Sorgenfrey平面

1. 因子の開基の元の直積の全体は直積位相の開基である（直積位相 の命題「因子の開基から作る直積位相の開基」）。
2. $U$ が開で $(x,y)\in U$ ならば、1 により $(x,y)\in[a,b)\times[c,d)\subseteq U$ となる半開長方形がある。$\varepsilon=\min\{b-x,d-y\}>0$ とおけば $Q(x,y;\varepsilon)\subseteq[a,b)\times[c,d)\subseteq U$ である。逆に条件が成り立てば、$U$ は半開正方形の合併なので開である。
3. $W\in\mathcal{O}_{E^2}$、$(x,y)\in W$ とすると、ある $\delta>0$ で $(x-\delta,x+\delta)\times(y-\delta,y+\delta)\subseteq W$ となり、$Q(x,y;\delta)$ はこれに含まれる。2 により $W\in\mathcal{O}_{L^2}$ である。補集合をとれば後半が従う。
4. $[a,b)\times[c,d)$ は 1 により開である。その補集合は
   $$ \bigl((\mathbb{R}\setminus[a,b))\times\mathbb{R}\bigr)\cup\bigl(\mathbb{R}\times(\mathbb{R}\setminus[c,d))\bigr) $$
   であり、$[a,b)$ と $[c,d)$ は $\mathbb{R}_L$ で閉（Sorgenfrey直線 の命題「開基の元は開かつ閉」）だから、右辺は開集合の直積の合併として開である。$\square$

1. prop-sorgenfrey-plane-basis の 2 による。$U$ が $(x,y)$ の開近傍ならば $Q(x,y;\varepsilon)\subseteq U$ となる $\varepsilon$ があり、$1/n< \varepsilon$ ならば $Q(x,y;1/n)\subseteq U$ である。
2. 空でない開集合は半開正方形 $Q(x,y;\varepsilon)$ を含み、開区間 $(x,x+\varepsilon)$ と $(y,y+\varepsilon)$ はそれぞれ有理数 $r,s$ を含むので $(r,s)\in Q(x,y;\varepsilon)\cap\mathbb{Q}^2$ である。$\mathbb{Q}^2$ は可算である。
3. Hausdorff 性：$(x,y)\ne(x',y')$ とする。$x< x'$ ならば $[x,x')\times\mathbb{R}$ と $[x',\infty)\times\mathbb{R}$ は 2 点をそれぞれ含む交わらない開集合である（$[x',\infty)=\bigcup_n[x',x'+n)$ は $\mathbb{R}_L$ で開）。$x'< x$ のときは役割を入れ替え、$x=x'$ のときは第 2 座標で同じことをすればよい。
   完全正則性：$p=(x_0,y_0)$ とする。$U=\mathbb{R}^2\setminus F$ は $p$ を含む開集合なので、半開正方形 $R=Q(x_0,y_0;\varepsilon)\subseteq U$ がある。$R$ の特性関数を $\chi_R$ とし $f=1-\chi_R$ とおく。$R$ は開かつ閉（prop-sorgenfrey-plane-basis の 4）なので、任意の集合の $f$ による逆像は $\emptyset$、$R$、$\mathbb{R}^2\setminus R$、$\mathbb{R}^2$ のいずれかで開であり、$f$ は連続である。$f(p)=0$ であり、$F\subseteq\mathbb{R}^2\setminus R$ 上で $f=1$ である。正則性は、$f^{-1}([0,1/2))$ と $f^{-1}((1/2,1])$ が $p$ と $F$ を分ける開集合であることから従う。$\square$

1. 半開長方形 $[a,b)\times[c',d')$ と $H_c$ の交わりは、$c\in[c',d')$ ならば $[a,b)\times\{c\}$、そうでなければ空集合である。よって $H_c$ の相対位相の開基は $\{[a,b)\times\{c\}\}$ であり、$x\mapsto(x,c)$ は $\mathbb{R}_L$ の開基を $H_c$ の開基に移す全単射だから同相写像である。同様に $[a,b)\times[c',d')\cap\Delta^+=\{(t,t)\mid \max\{a,c'\}\le t< \min\{b,d'\}\}$ であり、これは空であるか半開区間の像なので、$x\mapsto(x,x)$ も同相写像である。
2. $\Delta^-$ は連続関数 $(x,y)\mapsto x+y$ の零点集合として $\mathbb{R}^2$ の通常の閉集合なので、prop-sorgenfrey-plane-basis の 3 により $\mathbb{R}_L^2$ でも閉である。$(t,-t)\in Q(x,-x;1)$ ならば $t\ge x$ かつ $-t\ge-x$ なので $t=x$ である。よって各一点集合 $\{(x,-x)\}$ は $\Delta^-$ の相対開集合であり、相対位相は離散である。
3. $S\subseteq\Delta^-$ は離散空間 $\Delta^-$ の閉集合であり、$\Delta^-$ は $\mathbb{R}_L^2$ の閉集合だから、$S$ は $\mathbb{R}_L^2$ の閉集合である。$\square$

