Noether空間
概要
Noether空間（Noetherian topological space）とは、閉集合の降鎖がつねにある番号から先で一定になる位相空間のことであり、Noether 環のスペクトルや体上のアフィン空間・射影空間の Zariski 位相が典型例である。Noether 空間であることはすべての部分集合が準コンパクトであることと同値で、Noether 性は部分空間・有限個の和・連続像に受け継がれ、空でない閉集合は互いに含まれない有限個の既約閉集合の和にただ 1 通りに分解する。Hausdorff な Noether 空間は有限集合に限られ、代数幾何では層の帰納極限が切断ごとに計算できることなどの基礎になる。
Noether環は「イデアルの昇鎖がいつか止まる」環であり、その有限性が多くの議論を有限回の手続きで終わらせる。Noether空間（Noetherian topological space）は、同じ有限性を位相空間の閉集合について課したものであり、閉集合の降鎖 $F_1\supset F_2\supset\cdots$ がいつかは一定になる空間をいう。Noether 環のスペクトル $\operatorname{Spec}A$ や、体上のアフィン空間・射影空間の Zariski位相 が典型例である。Noether 空間では、すべての部分集合が準コンパクトであり（thm-noeth-sp-quasi-compact）、部分空間・有限個の和・連続像に Noether 性が受け継がれ（prop-noeth-sp-subspace）、空でない閉集合は有限個の既約閉集合の和に書け、どれも他に含まれないようにすれば表示は一意である。逆に Hausdorff な Noether 空間は有限集合しかない（prop-noeth-sp-hausdorff）。代数幾何では、Noether 空間の上で層の帰納極限が切断ごとに計算でき（prop-noeth-sp-colimit）、層コホモロジーの議論の基礎になる。
定義
位相空間 $X$ が Noether 空間（Noetherian topological space）、または Noether 位相空間であるとは、$X$ の閉集合が降鎖条件を満たすこと、すなわち閉集合の列 $F_1\supset F_2\supset\cdots$ がつねにある番号から先で一定（$F_r=F_{r+1}=\cdots$）になることをいう。
この定義は 既約成分 の記事の定義「Noether位相空間」と同じであり、AM69 第 6 章演習 5（p. 79）、Har77 I.1 の定義（p. 5）とも一致する。閉集合を補集合の開集合に取り替えると、次のように言い換えられる。
- 開集合の昇鎖 $U_1\subset U_2\subset\cdots$ はつねにある番号から先で一定になる。
- 閉集合の空でない族はつねに包含について極小な元をもつ。開集合の空でない族はつねに包含について極大な元をもつ。
2 つ目の言い換えでは、降鎖条件から極小元の存在を導くときに、元を 1 つずつ選び続ける従属選択を使う（既約成分 の記事の定義「Noether位相空間」の直後の段落）。
部分集合 $Y\subset X$ は、相対位相で Noether 空間のとき Noether であるという。$Y$ の閉集合は $Y\cap F$（$F$ は $X$ の閉集合）の形の集合である。
直感
$\mathbb{R}$ の通常の位相では、閉区間 $[0,1]\supset[0,1/2]\supset[0,1/4]\supset\cdots$ のように閉集合をいくらでも細かく縮められる。Noether 空間ではそれができない。閉集合が「少ない」位相、たとえば Zariski 位相では、閉集合は多項式の共通零点であり、閉集合を真に小さくするたびに方程式が真に増える。Noether 環では方程式の生成するイデアルがいつまでも増え続けることはないので、閉集合の縮小もいつか止まる。
閉集合が少ないことは、開集合が少ないことでもあり、開被覆に使える開集合が少ないので、どんな部分集合も有限個の開集合で覆えてしまう（thm-noeth-sp-quasi-compact）。代数幾何で「準コンパクト」がほとんど自動的に成り立つのはこのためである。一方、Hausdorff 空間のように開集合が多い空間とは両立しない（prop-noeth-sp-hausdorff）。
例と反例
- 有限な位相空間は Noether 空間である。閉集合が有限個しかないので、真の降鎖は有限回で止まる。
- 無限集合 $X$ に余有限位相（空集合と補集合が有限な集合を開集合とする位相）を入れると Noether 空間である。$X$ と異なる閉集合は有限集合なので、降鎖が $X$ から真に下がった後は有限集合の降鎖になり、止まる。
- $A$ が Noether環 なら $\operatorname{Spec}A$ は Noether 空間である（既約成分 の記事の系「Noether環のスペクトル」、AM69 第 6 章演習 8）。とくに体 $k$ 上のアフィン空間 $\mathbb{A}^n_k=\operatorname{Spec}k[x_1,\dots,x_n]$ と $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は Noether 空間である。
