Menger–Nöbelingの埋め込み定理

要点：Cauchy 列は各点で収束し、その極限は一様収束の極限なので連続である。

位相空間の埋め込み定理 の記事の系「可分距離化可能空間の特徴づけ」により、埋め込み $e\colon X\to Q$ がある。ここで $Q=I^{\mathbb{N}}$ は Hilbert 立方体で、同じ記事の命題「Hilbert 立方体の距離」の距離 $d_Q$ をもつコンパクト距離空間である。$d(x,y):=d_Q(e(x),e(y))$ は $X$ の位相を与える距離である（$e$ は像への同相写像）。コンパクト距離空間は全有界であり、全有界な集合の部分集合は全有界なので（全有界 の記事の命題「有界性・部分集合・閉包・一様連続像」）、$e(X)$ は全有界で、$(X,d)$ も全有界である。$\square$

$p_1,p_2,\dots$ を順に選ぶ。$p_1,\dots,p_{j-1}$ が (i)(ii) を満たすように選べたとする。$p_j$ を開球 $B(y_j,\eta)$ から、次の有限個のアフィン部分空間のどれにも属さないように選ぶ。

• $p_1,\dots,p_{j-1}$ のうち高々 $m$ 個からなる $S$ の $\operatorname{aff}S$（次元は $m-1$ 以下）。
• $p_1,\dots,p_{j-1}$ のうち高々 $n$ 個からなる $S$（空でもよい）と $E$ の和のアフィン包 $\operatorname{aff}(S\cup E)$（次元は $\lvert S\rvert+n\le2n=m-1$ 以下）。
  どれも $\mathbb{R}^m$ の真のアフィン部分空間で、内点をもたない閉集合である。内点をもたない閉集合の有限個の和も内点をもたない（空でない開集合 $W\subset F\cup G$ があれば $W\setminus F$ は $G$ に含まれる空でない開集合になる）ので、開球の中にどれにも属さない点がある。
  (i)：新しい集合 $T\ni p_j$、$\lvert T\rvert\le m+1$ は $T=S\cup\{p_j\}$（$\lvert S\rvert\le m$）で、$S$ はアフィン独立、$p_j\notin\operatorname{aff}S$ なので $T$ もアフィン独立である。
  (ii)：$T=S\cup\{p_j\}$（$\lvert S\rvert\le n$）とする。$S=\emptyset$ なら $\operatorname{aff}T=\{p_j\}$ で、$p_j\notin E$ である。$S\ne\emptyset$ のとき、$\operatorname{aff}T$ の点は $z=tp_j+(1-t)s$（$t\in\mathbb{R}$、$s\in\operatorname{aff}S$）と書ける。$z\in E$ とすると、$t=0$ なら $z=s\in\operatorname{aff}S\cap E=\emptyset$ で矛盾し、$t\ne0$ なら $p_j=\bigl(z-(1-t)s\bigr)/t\in\operatorname{aff}(S\cup E)$ となって $p_j$ の選び方に反する。$\square$

$f\in G_k$ を $\delta$ についてとり、$\rho(g,f)<\delta/4$ とする。$d(x,y)\ge1/k$ なら
$$ \| g(x)-g(y)\|\ge\| f(x)-f(y)\|-\| g(x)-f(x)\|-\| g(y)-f(y)\|>\delta-\frac\delta2=\frac\delta2 $$
なので $g\in G_k$ である。同様に $f\in H_E$ を $\delta$ についてとり $\rho(g,f)<\delta/2$ とすると、$\operatorname{dist}(g(x),E)\ge\operatorname{dist}(f(x),E)-\| g(x)-f(x)\|>\delta/2$ なので $g\in H_E$ である。$\square$

