形式 $\theta_1,\dots,\theta_n$ を作り、双対な $(1,0)$ 型のベクトル場を $e_1,\dots,e_n$ とする（$\theta_j(e_k)=\delta_{jk}$）。同じく $E$ の正則な枠から、$H$ について正規直交な $C^\infty$ 級の枠 $s_1,\dots,s_N$ を作る。$E$ に値をとる $(0,r)$ 形式を $f=\sum_\alpha\sum'_Jf_{\alpha J}\,s_\alpha\otimes\bar\theta_J$（$f_{\alpha J}$ は $J$ について反対称に拡張する）と書くと、$|f|^2=\sum_\alpha\sum'_J|f_{\alpha J}|^2$ である。関数 $w$ について $dw=\sum_j(e_jw)\theta_j+\sum_j(\bar e_jw)\bar\theta_j$ であり、$D_jw:=\bar e_jw$、$\delta_jw:=e_jw-(e_j\varphi)w$ とおく。$s_\alpha$ は正則な枠の $C^\infty$ 級関数を係数とする 1 次結合なので $\bar\partial s_\alpha=\sum_\beta s_\beta\otimes\omega_{\beta\alpha}$（$\omega_{\beta\alpha}$ は滑らかな $(0,1)$ 形式）と書ける。これと $\bar\partial\bar\theta_J$ から出る項をまとめると$$\bar\partial f=\sum_\alpha\sum{}'_J\sum_{j}(D_jf_{\alpha J})\,s_\alpha\otimes\bar\theta_j\wedge\bar\theta_J+R_1f$$である。ここで $R_1$ は $U$ 上の $C^\infty$ 級の係数をもつ 0 階の作用素で、$\varphi$ によらない。

ベクトル場 $X$ の発散 $\operatorname{div}X$ を $\mathcal{L}_X(dV)=(\operatorname{div}X)\,dV$（$\mathcal{L}_X$ は Lie 微分）で定めると、台がコンパクトな $C^1$ 級関数 $F$ について $\int X(F)\,dV=-\int(\operatorname{div}X)F\,dV$ である（Stokesの定理）。$c_j:=\operatorname{div}e_j$、$d_j:=\operatorname{div}\bar e_j$ とおく。台が $U$ のコンパクト集合に含まれる滑らかな関数 $a,b$ について、$\varphi$ が実数値であることから $e_j(a\bar be^{-\varphi})=(\delta_ja)\bar be^{-\varphi}+a\overline{D_jb}e^{-\varphi}$、$\bar e_j(a\bar be^{-\varphi})=(D_ja)\bar be^{-\varphi}+a\overline{\delta_jb}e^{-\varphi}$ なので、$$\int(\delta_ja)\bar b\,e^{-\varphi}dV=-\int a\overline{D_jb}\,e^{-\varphi}dV-\int c_j\,a\bar b\,e^{-\varphi}dV,\qquad\int(D_ja)\bar b\,e^{-\varphi}dV=-\int a\overline{\delta_jb}\,e^{-\varphi}dV-\int d_j\,a\bar b\,e^{-\varphi}dV$$である。台がコンパクトな滑らかな形式の内積 $(\bar\partial u,f)_\varphi$ を係数で書いて 2 つ目の式を使うと、$\bar\partial$ の形式的な随伴 $\vartheta_\varphi$（$(\bar\partial u,f)_\varphi=(u,\vartheta_\varphi f)_\varphi$ を満たすもの）は$$(\vartheta_\varphi f)_{\alpha K}=-\sum_j\delta_jf_{\alpha,jK}+(R_2f)_{\alpha K}$$と書ける。$R_2$ も $\varphi$ によらない 0 階の作用素である（$-\sum_j\bar d_jf_{\alpha,jK}$ と、$R_1$ の各点の随伴からなる）。

