指数理論
概要
指数理論（index theory）とは、線形作用素の核の次元から余核の次元を引いた指数を、作用素の連続変形で変わらない量として調べ、位相的な不変量で書き表す理論である。有限次元の鎖複体では $d+d^*$ の偶数次から奇数次への指数が調和元の次元の交代和、すなわち Euler 標数に等しく、Hardy 空間上の Toeplitz 作用素では指数が記号の回転数の符号を変えたものになる。中心にある Atiyah–Singer の指数定理は、閉多様体上の楕円型微分作用素の解析的指数が記号から特性類で計算される位相的指数に等しいと述べ、Euler 数の公式、Riemann–Roch の定理、符号数定理を特別な場合として含む。
前提知識: Hilbert空間, Fredholm作用素, 随伴作用素, de Rhamコホモロジー, Euler標数
指数理論とは
指数理論（index theory）は、線形作用素 $P$ の指数
$$
\operatorname{ind}P:=\dim\ker P-\dim\operatorname{coker}P
$$
を、作用素を連続的に動かしても変わらない量として調べ、それを位相的な不変量で書き表す理論である。中心にある Atiyah–Singer の指数定理（1963 年発表）は、閉多様体上の楕円型微分作用素の指数（解析的指数）が、その記号から特性類で計算される整数（位相的指数）に等しいと述べる（Fre21 §3.2–§4、pp. 12–19）。
核と余核の次元はそれぞれ作用素を少し動かすだけで変わりうるが、その差は変わらない。解の個数そのものではなく「解の個数から障害の個数を引いたもの」は、係数を連続的に変えても一定である。これが指数理論の出発点になる。
指数が定義される作用素の一般論（Fredholm 作用素の定義、指数の合成についての加法性、コンパクト作用素による摂動と連続変形で指数が変わらないこと）は Fredholm作用素 の記事で扱い、この記事では証明しない（Fre21 §3.2、pp. 12–13）。この記事では、指数理論に固有の二つの型の定理、
- 指数が「調和な解」の次元の交代和になり、それが位相的な量（Euler 標数）に等しいこと
- 指数が記号の巻き付き（回転数）で決まること
を、それぞれ有限次元の鎖複体と Hardy 空間上の掛け算作用素という最も簡単な場合に、記事の中で完全に証明する。Atiyah–Singer の指数定理そのものはこの記事では証明しない。
指数の定義と不変性
$V,W$ をベクトル空間、$P\colon V\to W$ を線形写像とし、$\ker P$ と $\operatorname{coker}P:=W/\operatorname{im}P$ がともに有限次元であるとする。このとき $P$ の指数を $\operatorname{ind}P:=\dim\ker P-\dim\operatorname{coker}P$ と定める。$V,W$ が Hilbert 空間で $P$ が有界、さらに $\operatorname{im}P$ が閉なら、$P$ を Fredholm 作用素 という。このとき $\operatorname{coker}P$ は $\operatorname{im}P$ の直交補空間と同一視でき、それは随伴作用素の核 $\ker P^*$ に等しい。
$V,W$ が有限次元なら、次元定理 $\dim V=\dim\ker P+\dim\operatorname{im}P$ から
$$
\operatorname{ind}P=\dim V-\dim W
$$
であり、指数は $P$ によらない。無限次元では指数は作用素ごとに違いうるが、Fredholm 作用素の指数は、コンパクト作用素を足しても、Fredholm 作用素のまま連続に動かしても変わらない（この記事では証明しない。Fredholm作用素 の定理「指数の安定性」と「コンパクトな摂動による指数の不変性」、および Fre21 p. 13。同頁は、Fredholm 作用素の空間の連結成分が指数で完全に分類されること (3.13) も述べる）。
有限次元の模型：鎖複体と Euler 標数
閉 Riemann 多様体 $X$ 上の微分形式の複体 $\Omega^0(X)\xrightarrow{d}\Omega^1(X)\xrightarrow{d}\cdots$ に対し、$d$ とその形式的随伴 $d^*$ から作用素 $d+d^*\colon\Omega^{\mathrm{even}}(X)\to\Omega^{\mathrm{odd}}(X)$ を作ると、その指数は $X$ の Euler 数に等しい（Fre21 (3.5)–(3.6)、p. 11）。これは Hodge の定理（各 de Rham コホモロジー類に調和形式がただ一つある。Hodge分解）と同じ構造をもつ。この仕組みを、有限次元の鎖複体で完全に証明する。