段 1（小さな被覆）． $\eta:=\varepsilon/3$ とする。$(X,d)$ は全有界なので、直径 $1/k$ 未満の有限個の開集合で覆える（半径 $1/(3k)$ の開球の有限個）。$I^m$ はコンパクトなので、直径 $\eta$ 未満の有限個の開集合 $O_1,\dots,O_s$ で覆える。直径 $1/k$ 未満の開集合 $V$ と $g^{-1}(O_t)$ の共通部分の全体は $X$ の有限開被覆で、被覆次元が $n$ 以下なので、位数 $n+1$ 以下の有限開細分 $\{U_1,\dots,U_r\}$ がある。空集合は除いておく。どの $U_j$ も $d$ に関する直径が $1/k$ 未満で、$g(U_j)$ の直径は $\eta$ 未満である。
段 2（1 の分割）． $U_j\ne X$ なら $\psi_j(x):=d(x,X\setminus U_j)$、$U_j=X$ なら $\psi_j:=1$ とおく。$\psi_j$ は連続で、$\psi_j(x)>0$ と $x\in U_j$ は同値である。各点はどれかの $U_j$ に入るので $\sum_l\psi_l>0$ で、$\varphi_j:=\psi_j/\sum_l\psi_l$ は連続、$\varphi_j\ge0$、$\sum_j\varphi_j=1$、$\varphi_j(x)>0\iff x\in U_j$ を満たす。とくに、各点 $x$ で $\varphi_j(x)>0$ となる $j$ は高々 $n+1$ 個である。
段 3（頂点を選ぶ）． 各 $j$ で点 $x_j\in U_j$ をとる。中心 $c:=(\frac12,\dots,\frac12)$ に向けて縮めた写像 $g':=(1-\tau)g+\tau c$ を考える。$\tau:=\min\{1,\eta/\sqrt m\}$ とすると $\rho(g',g)\le\tau\sqrt m/2\le\eta/2$ で、$g'(X)$ の点から距離 $\tau/2$ 以内の点は $I^m$ に入る。$\eta':=\min\{\eta,\tau/2\}$ として、lem-mn-general-position を $y_j:=g'(x_j)$、$\eta'$ に使い、点 $p_1,\dots,p_r$ をとる。$p_j\in I^m$ である。
$$ f(x):=\sum_{j=1}^r\varphi_j(x)\,p_j $$
とおく。$f$ は連続で、$f(x)$ は $I^m$ の点の凸結合なので $f\in C$ である。
段 4（$g$ に近い）． $\varphi_j(x)>0$ なら $x,x_j\in U_j$ なので、$\| g'(x)-g'(x_j)\|\le\| g(x)-g(x_j)\|<\eta$ であり、$\| p_j-g'(x)\|<\eta'+\eta\le2\eta$ となる。凸結合をとって $\| f(x)-g'(x)\|<2\eta$、よって $\rho(f,g)\le2\eta+\eta/2<\varepsilon$ である。
段 5（$f\in H_E$）． $f(x)$ は、$\varphi_j(x)>0$ となる高々 $n+1$ 個の $p_j$ の凸包に入る。$p_1,\dots,p_r$ のうち高々 $n+1$ 個の凸包の全体の和を $K$ とすると、$K$ はコンパクトで、lem-mn-general-position の (ii) により閉集合 $E$ と交わらない。よって $\delta:=\operatorname{dist}(K,E)>0$ で、すべての $x$ で $\operatorname{dist}(f(x),E)\ge\delta$ である。
段 6（$f\in G_k$）． $\Delta:=\{a\in\mathbb{R}^r\mid a_j\ge0,\ \sum_ja_j=1\}$ とし、
$$ T:=\bigl\{(a,b)\in\Delta\times\Delta\bigm|\text{すべての }j\text{ で }a_jb_j=0,\ a\text{ と }b\text{ の }0\text{ でない成分はそれぞれ高々 }n+1\text{ 個}\bigr\} $$
とおく。「$0$ でない成分が高々 $n+1$ 個」の点の全体は、座標のどれか $r-n-1$ 個が $0$ という閉集合の有限個の和なので閉集合であり、$T$ はコンパクトである。$F(a,b):=\bigl\|\sum_ja_jp_j-\sum_jb_jp_j\bigr\|$ は $T$ 上で正である。実際 $F(a,b)=0$ とすると $\sum_j(a_j-b_j)p_j=0$、$\sum_j(a_j-b_j)=0$ で、$a_j-b_j\ne0$ となる $j$ は高々 $2n+2=m+1$ 個なので、(i) のアフィン独立性から $a_j=b_j$ がすべての $j$ で成り立つ。$a_jb_j=0$ と合わせると $a=b=0$ となり、$\sum_ja_j=1$ に反する。よって $\delta':=\min_TF>0$ である（$T=\emptyset$ なら $\delta':=1$）。
$d(x,y)\ge1/k$ なら、直径が $1/k$ 未満の $U_j$ は $x,y$ の両方を含まないので、$\varphi_j(x)\varphi_j(y)=0$ がすべての $j$ で成り立ち、$\bigl((\varphi_j(x))_j,(\varphi_j(y))_j\bigr)\in T$ である。よって $\| f(x)-f(y)\|\ge\delta'$ で、$f\in G_k$ である。$\square$