- 代数閉体 $k$ 上の古典的なアフィン空間 $\mathbb{A}^n=k^n$（Zariski 位相）は Noether 空間である（Har77 Example I.1.4.7、p. 5）。射影空間 $\mathbb{P}^n$ は、$\mathbb{A}^n$ と同相な $n+1$ 個の開集合 $U_i=\{x_i\neq0\}$ で覆われる（Har77 Proposition I.2.2、p. 10）ので、prop-noeth-sp-subspace の 2 により Noether 空間である（Har77 Exercise I.2.5、p. 11）。
- 通常の位相の $\mathbb{R}$ は Noether 空間でない。閉集合 $[n,\infty)$（$n=1,2,\dots$）の降鎖は止まらない。
- 無限集合に離散位相を入れた空間は Noether 空間でない。異なる点 $x_1,x_2,\dots$ をとると、$\{x_n,x_{n+1},\dots\}$ の降鎖は止まらない。
- 無限個の変数の多項式環 $A=k[x_1,x_2,\dots]$ について $\operatorname{Spec}A$ は Noether 空間でない。閉集合 $V(x_1,\dots,x_n)$ の降鎖は、素イデアル $(x_1,\dots,x_n)$ を含み $(x_1,\dots,x_{n+1})$ を含まないので真に下がり続ける。また、開集合 $\operatorname{Spec}A\setminus V(x_1,x_2,\dots)$ は準コンパクトでない（準コンパクト の記事の例「開部分は準コンパクトとは限らない」）。
性質
準コンパクト性による特徴づけ
位相空間 $X$ について、次は同値である。
- $X$ は Noether 空間である。
- $X$ のすべての部分集合は、相対位相で準コンパクトである。
- $X$ のすべての開集合は準コンパクトである。
1 ⇒ 2。 $Y\subset X$ とし、$Y$ の開被覆を $\{Y\cap U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$（$U_\lambda$ は $X$ の開集合）とする。有限個の $U_\lambda$ の和集合全体の族 $\mathcal{V}$ は空でない（空集合は $0$ 個の和）開集合の族なので、定義の後の言い換えにより極大元 $V=U_{\lambda_1}\cup\dots\cup U_{\lambda_n}$ をもつ。$Y\not\subset V$ と仮定して $y\in Y\setminus V$ をとると、$y\in U_\mu$ となる $\mu$ があり、$V\subsetneq V\cup U_\mu\in\mathcal{V}$ となって極大性に反する。よって $Y\subset V$ であり、$Y\cap U_{\lambda_1},\dots,Y\cap U_{\lambda_n}$ は $Y$ を覆う。
2 ⇒ 3。 開集合は部分集合の特別な場合である。
3 ⇒ 1。 開集合の昇鎖 $U_1\subset U_2\subset\cdots$ をとり、$U:=\bigcup_nU_n$ とおく。$U$ は開集合なので準コンパクトであり、開被覆 $\{U_n\}_n$ から有限個 $U_{n_1},\dots,U_{n_k}$ を選んで $U$ を覆える。$N:=\max_jn_j$ とおくと、昇鎖なので $U=U_{n_1}\cup\dots\cup U_{n_k}=U_N$ であり、$n\ge N$ で $U_N\subset U_n\subset U=U_N$、すなわち $U_n=U_N$ である。よって開集合は昇鎖条件を満たし、補集合をとって閉集合は降鎖条件を満たす。$\square$
この同値は AM69 第 6 章演習 5–6（p. 79）にある。1 ⇒ 2 は Har77 Exercise I.1.7 (b)(c)（p. 8）にもある。3 ⇒ 1 の証明は選択を使わない。1 ⇒ 3 だけなら 準コンパクト の記事の命題「Noether 位相空間の開集合」でも示されている。
とくに Noether 空間の任意の開集合 $U,U'$ について $U\cap U'$ は準コンパクトである。スキームの議論では、アフィン開集合の共通部分が準コンパクトであることがしばしば必要になり、Noether 空間ではこれが自動的に成り立つ。
部分空間・有限個の和・連続像
- Noether 空間 $X$ の任意の部分集合 $Y$ は、相対位相で Noether 空間である。
- 位相空間 $X$ が有限個の部分集合 $Y_1,\dots,Y_m$ の和で、各 $Y_i$ が相対位相で Noether 空間なら、$X$ は Noether 空間である。
- $f\colon X\to Y$ が連続な全射で、$X$ が Noether 空間なら、$Y$ は Noether 空間である。