$C^0,\dots,C^N$ を有限次元の実または複素内積空間、$d_k\colon C^k\to C^{k+1}$ を $d_{k+1}\circ d_k=0$ となる線形写像とする（$C^{-1}=C^{N+1}=0$）。$C:=\bigoplus_kC^k$ 上に $d:=\bigoplus_kd_k$、その随伴 $d^*$、$D:=d+d^*$ を考え、
$$
\mathcal{H}^k:=\ker d\cap\ker d^*\cap C^k\qquad(\text{調和元})
$$
とおく。このとき次が成り立つ。
- （Hodge 分解）各 $k$ について直交直和分解 $C^k=\mathcal{H}^k\oplus d(C^{k-1})\oplus d^*(C^{k+1})$ があり、$\ker d_k=\mathcal{H}^k\oplus d(C^{k-1})$。特に $\mathcal{H}^k\cong H^k(C):=\ker d_k/\operatorname{im}d_{k-1}$。
- $D$ を偶数次から奇数次への写像 $D_+\colon C^{\mathrm{even}}\to C^{\mathrm{odd}}$ に制限すると
$$ \operatorname{ind}D_+=\sum_k(-1)^k\dim\mathcal{H}^k=\sum_k(-1)^k\dim H^k(C)=\sum_k(-1)^k\dim C^k. $$
$d^2=0$ より $(d^*)^2=0$ である。また $\langle dx,d^*y\rangle=\langle d^2x,y\rangle=0$ なので $\operatorname{im}d\perp\operatorname{im}d^*$ である。
段 1（$\ker D=\ker d\cap\ker d^*$）．$Dx=0$ なら
$$
0=\langle Dx,dx\rangle=\| dx\|^2+\langle d^*x,dx\rangle=\| dx\|^2+\langle x,d^2x\rangle=\| dx\|^2
$$
なので $dx=0$、したがって $d^*x=Dx-dx=0$。逆は明らかである。$d$ は次数を 1 上げ、$d^*$ は 1 下げるので、$Dx=0$ は各次数の成分ごとに成り立ち、$\ker D=\bigoplus_k\mathcal{H}^k$ である。
段 2（Hodge 分解）．$(\operatorname{im}d+\operatorname{im}d^*)^\perp=(\operatorname{im}d)^\perp\cap(\operatorname{im}d^*)^\perp=\ker d^*\cap\ker d$ である（$\langle dx,y\rangle=\langle x,d^*y\rangle$ から $(\operatorname{im}d)^\perp=\ker d^*$、同様に $(\operatorname{im}d^*)^\perp=\ker d$）。有限次元なので $C=\ker D\oplus\operatorname{im}d\oplus\operatorname{im}d^*$ が直交直和で、$d$、$d^*$ が次数を保って 1 ずらすことから、各 $C^k$ でも同じ分解が成り立つ。
$x\in\ker d_k$ を $x=h+da+d^*b$ と分解すると、$0=dx=dd^*b$ より $0=\langle dd^*b,b\rangle=\| d^*b\|^2$、よって $d^*b=0$。したがって $\ker d_k=\mathcal{H}^k\oplus d(C^{k-1})$ で、商をとると $\mathcal{H}^k\cong H^k(C)$ である。
段 3（指数）．$D$ は自己随伴で偶奇を入れ替えるので、$D_+$ の随伴は $D_-:=D|_{C^{\mathrm{odd}}}\colon C^{\mathrm{odd}}\to C^{\mathrm{even}}$ である。有限次元では $\operatorname{coker}D_+\cong(\operatorname{im}D_+)^\perp=\ker D_-$。段 1 より $\ker D_+=\bigoplus_{k\ \mathrm{even}}\mathcal{H}^k$、$\ker D_-=\bigoplus_{k\ \mathrm{odd}}\mathcal{H}^k$ なので、$\operatorname{ind}D_+=\sum_k(-1)^k\dim\mathcal{H}^k$。これは段 2 より $\sum_k(-1)^k\dim H^k(C)$ に等しい。最後に、$D_+$ は有限次元の空間の間の写像なので、$\operatorname{ind}D_+=\dim C^{\mathrm{even}}-\dim C^{\mathrm{odd}}=\sum_k(-1)^k\dim C^k$。$\square$