2 を示せば 1 も従う。$\mathbb{R}^m\setminus N^m_n$ を覆う可算個の $n$ 次元アフィン部分空間（def-mn-nobeling の後の注意）を $E_1,E_2,\dots$ とし、
$$ \mathcal{D}:=\bigcap_{k\ge1}G_k\ \cap\ \bigcap_{i\ge1}H_{E_i} $$
とおく。lem-mn-complete により $(C,\rho)$ は空でない完備距離空間で（定値写像を含む）、lem-mn-open と lem-mn-dense により $G_k$、$H_{E_i}$ は稠密な開集合である。Baireのカテゴリー定理 の記事の定理「Baire のカテゴリー定理」により $\mathcal{D}$ は稠密な $G_\delta$ 集合である。
$f\in\mathcal{D}$ が埋め込みで $f(X)\subset N^m_n$ であることを示す。

• 単射． $x\ne y$ なら $d(x,y)\ge1/k$ となる $k$ があり、$f\in G_k$ から $f(x)\ne f(y)$ である。
• 逆写像の連続性． $f(x_l)\to f(x)$ で $d(x_l,x)\not\to0$ とすると、ある $k$ について $d(x_l,x)\ge1/k$ となる $l$ が無限個あり、$f\in G_k$ の $\delta$ について $\| f(x_l)-f(x)\|\ge\delta$ となる $l$ が無限個ある。これは $f(x_l)\to f(x)$ に反する。距離空間では点列で連続性が判定できるので、$f^{-1}\colon f(X)\to X$ は連続である。
• 像． $f\in H_{E_i}$ なので $f(X)\cap E_i=\emptyset$ がすべての $i$ で成り立ち、$f(X)\subset N^m_n$ である。
  よって $\mathcal{D}$ の元はすべて求める埋め込みである。$\square$

位相多様体は可分な距離化可能空間であり、次元論の一致定理 の記事の系「位相多様体の次元」により被覆次元は $n$ 以下である。thm-mn-main による。$\square$

一方は thm-mn-main の 2 である。逆に $X$ が $N^{2n+1}_n$ の部分空間と同相なら、次元論の一致定理 の記事の例「Euclid 空間の分解と Nöbeling 空間」により $\operatorname{ind}N^{2n+1}_n\le n$ で、同じ記事の系「部分空間と和」と一致定理により $\dim X\le\dim N^{2n+1}_n\le n$ である。$\square$