交換子 $[\bar e_k,e_j]$ を枠で $\sum_m(\gamma^m_{kj}e_m+\tau^m_{kj}\bar e_m)$ と書き、$e_j=\sum_le^l_j\,\partial/\partial z_l$ として、$\varphi$ の Levi 形式の枠での係数を $\varphi_{j\bar k}:=\sum_{l,l'}\frac{\partial^2\varphi}{\partial z_l\partial\bar z_{l'}}\,e^l_j\,\overline{e^{l'}_k}$ とする。$|\sum_jt_je_j|_g=|t|$ なので $\sum_{j,k}\varphi_{j\bar k}t_j\bar t_k=\mathcal{L}_\varphi(z;\sum_jt_je_j)\ge\lambda_\varphi|t|^2$ である。$\bar e_k(e_j\varphi)=\sum_{l,l'}\overline{e^{l'}_k}\,\frac{\partial}{\partial\bar z_{l'}}\bigl(e^l_j\frac{\partial\varphi}{\partial z_l}\bigr)=\varphi_{j\bar k}+\sum_l(\bar e_ke^l_j)\frac{\partial\varphi}{\partial z_l}$ で、最後の和は $[\bar e_k,e_j]$ の $(1,0)$ 部分 $\sum_l(\bar e_ke^l_j)\,\partial/\partial z_l=\sum_m\gamma^m_{kj}e_m$ を $\varphi$ に施したものである。よって関数 $w$ について$$[D_k,\delta_j]w=[\bar e_k,e_j]w-\bar e_k(e_j\varphi)\,w=\sum_m\gamma^m_{kj}\,\delta_mw+\sum_m\tau^m_{kj}\,D_mw-\varphi_{j\bar k}\,w$$である。$\varphi$ の 1 階微分は $\delta_m$ の中に入り、ほかには $\varphi$ によらない係数だけが残る。

段 3（局所的な評価）．$L\subset U$ をコンパクト集合とする。$\varphi$ によらない定数 $C_L$ があって、$\lambda_\varphi\ge0$ を満たすすべての実数値 $C^\infty$ 級関数 $\varphi$ と、台が $L$ に含まれるすべての滑らかな $(0,q+1)$ 形式 $f$ について$$\int\lambda_\varphi|f|^2e^{-\varphi}dV\le2\bigl(\|\vartheta_\varphi f\|_\varphi^2+\|\bar\partial f\|_\varphi^2\bigr)+C_L\|f\|_\varphi^2$$となることを示す。以下 $C$ は $L$ と枠だけによる定数を表す。$(\vartheta^0_\varphi f)_{\alpha K}:=-\sum_j\delta_jf_{\alpha,jK}$、$\bar\partial^0f:=\sum_\alpha\sum'_J\sum_j(D_jf_{\alpha J})\,s_\alpha\otimes\bar\theta_j\wedge\bar\theta_J$、$|Df|^2:=\sum_\alpha\sum'_J\sum_j|D_jf_{\alpha J}|^2$ とおく。段 2 の表示は $\vartheta_\varphi f=\vartheta^0_\varphi f+R_2f$、$\bar\partial f=\bar\partial^0f+R_1f$ ということなので $\|\vartheta^0_\varphi f\|_\varphi^2\le2\|\vartheta_\varphi f\|_\varphi^2+C\|f\|_\varphi^2$、$\|\bar\partial^0f\|_\varphi^2\le2\|\bar\partial f\|_\varphi^2+C\|f\|_\varphi^2$ である。枠は正規直交なので各点の計算は ∂̄方程式のL²評価 の補題「Morrey–Kohn–Hörmander の基本等式」の証明の 2 つ目の等式と同じで、$|\bar\partial^0f|^2=|Df|^2-\sum_\alpha\sum'_K\sum_{j,k}D_jf_{\alpha,kK}\,\overline{D_kf_{\alpha,jK}}$ である。

$a:=f_{\alpha,jK}$、$b:=f_{\alpha,kK}$ とし、段 2 の 1 つ目の部分積分、交換子の式 $D_j\delta_kb=\delta_kD_jb+\sum_m\gamma^m_{jk}\delta_mb+\sum_m\tau^m_{jk}D_mb-\varphi_{k\bar j}b$、2 つ目の部分積分を順に使うと、$\overline{\varphi_{k\bar j}}=\varphi_{j\bar k}$ から（積分はすべて $e^{-\varphi}dV$ についてとる）$$\int\delta_ja\,\overline{\delta_kb}=-\int a\,\overline{D_j\delta_kb}-\int c_ja\overline{\delta_kb}=\int D_ka\,\overline{D_jb}+\int\varphi_{j\bar k}\,a\bar b+E_{jk},$$$$E_{jk}:=\int d_ka\overline{D_jb}-\sum_m\int\overline{\gamma^m_{jk}}\,a\,\overline{\delta_mb}-\sum_m\int\overline{\tau^m_{jk}}\,a\,\overline{D_mb}-\int c_ja\overline{\delta_kb}$$である。$E_{jk}$ のうち $\overline{\delta_mb}$ を含む項は、2 つ目の部分積分により、滑らかな関数 $h$ について $-\int ha\overline{\delta_mb}=\int hD_ma\,\bar b+\int\bigl(D_mh+d_mh\bigr)a\bar b$ と書き直せる。$\varphi$ の微分は残らないので、$|E_{jk}|\le C\int(|a||Db|+|Da||b|+|a||b|)e^{-\varphi}dV$ である。$\alpha,K,j,k$ について和をとり、$|\bar\partial^0f|^2$ の式を積分して足すと、2 つの交差項は $j,k$ を入れ替えると打ち消し合うので$$\|\vartheta^0_\varphi f\|_\varphi^2+\|\bar\partial^0f\|_\varphi^2=\int\sum_\alpha\sum{}'_K\sum_{j,k}\varphi_{j\bar k}f_{\alpha,jK}\overline{f_{\alpha,kK}}\,e^{-\varphi}dV+\int|Df|^2e^{-\varphi}dV+E,\qquad|E|\le C\int\bigl(|f||Df|+|f|^2\bigr)e^{-\varphi}dV$$となる。Levi 形式の項は $\lambda_\varphi\sum_\alpha\sum'_K\sum_j|f_{\alpha,jK}|^2=(q+1)\lambda_\varphi|f|^2\ge\lambda_\varphi|f|^2$ 以上であり、$C|f||Df|\le\frac12|Df|^2+\frac{C^2}2|f|^2$ である。これらを合わせて主張を得る。

