Appell–Humbertの定理

$H$ は第 1 変数について線形なので、分母の指数は $\pi H(v,\lambda)+\pi H(\mu,\lambda)+\frac{\pi}{2}H(\lambda,\lambda)+\pi H(v,\mu)+\frac{\pi}{2}H(\mu,\mu)$、分子の指数は $\pi H(v,\lambda)+\pi H(v,\mu)+\frac{\pi}{2}\bigl(H(\lambda,\lambda)+H(\lambda,\mu)+H(\mu,\lambda)+H(\mu,\mu)\bigr)$ である。差は
$$ \frac{\pi}{2}\bigl(H(\lambda,\mu)-H(\mu,\lambda)\bigr)=\frac{\pi}{2}\bigl(H(\lambda,\mu)-\overline{H(\lambda,\mu)}\bigr)=\pi iE(\lambda,\mu) $$
で、比の式を得る。$(H,\alpha)\in\mathcal{P}(\Lambda)$ なら $E(\lambda,\mu)\in\mathbb{Z}$ なので $e^{\pi iE(\lambda,\mu)}=(-1)^{E(\lambda,\mu)}$ であり、半指標の条件から比は $1$ になる。積の式は指数が足し算になることから明らかである。$\square$

$L(H,\alpha)$ が自明なら、$a^{(H,\alpha)}$ は自明な保型因子 $1$ と同値で、正則関数 $h\colon V\to\mathbb{C}^\times$ により $a^{(H,\alpha)}_\lambda(v)=h(v+\lambda)/h(v)$ と書ける。$V\cong\mathbb{C}^g$ は単連結なので $h=e^f$ となる整関数 $f$ がある。各 $\lambda$ について
$$ f(v+\lambda)-f(v)-\pi H(v,\lambda)\in\log\alpha(\lambda)+\frac{\pi}{2}H(\lambda,\lambda)+2\pi i\mathbb{Z} $$
であり、左辺は $v$ について連続で値が離散集合に入るので、$v$ によらない定数である。$H(v,\lambda)$ は $v$ について $\mathbb{C}$ 線形だから、座標 $v_1,\dots,v_g$ について 2 階の偏微分 $\partial_j\partial_kf$ は $\Lambda$ 周期的な整関数である。$\Lambda$ 周期的な連続関数はコンパクトな $X$ 上の関数なので有界であり、Liouvilleの定理 により定数である。よって $f(v)=S(v,v)+r(v)+c$（$S$ は対称な $\mathbb{C}$ 双線形形式、$r$ は $\mathbb{C}$ 線形形式、$c\in\mathbb{C}$）と書け、
$$ f(v+\lambda)-f(v)=2S(v,\lambda)+S(\lambda,\lambda)+r(\lambda) $$
である。上の定数性と比べると $2S(v,\lambda)-\pi H(v,\lambda)$ は $v$ について線形かつ定数なので $0$ であり、両辺を第 2 変数について $\mathbb{R}$ 線形に延ばして $2S(v,w)=\pi H(v,w)$（$v,w\in V$）を得る。左辺は $w$ について $\mathbb{C}$ 線形、右辺は反線形なので、$w$ を $iw$ に替えると $2iS(v,w)=-i\pi H(v,w)=-2iS(v,w)$ となり、$S=0$、$H=0$ である。
このとき $\alpha(\lambda)=e^{f(v+\lambda)-f(v)}=e^{r(\lambda)}$ である。$|\alpha(\lambda)|=1$ より $\operatorname{Re}r$ は $\Lambda$ 上で $0$ で、$\mathbb{R}$ 線形だから $V$ 上で $0$ である。$r$ は $\mathbb{C}$ 線形なので $\operatorname{Im}r(v)=-\operatorname{Re}r(iv)=0$ でもあり、$r=0$、$\alpha=1$ である。準同型の核が自明なので単射である。$\square$