第2可算性は部分空間に遺伝する（第2可算公理 の命題「部分空間への遺伝」）。$\mathbb{R}_L^2$ が第2可算ならば、その部分空間 $H_0$、したがって prop-sorgenfrey-plane-lines の 1 により $\mathbb{R}_L$ も第2可算になるが、これは Sorgenfrey直線 の命題「第2可算公理を満たさないこと」に反する。
点 $(x,y)$ がコンパクトな近傍 $N$ をもつとする。第 1 成分への射影 $\pi_1\colon\mathbb{R}_L^2\to\mathbb{R}_L$ は連続なので $\pi_1(N)$ は $\mathbb{R}_L$ のコンパクト集合であり、$N\supseteq Q(x,y;\varepsilon)$ から $\pi_1(N)\supseteq[x,x+\varepsilon)$ は非可算である。これは Sorgenfrey直線 の命題「コンパクト部分集合の可算性」に反する。$\square$

各 $x\in\mathbb{R}$ について $B_x=Q(x,-x;1)$ とおき、
$$ \mathcal{U}=\{\mathbb{R}^2\setminus\Delta^-\}\cup\{B_x\mid x\in\mathbb{R}\} $$
を考える。prop-sorgenfrey-plane-lines の 2 により $\mathbb{R}^2\setminus\Delta^-$ は開であり、$\Delta^-$ の各点 $(x,-x)$ は $B_x$ に含まれるので、$\mathcal{U}$ は開被覆である。同じく 2 により $B_x\cap\Delta^-=\{(x,-x)\}$ なので、点 $(x,-x)$ を含む $\mathcal{U}$ の元は $B_x$ だけである。したがって $\mathcal{U}$ の部分被覆はすべての $B_x$（$x\in\mathbb{R}$）を含み、非可算である。高々可算な部分被覆は存在しない。
$\Delta^-$ は非可算な離散空間であり、その稠密部分集合は $\Delta^-$ 自身しかない（一点集合が開だから）。よって $\Delta^-$ は可分でない。$\square$

$\mathbb{R}_L^2$ が正規であると仮定して矛盾を導く。$D=\mathbb{Q}^2$ とおく。
段 1：単射 $\Phi\colon\mathcal{P}(\Delta^-)\to\mathcal{P}(D)$ を作る。$S\subseteq\Delta^-$ とすると、prop-sorgenfrey-plane-lines の 3 により $S$ と $\Delta^-\setminus S$ はともに $\mathbb{R}_L^2$ の閉集合で、互いに交わらない。正規性により、交わらない開集合 $U_S\supseteq S$、$V_S\supseteq\Delta^-\setminus S$ を、各 $S$ について一つずつ選ぶ（選択公理を用いる）。$\Phi(S)=U_S\cap D$ とおく。
$S\ne T$ とし、$p\in S\setminus T$ とする（$p\in T\setminus S$ のときは $S$ と $T$ を入れ替える）。$p\in S\subseteq U_S$ かつ $p\in\Delta^-\setminus T\subseteq V_T$ なので、$U_S\cap V_T$ は空でない開集合であり、prop-sorgenfrey-plane-basic の 2 により $D$ の点 $q$ を含む。$q\in V_T$ と $U_T\cap V_T=\emptyset$ から $q\notin U_T$ である。よって $q\in\Phi(S)\setminus\Phi(T)$ であり、$\Phi$ は単射である。
段 2：単射 $\psi\colon\mathcal{P}(D)\to\mathbb{R}$ を作る。$D$ は可算無限集合なので全単射 $e\colon\mathbb{N}_{\ge1}\to D$ をとる。$T\subseteq D$ に対し
$$ \psi(T)=\sum_{n\ge1,\ e(n)\in T}10^{-n} $$
とおく。$T\ne T'$ とし、$e(n)$ が $T$ と $T'$ の一方だけに属するような最小の $n$ を $m$ とする。$e(m)\in T$、$e(m)\notin T'$ としてよい。$n< m$ の項は打ち消し合うので
$$ \psi(T)-\psi(T')\ge10^{-m}-\sum_{n>m}10^{-n}=10^{-m}-\frac{10^{-m}}{9}>0 $$
であり、$\psi$ は単射である。
段 3：$\iota(x)=(x,-x)$ は $\mathbb{R}$ から $\Delta^-$ への全単射なので、$X\mapsto\iota(X)$ は単射 $\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}(\Delta^-)$ である。これと $\Phi$、$\psi$ を合成すると、単射 $\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ が得られる。しかし任意の集合 $X$ について $\mathcal{P}(X)$ から $X$ への単射は存在しない（Cantorの定理 の定理「Cantorの定理」の 3）。これは矛盾である。$\square$