段 4（大域的な評価）．$\Omega$ は無限遠で可算なので、段 2 の $U$ の形の開集合からなる局所有限な被覆 $(U_\nu)$ と、台がコンパクトで $U_\nu$ に含まれる $C^\infty$ 級関数 $\rho_\nu\ge0$ で $\sum_\nu\rho_\nu=1$ となるものがある（1の分割）。$\chi_\nu:=\rho_\nu/(\sum_\mu\rho_\mu^2)^{1/2}$ とおくと、$\chi_\nu$ は $C^\infty$ 級で、台は $L_\nu:=\operatorname{supp}\rho_\nu$、$\sum_\nu\chi_\nu^2=1$ である。実数値の $C^\infty$ 級関数 $\chi$ について、$\bar\partial(\chi f)=\chi\bar\partial f+\bar\partial\chi\wedge f$、$\vartheta_\varphi(\chi f)=\chi\vartheta_\varphi f-(\bar\partial\chi\wedge)^*f$ である（後者は $(\bar\partial u,\chi f)_\varphi=(\bar\partial(\chi u)-\bar\partial\chi\wedge u,f)_\varphi$ による。$(\bar\partial\chi\wedge)^*$ は $\bar\partial\chi\wedge$ の各点の随伴である）。各点で $\bar\partial\chi=|\bar\partial\chi|_g\bar\theta_1$ となる正規直交な余枠を選ぶと、$|\bar\partial\chi\wedge f|$ と $|(\bar\partial\chi\wedge)^*f|$ はともに $|\bar\partial\chi|_g|f|$ 以下である。よって台がコンパクトな滑らかな形式 $f$ について、$Q_\varphi(f):=\|\vartheta_\varphi f\|_\varphi^2+\|\bar\partial f\|_\varphi^2$ とおくと$$\sum_\nu Q_\varphi(\chi_\nu f)\le2Q_\varphi(f)+4\int\sum_\nu|\bar\partial\chi_\nu|_g^2|f|^2e^{-\varphi}dV$$である。段 3 を $\chi_\nu f$ に使い（定数を $C_\nu:=C_{L_\nu}$ とする）、$\nu$ について和をとると、$\lambda_\varphi\ge0$ のとき$$\int(\lambda_\varphi-C_0)|f|^2e^{-\varphi}dV\le4Q_\varphi(f),\qquad C_0:=\sum_\nu\bigl(C_\nu\chi_\nu^2+8|\bar\partial\chi_\nu|_g^2\bigr)$$となる。和は局所有限なので $C_0$ は連続で、$\varphi$ によらない。$A:=C_0+4$ とおく。