連続な単射 $f\colon K_n\to\mathbb{R}^{2n}$ があったとして矛盾を導く。$z\in\mathbb{R}^V$ に対し $\|z\|_1:=\sum_v|z_v|$、$z^+_v:=\max(z_v,0)$、$z^-_v:=\max(-z_v,0)$ と書き、
$$ \Sigma:=\{z\in\mathbb{R}^V\mid \|z\|_1=1,\ \#\{v\mid z_v>0\}\le n+1,\ \#\{v\mid z_v< 0\}\le n+1\} $$
とおく。「正の座標が $n+2$ 個以上」「負の座標が $n+2$ 個以上」はどちらも開条件なので $\Sigma$ はコンパクトであり、$-\Sigma=\Sigma$ である。$\Sigma$ の点は $2n+3$ 個の座標のうち高々 $2n+2$ 個しか $0$ でないので、少なくとも一つの座標が $0$ である。
1. $\Sigma$ は球面と奇関数で同相である。 $H:=\{w\in\mathbb{R}^V\mid\sum_vw_v=0\}$（次元 $2n+2$）への直交射影を $P(z):=z-\frac{1}{2n+3}\bigl(\sum_vz_v\bigr)\mathbf{1}$（$\mathbf{1}$ は全座標が $1$ のベクトル）とすると $\ker P=\mathbb{R}\mathbf{1}$ である。$z\in\Sigma$ は $0$ の座標をもち $z\neq0$ なので $z\notin\mathbb{R}\mathbf{1}$、すなわち $P(z)\neq0$ である。$\rho(z):=P(z)/|P(z)|$ は $\Sigma$ から $H$ の単位球面 $S(H)\cong S^{2n+1}$ への連続写像で、$\rho(-z)=-\rho(z)$ を満たす。
単射であること：$\rho(z)=\rho(z')$ なら $\lambda:=|P(z)|/|P(z')|>0$ について $P(z-\lambda z')=0$、すなわち $z-\lambda z'=c\mathbf{1}$ となる $c\in\mathbb{R}$ がある。$c>0$ とすると、$z'_v\ge0$ となる $v$（負の座標が $n+1$ 個以下なので $n+2$ 個以上ある）で $z_v=c+\lambda z'_v>0$ となり、$z$ の正の座標が $n+2$ 個以上になって矛盾する。$c< 0$ も同様に $z$ の負の座標が $n+2$ 個以上になる。よって $c=0$、$z=\lambda z'$ で、$\|z\|_1=\|z'\|_1=1$ から $z=z'$ である。
全射であること：$w\in S(H)$ の $2n+3$ 個の座標を小さい順に並べた $n+2$ 番目の値を $m$ とし、$u:=w-m\mathbf{1}$ とおく。$m$ より真に大きい座標も真に小さい座標も $n+1$ 個以下なので、$u$ の正の座標・負の座標はそれぞれ $n+1$ 個以下である。$u=0$ なら $w=m\mathbf{1}\in H$ から $w=0$ となり $|w|=1$ に反するので $u\ne0$ である。$z:=u/\|u\|_1\in\Sigma$ について、$P(w)=w$、$P(\mathbf{1})=0$ から $P(z)=w/\|u\|_1$、よって $\rho(z)=w$ である。
コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので、$\rho$ は同相写像である。
2. $\Sigma$ から $\mathbb{R}^{2n+1}\setminus\{0\}$ への奇写像を作る。 $u\in\mathbb{R}^V$ が $u_v\ge0$、$u\neq0$ で正の座標が $n+1$ 個以下なら $u/\|u\|_1\in K_n$ である。このような $u$ と $u=0$ に対し、$F(u):=\|u\|_1\,f(u/\|u\|_1)$、$F(0):=0$ と定める。$K_n$ はコンパクトなので $M:=\max_{K_n}|f|$ は有限で、$|F(u)|\le M\|u\|_1$ から $F$ は $0$ でも連続である。$z\in\Sigma$ に対し $z^+$、$z^-$ は $F$ の定義域に入るので、
$$ G(z):=\bigl(\|z^+\|_1-\|z^-\|_1,\ F(z^+)-F(z^-)\bigr)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{2n}=\mathbb{R}^{2n+1} $$
は連続であり、$(-z)^+=z^-$、$(-z)^-=z^+$ から $G(-z)=-G(z)$ である。$G(z)=0$ とすると、$\|z^+\|_1+\|z^-\|_1=\|z\|_1=1$ と第 1 成分から $\|z^+\|_1=\|z^-\|_1=1/2$、第 2 成分から $f(2z^+)=f(2z^-)$ となる。$f$ は単射なので $z^+=z^-$ だが、$z^+$ と $z^-$ は $0$ でない座標の位置が重ならず、どちらも $0$ でないので矛盾する。よって $G$ は $0$ をとらない。
3. 矛盾。 $g:=G\circ\rho^{-1}\colon S(H)\to\mathbb{R}^{2n+1}$ は連続で $g(-y)=-g(y)$ を満たし、$0$ をとらない。$H$ から $\mathbb{R}^{2n+2}$ への線形な等長同型は $S(H)$ を $S^{2n+1}$ に移し、対蹠点を対蹠点に移すので、$g$ は $S^{2n+1}$ 上の奇写像で $0$ をとらないものと見なせる。Borsuk–Ulam の定理（$S^{k}$ から $\mathbb{R}^{k}$ への連続写像 $g$ には $g(y)=g(-y)$ となる点 $y$ がある。Hat02 Corollary 2B.7、p. 176）を $k=2n+1$ で使うと、$g(y)=g(-y)=-g(y)$ から $g(y)=0$ となる点 $y$ があり、矛盾する。$\square$