横断性定理

要点：1 はスライス座標の定義と正則値定理の接空間の等式から従う。2 は「全射な線形写像 $A$ と部分空間 $L$ について、$A(L)$ が全体であることと $L+\ker A$ が全体であることは同値」という線形代数の事実を $A=dg_y$ に当てたものである。

3 は $f$ の連続性による。1 と 2 を示す。部分多様体であることは各点のまわりのスライス座標の存在で決まる局所的な性質なので、点 $p\in f^{-1}(Z)$ の近くで示せばよい。
$y:=f(p)$ のまわりに lem-trans-local のスライス座標 $(V,\psi)$ と沈め込み $g$ をとり、開部分多様体 $M':=f^{-1}(V)$ の上で $h:=g\circ f|_{M'}\colon M'\to\mathbb{R}^{n-k}$ とおく。lem-trans-local の 1 により
$$ M'\cap f^{-1}(Z)=(f|_{M'})^{-1}(V\cap Z)=h^{-1}(0) $$
である。$h^{-1}(0)$ の各点で $f$ は $Z$ に横断的なので、lem-trans-local の 2 により $h$ の微分はそこで全射である。つまり $0$ は $h$ の正則値である。正則値定理の記事の定理「正則値定理」により、$h^{-1}(0)$ は $M'$ の $m-(n-k)$ 次元の部分多様体である。$M'$ は $M$ の開集合なので、そのスライス座標は $M$ のスライス座標でもある。同じ定理の 2 により、$p$ での接空間は
$$ \ker dh_p=\ker(dg_y\circ df_p)=(df_p)^{-1}(\ker dg_y)=(df_p)^{-1}(T_yZ) $$
である（最後の等号は lem-trans-local の 1）。$\square$

包含写像 $\iota\colon X\hookrightarrow N$ に thm-trans-preimage を当てると、$\iota^{-1}(Z)=X\cap Z$ は $X$ の $x-n+k$ 次元の部分多様体で、接空間は $(d\iota_y)^{-1}(T_yZ)=T_yX\cap T_yZ$ である。包含写像 $X\cap Z\hookrightarrow X$ と $X\hookrightarrow N$ はともに埋め込みであり、その合成も埋め込みである（微分は単射の合成で単射であり、部分空間の部分空間は部分空間なので像への同相写像である）。はめ込みと埋め込み(可微分多様体)の記事の定理「埋め込みの像は部分多様体」により、$X\cap Z$ は $N$ の部分多様体である。$\square$

逆像と射影． $W:=F^{-1}(Z)$ とおく。$W=\emptyset$ なら、どの $s$ についても $f_s^{-1}(Z)=\emptyset$ なので $f_s\pitchfork Z$ であり、主張は正しい。$W\neq\emptyset$ とする。thm-trans-preimage により $W$ は $M\times S$ の部分多様体であり、
$$ T_{(x,s)}W=(dF_{(x,s)})^{-1}\bigl(T_{F(x,s)}Z\bigr) $$
である。射影の制限 $\pi:=\mathrm{pr}_2|_W\colon W\to S$ は滑らかで、rem-trans-product の同一視で $d\pi_{(x,s)}$ は $(u,v)\mapsto v$ の $T_{(x,s)}W$ への制限である。
主張：$s$ が $\pi$ の正則値なら $f_s\pitchfork Z$． $x\in f_s^{-1}(Z)$ をとり、$y:=f_s(x)$ とおく。$(x,s)\in W$ である。任意の $w\in T_yN$ をとる。$F\pitchfork Z$ なので、$(u,v)\in T_xM\oplus T_sS$ と $t\in T_yZ$ で
$$ w=dF_{(x,s)}(u,v)+t $$
となるものがある。$s$ は $\pi$ の正則値なので $d\pi_{(x,s)}$ は全射であり、$(u',v)\in T_{(x,s)}W$ となる $u'\in T_xM$ がある。$T_{(x,s)}W$ の形から $t':=dF_{(x,s)}(u',v)\in T_yZ$ である。rem-trans-product の等式を使うと
$$ w=dF_{(x,s)}(u-u',0)+dF_{(x,s)}(u',v)+t=d(f_s)_x(u-u')+(t'+t) $$
であり、$w\in d(f_s)_x(T_xM)+T_yZ$ である。$w$ は任意なので、$f_s$ は $x$ で $Z$ に横断的である。
Sard の定理． $W$ は多様体（Hausdorff かつ第 2 可算な空間の部分空間）なので、Sardの定理の記事の系「多様体の間の写像に対するSardの定理」を $\pi$ に当てると、$\pi$ の臨界値の集合は $S$ の測度零集合で、その補集合（正則値の集合）は稠密である。主張により、$f_s$ が $Z$ に横断的でない $s$ は $\pi$ の臨界値なので、その全体は測度零集合に含まれ、測度零である。$\square$