段 5（稠密性）．$\varphi$ を実数値の $C^\infty$ 級関数とし、超関数の意味の $\bar\partial$ を、$\mathbb{C}^n$ の場合と同じく最大の定義域をもつ閉作用素 $T\colon L^2_{(0,q)}(\Omega,E,\varphi)\to L^2_{(0,q+1)}(\Omega,E,\varphi)$、$S\colon L^2_{(0,q+1)}(\Omega,E,\varphi)\to L^2_{(0,q+2)}(\Omega,E,\varphi)$ とみなす（$q+1=n$ なら $S=0$）。台がコンパクトな滑らかな形式の全体が、グラフノルム $\|f\|_\varphi+\|T^*f\|_\varphi+\|Sf\|_\varphi$ について $D(T^*)\cap D(S)$ の中で稠密であることを示す。(a) 台がコンパクトな滑らかな $f$ は $D(T^*)$ に属し、$T^*f=\vartheta_\varphi f$ である（$u\in D(T)$ について $(Tu,f)_\varphi=(u,\vartheta_\varphi f)_\varphi$ は、1 の分割で $f$ を座標近傍に台をもつものの和に分ければ、超関数の微分の定義そのものである）。逆に $f\in D(T^*)$ なら、台がコンパクトな滑らかな $u$ を試して、超関数として $T^*f=\vartheta_\varphi f$ である。(b) $f\in D(T^*)\cap D(S)$ とする。$u\in D(T)$ について $\eta_\nu u\in D(T)$、$T(\eta_\nu u)=\eta_\nu Tu+\bar\partial\eta_\nu\wedge u$ なので、$(Tu,\eta_\nu f)_\varphi=(u,\eta_\nu T^*f-(\bar\partial\eta_\nu\wedge)^*f)_\varphi$ であり、$\eta_\nu f\in D(T^*)$、$T^*(\eta_\nu f)=\eta_\nu T^*f-(\bar\partial\eta_\nu\wedge)^*f$ である。$S(\eta_\nu f)=\eta_\nu Sf+\bar\partial\eta_\nu\wedge f$ でもある。誤差の項の各点のノルムは $|\bar\partial\eta_\nu|_g|f|\le|f|$ 以下で、各点は $\nu$ が大きければ $d\eta_\nu$ の台の外にあるので、優収束定理により誤差は $0$ に近づく。$\eta_\nu f\to f$、$\eta_\nu T^*f\to T^*f$、$\eta_\nu Sf\to Sf$ も優収束定理による。よって台がコンパクトな $f$ を近似すればよい。(c) 同じ計算は台がコンパクトな任意の $C^\infty$ 級関数による切り落としでも成り立つ（その微分は有界である）。そこで有限個の座標近傍への 1 の分割で、$f$ の台はコンパクト集合 $L\subset U$ に含まれるとしてよい。ここで $U$ は正則座標と $E$ の正則な枠 $s'_1,\dots,s'_N$ をもつ開集合である。$f$ を $s'_\alpha\otimes d\bar z_J$ についての係数のベクトル $F$ で表す。$L$ のコンパクトな近傍 $L'\subset U$ の上では計量・体積・重みは上下から押さえられるので、台が $L'$ に含まれる形式の $L^2(\varphi)$ ノルムは $F$ の通常の $L^2$ ノルムと同値である。$\bar\partial$ は $F$ に定数係数で作用し、$\vartheta_\varphi$ は実座標 $x_i$ と $C^\infty$ 級の行列 $a_i,b$ によって $\sum_ia_i\,\partial F/\partial x_i+bF$ と書ける。軟化子との畳み込み $F_\varepsilon:=F*\chi_\varepsilon$ の表す形式を $f_\varepsilon$ とすると、$\varepsilon$ が小さければ $f_\varepsilon$ は台が $L'$ に含まれる滑らかな形式で、$F_\varepsilon\to F$、$\bar\partial F_\varepsilon=(\bar\partial F)*\chi_\varepsilon\to\bar\partial F$ である。下の Friedrichs の補題により $\vartheta_\varphi f_\varepsilon-(\vartheta_\varphi f)*\chi_\varepsilon\to0$ であり、$(\vartheta_\varphi f)*\chi_\varepsilon\to\vartheta_\varphi f=T^*f$ だから、(a) と合わせて $T^*f_\varepsilon\to T^*f$ である（収束はすべて $L^2$ である）。

Friedrichs の補題．$a$ を $\mathbb{R}^d$ 上の台がコンパクトな $C^1$ 級関数、$v\in L^2(\mathbb{R}^d)$ とすると、$K_\varepsilon v:=a\,\partial_i(v*\chi_\varepsilon)-(a\,\partial_iv)*\chi_\varepsilon\to0$（$L^2$）である。実際、超関数の微分の定義から $(a\partial_iv)*\chi_\varepsilon(x)=-\int v(y)\,\partial_{y_i}\bigl(a(y)\chi_\varepsilon(x-y)\bigr)dy$ なので$$K_\varepsilon v(x)=\int\bigl(a(x)-a(y)\bigr)(\partial_i\chi_\varepsilon)(x-y)\,v(y)\,dy+\bigl((\partial_ia)v\bigr)*\chi_\varepsilon(x)$$である。$|a(x)-a(y)|\le\|\nabla a\|_\infty|x-y|$ であり、$k_\varepsilon(z):=|z|\,|(\partial_i\chi_\varepsilon)(z)|$ の積分は変数変換 $z=\varepsilon z'$ により $\varepsilon$ によらないので、Young の不等式（畳み込み の命題「$L^p$関数と$L^1$関数の畳み込み」）により $\|K_\varepsilon v\|_{L^2}\le C\|v\|_{L^2}$（$C$ は $\varepsilon$ によらない）である。$v\in C_c^\infty$ なら $K_\varepsilon v=a\,(\partial_iv)*\chi_\varepsilon-(a\partial_iv)*\chi_\varepsilon\to a\partial_iv-a\partial_iv=0$ であり、一般の $v$ は $C_c^\infty$ の元で近似して一様な評価を使えばよい。0 階の項 $b(v*\chi_\varepsilon)-(bv)*\chi_\varepsilon$ は、どちらも $bv$ に収束するので $0$ に近づく。行列の場合は成分ごとに考え、係数には $L'$ の近傍で $1$ となる切り落とし関数を掛けて台をコンパクトにしておく。

