Schur–Weyl双対性

要点：行列単位のテンソル積が基底テンソルの間の行列単位になることと、共役 $P_\sigma\theta(t)P_\sigma^{-1}$ が因子の並べ替えになることを確かめる。

$e(t):=\frac1{n!}\sum_{\sigma\in S_n}\sigma\cdot t$ とおく。$e(t)$ は $S_n$ で動かず、動かない $t$ については $e(t)=t$ なので、$(U^{\otimes n})^{S_n}=e(U^{\otimes n})$ は $e(y_1\otimes\cdots\otimes y_n)$ の形の元で張られる。$\sigma$ を $\sigma^{-1}$ に取り替えると $n!\,e(y_1\otimes\cdots\otimes y_n)=\sum_\sigma y_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes y_{\sigma(n)}$ である。これが
$$ \sum_{\sigma\in S_n}y_{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes y_{\sigma(n)}=\sum_{S\subset\{1,\dots,n\}}(-1)^{n-\lvert S\rvert}\Bigl(\sum_{j\in S}y_j\Bigr)^{\otimes n} $$
に等しいことを示せばよい。右辺を展開すると、写像 $f\colon\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}$ ごとの項 $y_{f(1)}\otimes\cdots\otimes y_{f(n)}$ の一次結合になり、その係数は $f$ の像 $I$ を含む $S$ についての $(-1)^{n-\lvert S\rvert}$ の和である。$S=I\cup T$（$T\subset\{1,\dots,n\}\setminus I$）と書くと、この和は二項定理により $(1-1)^{n-\lvert I\rvert}$ に等しく、$I$ が全体のとき $1$、そうでないとき $0$ である。像が全体の $f$ はちょうど置換なので、左辺が得られる。$\square$

要点：$(t\cdot1+x)^{\otimes n}$ は $t$ の $n$ 次の多項式で、有限個を除く $t$ で可逆な写像のテンソル冪である。Vandermonde 行列で定数項 $x^{\otimes n}$ を取り出す。

1：$\theta(x\otimes\cdots\otimes x)=x^{\otimes n}$ なので、lem-sw-commutant、lem-sw-polarization（$U=\operatorname{End}_k(V)$、標数 $0$ なので $n!$ は可逆）、lem-sw-invertible（標数 $0$ の体は無限体）により、$\operatorname{End}_{S_n}(V^{\otimes n})$ は $x^{\otimes n}$ たちで張られ、それは $B$ である。
2：半単純環 の記事の定理「Maschke の定理」により $k[S_n]$ は半単純環である。$A$ は $k[S_n]$ の商環であり、左 $A$ 加群 $A$ は半単純な $k[S_n]$ 加群 $k[S_n]$ の商なので、同記事の補題「補部分加群の存在」の 2 により半単純である（$A$ 部分加群と $k[S_n]$ 部分加群は同じもの）。よって $A$ は半単純環であり、$V^{\otimes n}$ は半単純な $A$ 加群である。1 により $B=\operatorname{End}_A(V^{\otimes n})$ なので、二重中心化定理（Jacobsonの稠密性定理 の記事の定理「二重中心化定理」の 1）から $A=\operatorname{End}_B(V^{\otimes n})$ を得る。$\mathrm{GL}(V)$ の像は $B$ を張るので、$\operatorname{End}_B(V^{\otimes n})=\operatorname{End}_{\mathrm{GL}(V)}(V^{\otimes n})$ である。
3：二重中心化定理の 2 を $k=\mathbb{C}$、$E=V^{\otimes n}$ に当てる。単純 $A$ 加群は $k[S_n]$ の作用の核が $0$ で作用する単純 $k[S_n]$ 加群なので、$V^{\otimes n}$ に現れる単純 $A$ 加群は、$V^{\otimes n}$ に現れる $M_\lambda$ である。そのような $\lambda$ について $W_\lambda:=\operatorname{Hom}_A(M_\lambda,V^{\otimes n})=\mathbb{S}_\lambda V$ であり、$B$ の作用 $b\circ\varphi$ は $b=g^{\otimes n}$ のとき $\mathrm{GL}(V)$ の作用である。$V^{\otimes n}$ に現れない $\lambda$ については、$V^{\otimes n}$ は $M_\lambda$ と同型でない単純加群の和なので、Schur の補題により $\mathbb{S}_\lambda V=0$ である。二重中心化定理の 2 から、写像 $m\otimes\varphi\mapsto\varphi(m)$ は同型であり、$0$ でない $\mathbb{S}_\lambda V$ は互いに同型でない単純 $B$ 加群で、$B$ は半単純環である。$\mathrm{GL}(V)$ の像は $B$ を張るので、$\mathbb{S}_\lambda V$ の $\mathrm{GL}(V)$ で保たれる部分空間は $B$ 部分加群と同じであり、$\mathrm{GL}(V)$ の作用と可換な線形写像は $B$ 準同型と同じである。よって $\mathbb{S}_\lambda V$ は既約で、互いに同値でない。$V^{\otimes n}$ は $B$ 加群として $\bigoplus_\lambda(\mathbb{S}_\lambda V)^{\oplus\dim M_\lambda}$ なので完全可約である。$\square$

$M_{(n)}$ は自明表現 $\mathbb{C}$ なので、$\varphi\mapsto\varphi(1)$ により $\mathbb{S}_{(n)}V\cong(V^{\otimes n})^{S_n}$（対称テンソルの空間）であり、これは $\mathrm{GL}(V)$ の作用と両立する。対称代数 の記事の命題「対称テンソルとの比較」により、標数 $0$ では対称テンソルの空間は $\operatorname{Sym}^n(V)$ と $\mathrm{GL}(V)$ の作用と両立して同型である。$\operatorname{Sym}^n(V)\neq0$ なので、主定理の 3 により既約である。
同様に $M_{(1,\dots,1)}$ は符号表現なので、$\mathbb{S}_{(1,\dots,1)}V$ は交代テンソル $\{t\mid P_\sigma t=\operatorname{sgn}(\sigma)t\}$ の空間 $\mathcal{A}^n$ と同型である。$a(v_1,\dots,v_n):=\sum_\sigma\operatorname{sgn}(\sigma)P_\sigma(v_1\otimes\cdots\otimes v_n)$ は交代的な多重線形写像で値は $\mathcal{A}^n$ に入るので、外積代数 の記事の定理「外積代数の普遍性」により線形写像 $\textstyle\bigwedge^n(V)\to\mathcal{A}^n$ が定まる。基底 $e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_n}$（$i_1< \cdots< i_n$）の像は、基底テンソルの互いに交わらない $S_n$ 軌道の上の交代和なので一次独立である。$t\in\mathcal{A}^n$ をとる。添字に重複のある基底テンソルについて、重複した 2 つの位置を入れ替える互換 $\tau$ はそれを動かさないので、$P_\tau t=-t$ の両辺でその係数 $c$ を比べると $c=-c$、すなわち $c=0$ である。ほかの係数は、$P_\sigma t=\operatorname{sgn}(\sigma)t$ により軌道ごとに符号を除いて同じである。よって $t$ は上の像の一次結合であり、この写像は $\mathrm{GL}(V)$ の作用と両立する同型で、$\dim\mathcal{A}^n=\binom Nn$ であり、$n>N$ なら $0$ である。$n\le N$ なら主定理の 3 により既約である。$\square$