段 1（加法性と整数性）． 保型因子の条件から、$\ell_{\lambda+\mu}(v)+c_{\lambda+\mu}-\ell_\lambda(v+\mu)-c_\lambda-\ell_\mu(v)-c_\mu$ はすべての $v$ で整数である。$v$ について連続なので定数であり、$v$ について線形な部分を比べて $\ell_{\lambda+\mu}=\ell_\lambda+\ell_\mu$、定数部分から
$$ c_{\lambda+\mu}\equiv c_\lambda+c_\mu+\ell_\lambda(\mu)\pmod{\mathbb{Z}} $$
を得る。左辺は $\lambda,\mu$ について対称なので $\ell_\lambda(\mu)\equiv\ell_\mu(\lambda)\pmod{\mathbb{Z}}$、すなわち $E(\lambda,\mu)\in\mathbb{Z}$ である。$w\mapsto\ell_w$ を $V$ 上に $\mathbb{R}$ 線形に延ばし、$B(v,w):=\ell_w(v)$ とおく。$B$ は $v$ について $\mathbb{C}$ 線形、$w$ について $\mathbb{R}$ 線形で、$E(v,w)=B(v,w)-B(w,v)$ である。$E$ は $\mathbb{R}$ 上の基底の上で整数値なので実数値である。
段 2（型 $(1,1)$）． $B'(v,w):=\frac12\bigl(B(v,w)-iB(v,iw)\bigr)$、$B''(v,w):=\frac12\bigl(B(v,w)+iB(v,iw)\bigr)$ とおくと、$B=B'+B''$ で、$B'$ は $\mathbb{C}$ 双線形、$B''$ は第 1 変数について線形・第 2 変数について反線形である。$B'(iv,iw)=-B'(v,w)$、$B''(iv,iw)=B''(v,w)$ を代入すると
$$ F(v,w):=E(iv,iw)-E(v,w)=-2\bigl(B'(v,w)-B'(w,v)\bigr) $$
であり、$F$ は $\mathbb{C}$ 双線形かつ実数値である。$F(iv,w)=iF(v,w)$ の両辺が実数なので $F=0$ である。よって $E(iv,iw)=E(v,w)$ で、$B'$ は対称である。これで 1 が示された。
段 3（反線形部分は $-\tfrac{i}{2}H$）． $B'$ が対称なので $E(v,w)=B''(v,w)-B''(w,v)$ である。$K(v,w):=B''(v,w)+\frac{i}{2}H(v,w)$ とおくと、$H(v,w)-H(w,v)=H(v,w)-\overline{H(v,w)}=2iE(v,w)$ より
$$ K(v,w)-K(w,v)=E(v,w)+\frac{i}{2}\cdot2iE(v,w)=0 $$
である。$K$ は第 1 変数について線形、第 2 変数について反線形なので、$iK(v,w)=K(iv,w)=K(w,iv)=-iK(w,v)=-iK(v,w)$ となり $K=0$ である。したがって
$$ \ell_\lambda(v)=B(v,\lambda)=B'(v,\lambda)-\frac{i}{2}H(v,\lambda). $$
段 4（2 次の項を消す）． $h_1(v):=\exp\bigl(-\pi iB'(v,v)\bigr)$ とおくと $h_1(v+\lambda)/h_1(v)=\exp\bigl(2\pi i(-B'(v,\lambda)-\frac12B'(\lambda,\lambda))\bigr)$ なので、$e$ と同値な保型因子
$$ e'_\lambda(v):=\frac{h_1(v+\lambda)}{h_1(v)}e_\lambda(v)=\beta(\lambda)\exp\Bigl(\pi H(v,\lambda)+\frac{\pi}{2}H(\lambda,\lambda)\Bigr),\quad\beta(\lambda):=\exp\Bigl(2\pi i\bigl(c_\lambda-\tfrac12B'(\lambda,\lambda)\bigr)-\frac{\pi}{2}H(\lambda,\lambda)\Bigr) $$
を得る。$e'$ は保型因子なので、prop-ah-cocycle の比の式（$\alpha$ が $U(1)$ に値をとることは使っていない）から $\beta(\lambda+\mu)=\beta(\lambda)\beta(\mu)(-1)^{E(\lambda,\mu)}$ である。
段 5（絶対値を $1$ にする）． 段 4 から $\lambda\mapsto\log|\beta(\lambda)|$ は加法的なので、$\mathbb{R}$ 線形形式 $\rho\colon V\to\mathbb{R}$ に延びる。$r(v):=-\rho(v)+i\rho(iv)$ は $\mathbb{C}$ 線形で $\operatorname{Re}r=-\rho$ である。$h_2:=e^{r}$ で $e'$ をさらに同値変形すると、因子は $e^{r(\lambda)}$ 倍になり、$\alpha(\lambda):=\beta(\lambda)e^{r(\lambda)}$ は $|\alpha(\lambda)|=1$ を満たす。$e^{r(\lambda)}$ は乗法的なので $\alpha$ は $H$ に関する半指標であり、$e$ は $h=h_1h_2=\exp(-\pi iB'(v,v)+r(v))$ により $a^{(H,\alpha)}$ と同値である。
一意性． $e$ が $a^{(H,\alpha)}$ とも $a^{(H,\alpha')}$ とも同値なら、$a^{(0,\alpha/\alpha')}=a^{(H,\alpha)}/a^{(H,\alpha')}$ は自明な保型因子と同値であり、thm-ah-injective により $\alpha=\alpha'$ である。$\square$

$(v,t)\mapsto(v+x,t)$ は $a^{(H,\alpha)}_\lambda(v+x)$ による作用と $a^{(H,\alpha)}_\lambda(v)$ による作用を入れ替えるので、$t_x^*L(H,\alpha)$ は保型因子 $a^{(H,\alpha)}_\lambda(v+x)=a^{(H,\alpha)}_\lambda(v)\,e^{\pi H(x,\lambda)}$ で与えられる。$h(v):=e^{-\pi H(v,x)}$（$v$ について $\mathbb{C}$ 線形な指数）で同値変形すると、因子は $e^{-\pi H(\lambda,x)}$ 倍になり、
$$ e^{\pi H(x,\lambda)-\pi H(\lambda,x)}=e^{\pi(H(x,\lambda)-\overline{H(x,\lambda)})}=e^{2\pi iE(x,\lambda)}=\chi_x(\lambda) $$
である。よって因子は $a^{(H,\alpha\chi_x)}$ と同値である。$\square$

要点：cor-ah-translation により $\varphi_L(x)$ は指標 $\chi_x$ の平坦束であり、$E$ が非退化ならどの指標も $\chi_x$ の形に書ける。