段 6（解の存在）．$\lambda_\varphi\ge A$ とする。段 4 により、台がコンパクトな滑らかな $(0,q+1)$ 形式 $f$ について $4\|f\|_\varphi^2\le\int(\lambda_\varphi-C_0)|f|^2e^{-\varphi}dV\le4(\|T^*f\|_\varphi^2+\|Sf\|_\varphi^2)$ である。段 5 により、この不等式は $D(T^*)\cap D(S)$ 全体で成り立つ。$F:=\ker S$ は閉部分空間で $T$ の値域を含み、$g\in F\cap D(T^*)$ について $\|g\|_\varphi\le\|T^*g\|_\varphi$ である。$\bar\partial f=0$、$\|f\|_\varphi<\infty$ なら $f\in F$ なので、∂̄方程式のL²評価 の補題「随伴作用素の評価から解の存在へ」により、$\|u\|_\varphi\le\|f\|_\varphi$ で、すべての $g\in D(T^*)$ について $(u,T^*g)_\varphi=(f,g)_\varphi$ となる $u$ がある。$g$ を台がコンパクトな滑らかな形式とすると、(a) から $(u,\vartheta_\varphi g)_\varphi=(f,g)_\varphi$ であり、これは超関数の意味で $\bar\partial u=f$ であることを意味する。これが 1 である。

段 7（重み）．$\Omega\ne\emptyset$ としてよい。$\sigma$ は尽くし関数なので最小値 $t_0$ をとる（∂̄方程式のL²評価 の主定理の証明と同じ議論による）。$B_1(t):=\max\{A(z)/m(z)\mid\sigma(z)\le t\}$（$\{\sigma\le t\}$ はコンパクトで、空なら $B_1(t):=0$ とする）と $F_f(t):=\int_{\{\sigma< t+1\}}|f|^2dV$ は有限な非減少関数である。$B(t):=\max\{B_1(t),\ \log(1+F_f(t))+2t\}$ に、∂̄方程式のL²評価 の定理「Hörmander の $L^2$ 存在定理」の証明の関数の構成を使うと、$C^\infty$ 級の凸増加関数 $\chi$ で、$t\ge t_0$ なら $\chi(t)\ge B(t)$、$\chi'(t)\ge B(t)$ となるものがある。$\varphi:=\chi\circ\sigma$ とおくと、局所座標で $\frac{\partial^2\varphi}{\partial z_l\partial\bar z_{l'}}=\chi'(\sigma)\frac{\partial^2\sigma}{\partial z_l\partial\bar z_{l'}}+\chi''(\sigma)\frac{\partial\sigma}{\partial z_l}\frac{\partial\sigma}{\partial\bar z_{l'}}$ なので、$\mathcal{L}_\varphi(z;\xi)=\chi'(\sigma)\mathcal{L}_\sigma(z;\xi)+\chi''(\sigma)\bigl|\sum_l\xi_l\,\partial\sigma/\partial z_l\bigr|^2\ge\chi'(\sigma)\,m\,|\xi|_g^2\ge A|\xi|_g^2$ であり、$\lambda_\varphi\ge A$ である。また整数 $k\ge t_0$ について $\{k\le\sigma< k+1\}$ の上で $e^{-\varphi}\le e^{-\chi(k)}\le e^{-2k}/(1+F_f(k))$ なので、その上の $\int|f|^2e^{-\varphi}dV$ は $e^{-2k}$ 以下であり、残りの相対コンパクトな $\{\sigma<\lceil t_0\rceil\}$ の上の積分は有限だから、$\|f\|_\varphi<\infty$ である。これが 2 である。最後の主張は、2 の $\varphi$ について 1 の $u$ をとれば、$e^{-\varphi}$ が各コンパクト集合の上で正の下界をもつことから従う。$\square$