- $Y$ の閉集合の降鎖 $Y\cap F_1\supset Y\cap F_2\supset\cdots$（$F_n$ は $X$ の閉集合）をとる。$X$ での閉包 $G_n:=\overline{Y\cap F_n}$ を考えると、閉包は包含を保つので $G_1\supset G_2\supset\cdots$ は $X$ の閉集合の降鎖である。また $Y\cap F_n\subset Y\cap G_n\subset Y\cap F_n$（後者は $G_n\subset F_n$ による）なので $Y\cap G_n=Y\cap F_n$ である。$X$ は Noether 空間なので $G_n$ はある番号から先で一定になり、したがって $Y\cap F_n=Y\cap G_n$ も一定になる。
- $X$ の閉集合の降鎖 $F_1\supset F_2\supset\cdots$ をとる。各 $i$ について $F_n\cap Y_i$ は $Y_i$ の閉集合の降鎖なので、ある $N_i$ から先で一定である。$N:=\max_iN_i$ とおくと、$n\ge N$ で $F_n=\bigcup_i(F_n\cap Y_i)=\bigcup_i(F_N\cap Y_i)=F_N$ である。
- $Y$ の閉集合の降鎖 $G_1\supset G_2\supset\cdots$ をとると、$f$ が連続なので $f^{-1}(G_n)$ は $X$ の閉集合の降鎖であり、ある番号から先で一定になる。$f$ は全射なので $G_n=f\bigl(f^{-1}(G_n)\bigr)$ であり、$G_n$ も一定になる。$\square$
1 は AM69 第 6 章演習 5、Har77 Exercise I.1.7 (c) にある。2 から、有限個のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A_i$（$A_i$ は Noether 環）で覆われるスキーム、すなわち Noether スキームの位相空間は Noether 空間である。1 から、その任意の開集合・閉集合も Noether 空間である。2 の「有限個」は外せない。$\mathbb{Z}$ に離散位相を入れた空間は 1 点集合（Noether 空間）の可算個の和だが、Noether 空間でない（ex-noeth-sp-non-examples の 2）。
Hausdorff 空間との関係
Hausdorff な Noether 空間は有限集合であり、その位相は離散位相である。
$X$ を Hausdorff な Noether 空間とする。thm-noeth-sp-quasi-compact により $X$ の任意の部分集合 $Y$ は準コンパクトであり、Hausdorff 空間の準コンパクトな部分集合は閉集合なので、$Y$ は閉集合である。補集合をとって、すべての部分集合は開集合でもある。よって $X$ の位相は離散位相である。$X$ 自身も準コンパクトなので、1 点集合による開被覆 $\{\{x\}\}_{x\in X}$ は有限部分被覆をもち、$X$ は有限集合である。$\square$
これは Har77 Exercise I.1.7 (d)（p. 8）である。Noether 空間は位相空間としては Hausdorff 空間と正反対の性質をもち、通常の位相の $\mathbb{C}^n$ で使う直観（点を小さな開集合で分離する）はそのままでは使えない。
既約成分への分解と次元
Noether 空間の最も重要な性質は、閉集合が有限個の「かたまり」に分かれることである。空でない位相空間が 2 つの真の閉部分集合の和に書けないとき既約空間といい、包含について極大な既約部分集合を既約成分という。次の結果は 既約成分 の記事の命題「Noether位相空間の既約分解」で証明されている（Har77 Proposition I.1.5、p. 5、AM69 第 6 章演習 7）。
- Noether 空間の空でない閉集合 $F$ は、有限個の既約閉集合の和 $F=Z_1\cup\dots\cup Z_n$ に書け、どの $Z_i$ も他の $Z_j$ に含まれないようにできる。
- このような表示で $F=X$ とすると、$Z_1,\dots,Z_n$ はちょうど $X$ の既約成分の全体であり、表示は順序を除いて一意である。
とくに Noether 空間の既約成分は有限個である。prop-noeth-sp-subspace の 1 により Noether 空間の閉集合・開集合も Noether 空間なので、それらの既約成分も有限個である。たとえば代数多様体 $V$ の真の閉集合 $V\setminus U$ の既約成分は有限個であり、余次元 $1$ の部分多様体に沿った有理関数の位数が $0$ でない成分が有限個であることは、この事実を使って示される（Har77 Lemma II.6.1、p. 131。Weil因子、Chow環）。
位相空間 $X$ の次元は、既約閉集合の真の鎖 $Z_0\subsetneq Z_1\subsetneq\cdots\subsetneq Z_n$ の長さ $n$ の上限である（Krull次元 の記事の定義「位相空間のKrull次元」、Har77 I.1 の定義、p. 5）。Noether 空間の既約成分は有限個だが、次元は有限とは限らない。