最後の等式は、指数理論の構図を最も簡単な形で見せている。左辺 $\sum(-1)^k\dim\mathcal{H}^k$ は方程式 $Dx=0$ の解から計算する解析的な量で、$d$ に依存して見える。右辺 $\sum(-1)^k\dim C^k$ は $d$ によらない位相的な量（単体複体なら各次元の単体の個数の交代和）である。指数が $d$ を動かしても変わらないことが、両者を結びつけている。
円周を $3$ 頂点 $v_0,v_1,v_2$ と $3$ 辺で三角形分割し、$C^0=\mathbb{R}^3$（頂点上の関数）、$C^1=\mathbb{R}^3$（辺上の関数）、$d$ を単体的な余境界写像 $(df)(e)=f(\text{終点})-f(\text{始点})$ とする。$\mathcal{H}^0$ は定数関数で $1$ 次元、$\mathcal{H}^1$ も $1$ 次元（$H^1(S^1)=\mathbb{R}$）なので $\operatorname{ind}D_+=1-1=0=3-3$ であり、円周の Euler 標数 $0$ に一致する。
記号の回転数：Toeplitz 作用素
指数が「記号」の位相で決まるという型の最初の例は、F. Noether（1920 年）による Toeplitz 作用素の指数公式である（Fre21 定理 3.14、p. 13）。ここでは記号が多項式の場合を完全に証明する。
Hardy 空間 $H^2$ を、係数が 2 乗総和可能な冪級数 $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n$（$\sum\lvert a_n\rvert^2<\infty$）全体とし、内積を $\langle f,g\rangle:=\sum_na_n\overline{b_n}$（$g=\sum b_nz^n$）で入れる。係数列を対応させると $H^2$ は $\ell^2(\mathbb{N})$ と同じ Hilbert 空間である。係数が有界なので、$f$ は単位円板 $\lvert z\rvert<1$ で収束する正則関数である。
$z$ 倍の写像 $S\colon H^2\to H^2$、$(a_0,a_1,\dots)\mapsto(0,a_0,a_1,\dots)$ をシフトという。$\| Sf\|=\| f\|$ である。多項式 $p(z)=\sum_{j=0}^dc_jz^j$ に対して $M_p:=\sum_jc_jS^j$ は $f\mapsto pf$ で、有界作用素である。$M_p$ は、単位円周上の関数 $p(e^{i\theta})$ を記号とする Toeplitz 作用素（掛け算してから $H^2$ へ射影したもの）に一致する（多項式を掛けても $H^2$ から出ないので射影は要らない）。
連続写像 $\gamma\colon[0,2\pi]\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ で $\gamma(0)=\gamma(2\pi)$ となるものについて、連続関数 $\phi$ で $\gamma(\theta)=\lvert\gamma(\theta)\rvert e^{i\phi(\theta)}$ となるもの（偏角の連続な選び方）をとり、$\operatorname{wind}(\gamma):=(\phi(2\pi)-\phi(0))/2\pi$ を $\gamma$ の $0$ のまわりの回転数という。このような $\phi$ は存在し、$\phi$ の選び方によらず整数になる（被覆 $\mathbb{R}\to S^1$ の道の持ち上げの一意性による。Hat02 命題 1.30、p. 60。この記事では証明しない）。
回転数は積について足し算になる（$\gamma_1\gamma_2$ の偏角として $\phi_1+\phi_2$ がとれる）。$\gamma(\theta)=e^{i\theta}$ の回転数は $1$、実部が常に正の $\gamma$ の回転数は $0$（主値の偏角 $\phi\in(-\pi/2,\pi/2)$ が連続にとれる）である。
$p$ を、単位円周 $\lvert z\rvert=1$ 上に零点をもたない多項式とし、$\lvert z\rvert<1$ にある零点の個数（重複度込み）を $m$ とする。このとき $M_p\colon H^2\to H^2$ は単射で、像は閉じていて余次元 $m$ をもつ。したがって $M_p$ は Fredholm 作用素で
$$
\operatorname{ind}M_p=-m=-\operatorname{wind}\bigl(p(e^{i\theta})\bigr).