$F\colon M\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$、$F(x,a):=f(x)+a$ とおく。rem-trans-product の同一視で $dF_{(x,a)}(0,v)=v$ なので、$F$ は沈め込みであり、とくに $F\pitchfork Z$ である。thm-trans-parametric を当てればよい。測度零集合の補集合は稠密なので、原点のいくらでも近くに良い $a$ がある。$\square$

$N$ を Euclid 空間に置く． Whitneyの埋め込み定理の記事の定理「Whitneyの埋め込み定理」により、閉埋め込み $N\to\mathbb{R}^K$ がある。その像は閉部分多様体で、$N$ は像と微分同相である（はめ込みと埋め込み(可微分多様体)の記事の定理「埋め込みの像は部分多様体」）。微分同相写像で移しても横断性とホモトピーは変わらないので、$N\subset\mathbb{R}^K$ を閉部分多様体としてよい。
引き込み． 管状近傍定理の記事の定理「管状近傍による引き込み」により、$N$ を含む開集合 $U\subset\mathbb{R}^K$ と、$N$ の上で恒等写像となる滑らかな沈め込み $r\colon U\to N$ がある。
半径をとる． $U=\mathbb{R}^K$ なら $d:=1$、そうでなければ $d(x):=\min\{1,\ \operatorname{dist}(f(x),\mathbb{R}^K\setminus U)\}$ とおく。$d$ は $M$ 上の正の連続関数である（$f(x)\in U$ で $U$ は開集合）。Whitneyの近似定理の記事の定理「Whitneyの近似定理」（$A=\emptyset$）を $\tfrac12d$ と許容誤差 $\tfrac14d$ に当てると、滑らかな関数 $\eta\colon M\to\mathbb{R}$ で $\lvert\eta-\tfrac12d\rvert<\tfrac14d$、したがって $\tfrac14d<\eta<\tfrac34d$ となるものがある。
族を作る． $B\subset\mathbb{R}^K$ を原点を中心とする半径 $1$ の開球とし、
$$ F\colon M\times B\to N,\qquad F(x,a):=r\bigl(f(x)+\eta(x)a\bigr) $$
とおく。$\lvert\eta(x)a\rvert<\eta(x)< d(x)$ なので $f(x)+\eta(x)a$ は中心 $f(x)$、半径 $d(x)$ の開球に入り、この開球は $U$ に含まれる。よって $F$ は定義されて滑らかであり、$F(x,0)=r(f(x))=f(x)$ である。
$F$ は沈め込み． $(x,a)$ を固定する。$a'\mapsto f(x)+\eta(x)a'$ の微分は $\eta(x)$ 倍写像で全単射なので、rem-trans-product と連鎖律により $dF_{(x,a)}(0,v)=dr_{f(x)+\eta(x)a}(\eta(x)v)$ である。$r$ は沈め込みなので、$v$ を動かすとこれは $T_{F(x,a)}N$ 全体を動く。よって $F$ は沈め込みで、$F\pitchfork Z$ である。
結論． thm-trans-parametric により、ほとんどすべての $a\in B$ で $f_a:=F(\cdot,a)$ は $Z$ に横断的である。そのような $a$ を 1 つとると、$H(x,t):=F(x,ta)$（$0\le t\le1$）は $f$ から $f_a$ への滑らかなホモトピーである。
コンパクトな場合の近さ． $M$ がコンパクトなら、$F$ はコンパクト集合 $M\times\{\lvert a\rvert\le\tfrac12\}$ の上で一様連続なので、ある $\rho\in(0,\tfrac12)$ について $\lvert a\rvert<\rho$ なら $\sup_x\lvert F(x,a)-F(x,0)\rvert<\varepsilon$ となる。良い $a$ は稠密に存在するので、$\lvert a\rvert<\rho$ の中からとれる。$\square$