自然数の集合 $X=\{0,1,2,\dots\}$ に、$\emptyset$、$X$、$F_n:=\{0,1,\dots,n\}$（$n\ge0$）を閉集合とする位相を入れる。これらの有限個の和は最大のものに等しく、任意個の共通部分は最小のもの（$\emptyset$ を含めば $\emptyset$）に等しいので、閉集合の公理を満たす。
閉集合の降鎖は、$X$ から真に下がった後は有限集合 $F_n$ の降鎖になるので止まり、$X$ は Noether 空間である。$F_n$ の閉部分集合は $\emptyset$ と $F_m$（$m\le n$）であり、真の閉部分集合 2 つの和は真の閉部分集合なので、各 $F_n$ は既約である。したがって
$$
F_0\subsetneq F_1\subsetneq\cdots\subsetneq F_n
$$
は長さ $n$ の既約閉集合の鎖であり、$n$ はいくらでも大きくとれるので、$X$ の次元は無限大である。
これは Har77 Exercise I.1.10 (e)（p. 8）の問いに対する 1 つの答えである。Noether 環でも Krull 次元が無限大になるものがあり（Krull次元 の記事の定理「永田の例：無限次元の Noether 環」。証明は 永田の例(無限次元のNoether環)）、そのスペクトルも次元が無限大の Noether 空間になる。
Noether 環のスペクトル
$\operatorname{Spec}A$ の閉集合は $V(I)$（$I$ はイデアル）であり、$V(I)\subset V(J)$ は $\sqrt{J}\subset\sqrt{I}$ と同値である（Zariski位相 の記事の命題「イデアルと閉集合の対応」）。したがって $I\mapsto V(I)$ は、根基イデアル（$\sqrt{I}=I$ となるイデアル）の全体から閉集合の全体への、包含の向きを逆にする全単射である。
可換環 $A$ について、$\operatorname{Spec}A$ が Noether 空間であることと、$A$ の根基イデアルが昇鎖条件を満たすことは同値である。とくに $A$ が Noether 環なら $\operatorname{Spec}A$ は Noether 空間である。逆は成り立たない。
上の全単射は包含の向きを逆にするので、閉集合の降鎖 $V(I_1)\supset V(I_2)\supset\cdots$ と根基イデアルの昇鎖 $\sqrt{I_1}\subset\sqrt{I_2}\subset\cdots$ が対応し、一方が一定になることと他方が一定になることは同値である。よって前半が成り立つ。Noether 環ではすべてのイデアルの昇鎖が止まるので、根基イデアルの昇鎖も止まる。
逆が成り立たないことを示す。体 $k$ 上の無限変数の多項式環を、すべての 2 次の単項式 $x_ix_j$（$i,j\ge1$）で生成されるイデアルで割った環
$$
A=k[x_1,x_2,\dots]/(x_ix_j: i,j\ge1)
$$
を考える。$A$ は $k$ 上のベクトル空間として $1,x_1,x_2,\dots$ を基底にもつ（2 次以上の単項式がすべて $0$ になる）。各 $x_i$ は $x_i^2=0$ を満たすので、すべての素イデアルに含まれる。よって素イデアルは $\mathfrak{m}:=(x_1,x_2,\dots)$ を含み、$A/\mathfrak{m}\cong k$ は体なので $\mathfrak{m}$ は極大イデアルである。したがって $\operatorname{Spec}A=\{\mathfrak{m}\}$ は 1 点であり、Noether 空間である。一方、$\mathfrak{m}$ は有限生成でない。実際 $\mathfrak{m}=(f_1,\dots,f_r)$ とすると、$\mathfrak{m}^2=0$ から $\mathfrak{m}=Af_1+\dots+Af_r=kf_1+\dots+kf_r$（$A=k+\mathfrak{m}$ で $\mathfrak{m}f_i=0$）は有限次元になるが、$\mathfrak{m}$ は一次独立な $x_1,x_2,\dots$ を含む。よって $A$ は Noether 環でない。$\square$
「$A$ が Noether 環なら $\operatorname{Spec}A$ は Noether 空間である」は AM69 第 6 章演習 8（p. 79）にあり、同演習は逆が成り立つかを問うている。前半の同値と逆の反例は、上の証明で示した。スペクトルの位相は冪零元を見ないので、$\operatorname{Spec}A$ の Noether 性は $A$ を冪零元根基で割った環 $A/\sqrt{0}$ のふるまいしか反映しない。$A$ が Noether 環なら $\operatorname{Spec}A$ は sober な Noether 空間であり、スペクトル空間の典型例でもある（スペクトル空間 の記事の命題「sober Noether空間」）。