$A,B\subseteq\Delta^-$ なので、prop-sorgenfrey-plane-lines の 3 により閉集合である。$V$ を $B$ を含む開集合とする。
段 1：$n\ge1$ について
$$ K_n=\{x\in[0,1]\setminus\mathbb{Q}\mid Q(x,-x;1/n)\subseteq V\} $$
とおく。無理数 $x\in[0,1]$ については $(x,-x)\in B\subseteq V$ なので、prop-sorgenfrey-plane-basis の 2 により $Q(x,-x;\varepsilon)\subseteq V$ となる $\varepsilon$ があり、$1/n< \varepsilon$ ならば $x\in K_n$ である。したがって
$$ [0,1]=\bigcup_{n\ge1}\overline{K_n}\ \cup\bigcup_{r\in\mathbb{Q}\cap[0,1]}\{r\} $$
である。ここで $\overline{K_n}$ は $[0,1]$ の通常の位相での閉包とする。右辺は可算個の閉集合の合併である。
段 2：$[0,1]$ は空でない完備距離空間なので、Baireのカテゴリー定理 の系「閉集合による可算被覆」により、右辺の閉集合のどれかは $[0,1]$ の中で空でない内部をもつ。一点集合 $\{r\}$ の内部は空なので、ある $n$ について $\overline{K_n}$ の内部は空でなく、開区間 $(a,b)$（$0\le a< b\le1$）を含む。このとき $K_n$ は $(a,b)$ で稠密である。
段 3：有理数 $q\in(a,b)$ をとり、点 $(q,-q)\in A$ の任意の半開正方形 $Q(q,-q;\delta)$ が $V$ と交わることを示す。$0< \varepsilon< \min\{\delta,1/n\}$ をとる。開区間 $(\max\{a,q-\varepsilon\},q)$ は $(a,b)$ の空でない開部分区間なので、$K_n$ の点 $y$ を含む。このとき $q-\varepsilon< y< q$ なので
$$ y< q< y+\varepsilon< y+\frac1n,\qquad -y< -q+\varepsilon< -y+\frac1n $$
である（後者の左の不等号は $y>q-\varepsilon$、右の不等号は $q-y>0>\varepsilon-1/n$ による）。よって点 $(q,-q+\varepsilon)$ は $Q(y,-y;1/n)\subseteq V$ に属する。一方 $0< \varepsilon< \delta$ なので $(q,-q+\varepsilon)\in Q(q,-q;\delta)$ でもある。
段 4：$U$ を $A$ を含む開集合とすると、$(q,-q)\in U$ から $Q(q,-q;\delta)\subseteq U$ となる $\delta>0$ があり、段 3 によりこれは $V$ と交わる。よって $U\cap V\ne\emptyset$ である。$\square$

1. そのような $f$ があれば、$f^{-1}([0,1/2))$ と $f^{-1}((1/2,1])$ は $A$ と $B$ を含む交わらない開集合であり、prop-sorgenfrey-plane-rational-irrational に反する（正規空間 の命題「関数による分離は正規性を導く」と同じ議論）。
2. 可分かつパラコンパクトな空間は Lindelöf である（可分空間 の命題「可分かつパラコンパクトならLindelöf」）。$\mathbb{R}_L^2$ は可分（prop-sorgenfrey-plane-basic の 2）で Lindelöf でない（thm-sorgenfrey-plane-not-lindelof）から、パラコンパクトでない。パラコンパクトな Hausdorff 空間は正規である（パラコンパクト空間 の命題「正則性と正規性」）ことと thm-sorgenfrey-not-normal からも従う。
3. 距離空間は正規である（正規空間 の定理「距離空間は正規」）から、thm-sorgenfrey-not-normal により従う。可分な距離空間は第2可算である（第2可算公理 の定理「距離空間における同値性」）ことと cor-sorgenfrey-plane-not-second-countable からも従う。$\square$