$$
$p=c\prod_{i=1}^m(z-a_i)\prod_{j}(z-b_j)$（$c\neq0$、$\lvert a_i\rvert<1<\lvert b_j\rvert$）と分解し、$q:=\prod_i(z-a_i)$、$r:=\prod_j(z-b_j)$ とおく。$M_p=c\,M_qM_r$ である。
段 1（$\lvert b\rvert>1$ の因子は可逆）．$R:=\min_j\lvert b_j\rvert>1$ とすると $1/r$ は $\lvert z\rvert< R$ で正則であり、$1<\rho< R$ をとれば Cauchy の評価から Taylor 係数 $e_n$ は $\lvert e_n\rvert\leq C\rho^{-n}$ を満たす。よって $\sum_n\lvert e_n\rvert<\infty$ で、$M_{1/r}:=\sum_ne_nS^n$ は作用素ノルムで収束する有界作用素である（$\| S^n\|=1$）。冪級数の積は係数ごとの Cauchy 積で、各係数は有限和なので結合法則が成り立ち、$(1/r)\cdot r=1$ から $M_{1/r}M_r=M_rM_{1/r}=I$。したがって $M_r$ は全単射で、$\operatorname{im}M_p=\operatorname{im}M_q$ となる。
段 2（$\lvert a\rvert<1$ の因子 $z-a$）．$M_{z-a}=S-aI$ について、$\operatorname{im}(S-aI)=\{g\in H^2 : g(a)=0\}$ と $\|(S-aI)f\|\geq(1-\lvert a\rvert)\| f\|$ を示す。$g=\sum b_nz^n\in H^2$ に対し
$$
f_n:=\sum_{k\geq0}a^kb_{n+1+k}\qquad(n\geq0)
$$
とおく。これは $f=\sum_{k\geq0}a^k(S^*)^{k+1}g$（$S^*$ は左シフト、$\| S^*\|=1$）なので $\| f\|\leq\| g\|/(1-\lvert a\rvert)$ である。$n\geq1$ では $f_{n-1}-af_n=b_n$、$n=0$ では $-af_0=b_0-\sum_{j\geq0}a^jb_j=b_0-g(a)$ となる。したがって $g(a)=0$ なら $(S-aI)f=g$ である。逆に $g=(S-aI)f=(z-a)f$ なら $g(a)=0$。さらに $(S-aI)$ は単射（冪級数 $(z-a)f=0$ なら最低次の係数を比べて $f=0$）なので、$g=(S-aI)f$ のとき上の $f$ はこの $f$ に一致し、$\| f\|\leq\|(S-aI)f\|/(1-\lvert a\rvert)$ を得る。
$g\mapsto g(a)=\sum_nb_na^n$ は Cauchy–Schwarz の不等式で連続な線形汎関数で、定数 $1$ で値 $1$ をとる。よって $\operatorname{im}(S-aI)$ はその核で、閉じていて余次元 $1$、補空間として定数関数 $\mathbb{C}\cdot1$ がとれる。
段 3（合成）．$A,B$ を単射で像の余次元がそれぞれ $\alpha,\beta$ の線形写像とすると、$\operatorname{im}AB=A(\operatorname{im}B)$ であり、$A\colon H^2\to\operatorname{im}A$ は線形同型なので $A(\operatorname{im}B)$ は $\operatorname{im}A$ の中で余次元 $\beta$、したがって $H^2$ の中で余次元 $\alpha+\beta$ である。また $\| Af\|\geq c_A\| f\|$、$\| Bf\|\geq c_B\| f\|$ なら $\| ABf\|\geq c_Ac_B\| f\|$ である。段 2 を $m$ 個の因子に使うと、$M_q=\prod_i(S-a_iI)$ は単射で、像の余次元は $m$、$\| M_qf\|\geq c\| f\|$（$c>0$）を満たす。下から押さえられた作用素の像は閉じている（像の Cauchy 列 $M_qf_n$ について $f_n$ も Cauchy 列になり、極限 $f$ で $M_qf_n\to M_qf$）。段 1 と合わせて、$M_p$ は単射、像は閉で余次元 $m$、$\operatorname{ind}M_p=0-m=-m$。