層の帰納極限
代数幾何では、Noether 空間の上の層について、帰納極限や直和が切断ごとに計算できることがよく使われる。$I$ を有向集合（任意の $i,j\in I$ に $i,j\le k$ となる $k$ がある前順序集合）とし、$X$ 上のアーベル群の層の族 $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ と、$i\le j$ ごとの層の射 $\varphi_{ij}\colon\mathcal{F}_i\to\mathcal{F}_j$（$\varphi_{ii}=\mathrm{id}$、$\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}=\varphi_{ik}$）が与えられているとする。開集合 $U$ に有向帰納極限 $\varinjlim_i\mathcal{F}_i(U)$ を対応させる前層を $\mathcal{P}$ と書く。一般の位相空間では $\mathcal{P}$ は層とは限らず、層の圏での帰納極限 $\varinjlim\mathcal{F}_i$ は $\mathcal{P}$ の層化である（帰納極限）。
$\mathcal{P}(U)$ の元は、ある $i$ と $s\in\mathcal{F}_i(U)$ の類 $[s]$ で表され、$s\in\mathcal{F}_i(U)$ と $t\in\mathcal{F}_j(U)$ が同じ類を表すことは、ある $k\ge i,j$ で $\varphi_{ik}(s)=\varphi_{jk}(t)$ となることである。とくに $[s]=0$ は、ある $k\ge i$ で $\varphi_{ik}(s)=0$ となることと同値である。有向集合なので、有限個の類はつねに共通の $\mathcal{F}_k(U)$ の元で表せる。
$X$ を Noether 空間とし、$(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ を $X$ 上のアーベル群の層の有向系とする。このとき前層 $\mathcal{P}\colon U\mapsto\varinjlim_i\mathcal{F}_i(U)$ はすでに層である。したがって、すべての開集合 $U$ について $(\varinjlim\mathcal{F}_i)(U)=\varinjlim_i\mathcal{F}_i(U)$ である。
開集合 $U$ とその開被覆 $\{U_\alpha\}_\alpha$ をとる。thm-noeth-sp-quasi-compact により $U$ は準コンパクトなので、有限個 $U_1,\dots,U_m$ で $U$ を覆える。
局所性。 $[s]\in\mathcal{P}(U)$（$s\in\mathcal{F}_i(U)$）が、すべての $\alpha$ で $[s]|_{U_\alpha}=0$ を満たすとする。とくに $\ell=1,\dots,m$ について $[s|_{U_\ell}]=0$ なので、$k_\ell\ge i$ で $\varphi_{ik_\ell}(s)|_{U_\ell}=0$ となるものがある。$k\ge k_1,\dots,k_m$ をとると、$t:=\varphi_{ik}(s)\in\mathcal{F}_k(U)$ は各 $U_\ell$ への制限が $0$ であり、$\mathcal{F}_k$ は層で $U_1,\dots,U_m$ は $U$ を覆うので $t=0$ である。よって $[s]=0$ である。
貼り合わせ。 $[s_\alpha]\in\mathcal{P}(U_\alpha)$ が、すべての $\alpha,\beta$ で $U_\alpha\cap U_\beta$ への制限が一致するとする。有限個の $[s_1],\dots,[s_m]$ を共通の $k$ で $t_\ell\in\mathcal{F}_k(U_\ell)$ と表す。各組 $(\ell,\ell')$ について $[t_\ell|_{U_\ell\cap U_{\ell'}}]=[t_{\ell'}|_{U_\ell\cap U_{\ell'}}]$ なので、ある $k_{\ell\ell'}\ge k$ で $\varphi_{kk_{\ell\ell'}}(t_\ell)$ と $\varphi_{kk_{\ell\ell'}}(t_{\ell'})$ が $U_\ell\cap U_{\ell'}$ 上で一致する。組は有限個なので、すべての $k_{\ell\ell'}$ 以上の $k'$ をとると、$t'_\ell:=\varphi_{kk'}(t_\ell)\in\mathcal{F}_{k'}(U_\ell)$ は共通部分で一致する。$\mathcal{F}_{k'}$ は層なので、$t'\in\mathcal{F}_{k'}(U)$ で $t'|_{U_\ell}=t'_\ell$ となるものがあり、$[t']|_{U_\ell}=[s_\ell]$（$\ell=1,\dots,m$）である。