段 4（回転数）．$\operatorname{wind}(p(e^{i\theta}))=\sum_i\operatorname{wind}(e^{i\theta}-a_i)+\sum_j\operatorname{wind}(e^{i\theta}-b_j)$（定数 $c$ の回転数は $0$）。$\lvert a\rvert<1$ なら $e^{i\theta}-a=e^{i\theta}(1-ae^{-i\theta})$ で、$1-ae^{-i\theta}$ の実部は $1-\operatorname{Re}(ae^{-i\theta})\geq1-\lvert a\rvert>0$ だから回転数は $1+0=1$。$\lvert b\rvert>1$ なら $e^{i\theta}-b=-b(1-e^{i\theta}/b)$ で同様に回転数は $0$。よって $\operatorname{wind}(p(e^{i\theta}))=m$。$\square$
$p(z)=z^k$ なら $M_p=S^k$ で、核は $0$、像は $a_0=\dots=a_{k-1}=0$ の列全体で余次元 $k$、指数は $-k$ である。随伴 $S^*$（左シフト）は、記号 $e^{-i\theta}$ の Toeplitz 作用素で、核は定数関数（$1$ 次元）、全射なので指数は $+1=-\operatorname{wind}(e^{-i\theta})$ である。同じ空間 $H^2$ から $H^2$ への作用素なのに指数が $0$ でないことは、有限次元では起こらない。
記号 $\varphi$ が単位円周上の零にならない連続関数の場合にも、Toeplitz 作用素 $T_\varphi$ は Fredholm で $\operatorname{ind}T_\varphi=-\operatorname{wind}(\varphi)$ である（Noether の定理。Fre21 定理 3.14、p. 13。この記事では証明しない）。証明は、$\varphi$ を $z$ と $\overline{z}$ の多項式で近似し、Fredholm作用素 の定理「コンパクトな摂動による指数の不変性」と「指数の安定性」を使って上の定理に帰着させるものである。
楕円型作用素と Atiyah–Singer の指数定理
$X$ を閉多様体、$E_0,E_1\to X$ をベクトル束とし、$P\colon C^\infty(X,E_0)\to C^\infty(X,E_1)$ を $m$ 階の線形微分作用素とする。局所座標で最高階の項 $\sum a_{i_1\cdots i_m}\partial^m/\partial x_{i_1}\cdots\partial x_{i_m}$ の係数から、余接ベクトル $\xi$ の $m$ 次斉次多項式として記号 $\sigma(P)(\xi)\colon E_{0,x}\to E_{1,x}$ が定まる。$\xi\neq0$ のときつねに $\sigma(P)(\xi)$ が可逆であるとき、$P$ を楕円型という（Fre21 §3.2、p. 12）。
この記事では証明しないが、楕円型理論により次が成り立つ（Fre21 pp. 12–13）。
- 閉多様体上の楕円型作用素は、適当な Sobolev 空間の間の Fredholm 作用素に延び、核と余核は有限次元の滑らかな切断からなる。
- 低階の項は最高階の項に比べてコンパクトな摂動になるので、指数は記号だけで決まり、しかも記号の（可逆性を保つ）ホモトピー類だけで決まる。
$X$ を閉じた向き付けられた多様体、$P$ を複素ベクトル束の間の楕円型微分作用素とする。記号 $\sigma(P)$ は相対 K 群 $K^0(T^*X,T^*X\setminus0)$ の元を定め、その Chern 指標を Thom 同型 $\phi$ で $X$ のコホモロジーへ引き戻したものを使って
$$
\operatorname{ind}P=\bigl(\operatorname{Todd}(TX\otimes\mathbb{C})\smile\phi^{-1}\operatorname{ch}\sigma(P)\bigr)[X].
$$
左辺は核と余核の次元の差で、解析的に定義される。右辺は記号の K 群の類と $X$ の特性類だけで書かれ、作用素の低階の項や係数の細部には依存しない。そのため、指数を直接計算する代わりに、記号から特性類を計算することで指数が求まる。Euler 数の公式、Riemann–Roch の定理、符号数定理は、特定の楕円型作用素にこの定理を適用した特別な場合として得られる。
この記事では証明しない（Fre21 定理 4.9、p. 16。K 理論による形は定理 4.18、p. 18）。左辺は方程式の解の次元から定まる解析的指数、右辺は記号の位相だけから定まる位相的指数である。証明には、同境（コボルディズム）による方法と、K 理論の公理的な特徴付けによる方法がある（Fre21 §4.2、§4.5）。
特別な作用素に当てはめると、古典的な定理が特別な場合として現れる。
| 作用素 | 指数 | 位相的な側 | 所在 |
|---|---|---|---|
| $d+d^*\colon\Omega^{\mathrm{even}}\to\Omega^{\mathrm{odd}}$ | 調和形式の次元の交代和 | Euler 数 | Fre21 (3.5)–(3.6)、p. 11 |
| 符号数作用素（$\dim X=4k$） | 符号数 | $L$ 種数 $L(X)[X]$ | Fre21 (3.7)、p. 11、定理 2.11、p. 6 |
| $\bar\partial+\bar\partial^*$（正則ベクトル束 $V$ 係数） | 正則 Euler 標数 $\chi(X,V)$ | $\operatorname{Todd}(X)\operatorname{ch}(V)[X]$ | Fre21 (3.9)、p. 12、(4.16)、p. 18 |
| スピン多様体の Dirac 作用素 | 調和スピノルの次元の差 | $\hat A$ 種数 $\hat A(X)[X]$ | Fre21 (4.7)、p. 15、§4.4、p. 18 |
3 行目で $X$ が Riemann 面の場合が Riemann–Rochの定理、高次元の射影多様体の場合が Hirzebruch–Riemann–Roch の定理（Fre21 定理 2.7、p. 5）である。1 行目の有限次元版が thm-it-complex であり、2 次元の閉曲面では Euler 数は Gauss–Bonnetの定理 により曲率の積分でも書ける。4 行目は、スピン多様体の $\hat A$ 種数が整数であることに解析的な意味を与えた（Fre21 §4.4、p. 18）。
指数定理はさらに、固定点での局所的な寄与の和として作用素の「跡」を計算する Atiyah–Bott の Lefschetz 公式（Fre21 定理 5.4、p. 20）、境界のある多様体、作用素の族などへ拡張されている（Fre21 §5）。
例と反例
次の表は、指数についての主張が、条件を外すと崩れる例である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 空間が有限次元 | $H^2$ 上のシフト $S$ | $V\to V$ の線形写像の指数は $0$（$\operatorname{ind}S=-1$） |
| 記号が単位円周上で $0$ にならない | $p(z)=z-1$ の $M_p=S-I$ | 像が閉（Fredholm になる） |
| 偶数次から奇数次への制限 | $D=d+d^*\colon C\to C$ 全体 | 指数が Euler 標数（全体では指数は $0$） |
| 楕円型 | 2 次元トーラス上の $\partial/\partial x_1$ | 核が有限次元 |
- 1 行目：有限次元では $\operatorname{ind}P=\dim V-\dim V=0$ だが、$S$ は単射で像の余次元が $1$ である（ex-it-shift）。
- 2 行目：$S-I$ は単射である（$(z-1)f=0$ なら $f=0$）。$f_N:=N^{-1/2}(1+z+\dots+z^{N-1})$ とおくと $\| f_N\|=1$、$(S-I)f_N=N^{-1/2}(z^N-1)$ で $\|(S-I)f_N\|=\sqrt{2/N}\to0$。像が閉なら、有界逆写像定理 により $S-I$ は像の上への有界な逆をもち、下から押さえられるはずなので、像は閉でない。$1$ は $p$ の単位円周上の零点である。
- 3 行目：$D$ は自己随伴なので $\ker D\cong(\operatorname{im}D)^\perp$ であり、全体での指数は $\dim C-\dim C=0$。円周の ex-it-circle では偶奇に分けても $0$ だが、2 次元球面の三角形分割では偶奇に分けた指数は $\chi(S^2)=2$ である。
- 4 行目：$\partial/\partial x_1$ の記号 $\xi_1$ は $\xi=(0,1)$ で $0$ になり、楕円型でない。核は $x_2$ だけの滑らかな関数全体で、無限次元である。
関連項目
- 前提: Fredholm作用素, 随伴作用素, de Rhamコホモロジー, Hodge分解
- 比較: Euler標数, Riemann–Rochの定理, Toeplitz作用素
- 直後に読む: Atiyah–Singerの指数定理
- 発展: 位相的K理論, Floer理論
参考文献
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