任意の $\alpha$ について $[t']|_{U_\alpha}=[s_\alpha]$ を示す。$U_\alpha$ は $U_\alpha\cap U_1,\dots,U_\alpha\cap U_m$ で覆われ、$U_\alpha\cap U_\ell$ 上では $[t']|=[s_\ell]|=[s_\alpha]|$ である（後者は $[s_\alpha]$ たちの両立性）。よって差 $[t']|_{U_\alpha}-[s_\alpha]\in\mathcal{P}(U_\alpha)$ は被覆 $\{U_\alpha\cap U_\ell\}_\ell$ の各成員への制限が $0$ であり、開集合 $U_\alpha$ に局所性を当てると $0$ である。以上で $\mathcal{P}$ は層である。前層が層なら層化は自分自身なので、最後の等式が従う。$\square$
これは Har77 Exercise II.1.11（p. 67）である。たとえば層の族 $(\mathcal{F}_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の直和 $\bigoplus_\lambda\mathcal{F}_\lambda$ は、有限部分和の有向系の帰納極限なので、Noether 空間の上では $\bigl(\bigoplus_\lambda\mathcal{F}_\lambda\bigr)(U)=\bigoplus_\lambda\mathcal{F}_\lambda(U)$ である。ここから、脆弱層（制限写像がすべて全射な層）の直和が脆弱層であることが分かる（脆弱層）。さらに Noether 空間 $X$ の上では、層コホモロジーが有向帰納極限と交換し（$\varinjlim H^i(X,\mathcal{F}_i)\cong H^i(X,\varinjlim\mathcal{F}_i)$、Har77 Proposition III.2.9、p. 209）、$X$ の次元が $n$ なら $i>n$ で任意のアーベル群の層 $\mathcal{F}$ について $H^i(X,\mathcal{F})=0$ である（Grothendieck の消滅定理、Har77 Theorem III.2.7、p. 208）。この 2 つの結果はこの記事では証明しない（層コホモロジー）。
反例：仮定を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 閉集合の降鎖条件 | 通常の位相の $\mathbb{R}$ | 開集合の準コンパクト性（$\mathbb{R}$ 自身が準コンパクトでない） |
| 閉集合の降鎖条件 | $\operatorname{Spec}k[x_1,x_2,\dots]$ | 開集合の準コンパクト性（ex-noeth-sp-non-examples の 3） |
| Hausdorff 性 | 無限集合の余有限位相 | 有限集合で離散位相であること（prop-noeth-sp-hausdorff） |
| 和が有限個 | 離散位相の $\mathbb{Z}$（1 点集合の可算個の和） | Noether 性（prop-noeth-sp-subspace の 2） |
| すべてのイデアルの昇鎖条件（根基イデアルの昇鎖条件だけを仮定） | $k[x_1,x_2,\dots]/(x_ix_j)$ | $A$ が Noether 環であること（prop-noeth-sp-spec の逆） |
2 行目の $\operatorname{Spec}k[x_1,x_2,\dots]$ は空間全体としては準コンパクトである（準コンパクト の記事の命題「アフィンスキームの準コンパクト性」）。崩れるのは開集合 $\operatorname{Spec}A\setminus V(x_1,x_2,\dots)$ の準コンパクト性であり、thm-noeth-sp-quasi-compact の 3 は全空間だけでなくすべての開集合について述べている。
注意
- Noether 空間の既約成分は有限個だが、次元は有限とは限らない（ex-noeth-sp-infinite-dimension）。また $k[x_1,x_2,\dots]/(x_ix_j)$ の例のように Noether でない環のスペクトルが Noether 空間になることもあり、位相の Noether 性と環の Noether 性は別の条件である。
- 「Noether」の語は環（Noether環）、加群（Noether 加群）、スキーム（Noether スキーム）にも使われる。スキームが Noether であるとは、有限個の Noether 環のスペクトルで覆われることであり、位相空間が Noether であることより強い。たとえば $k[x_1,x_2,\dots]/(x_ix_j)$ のスペクトルは Noether 空間だが、Noether スキームではない。
関連項目
参考文献
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