Mayer–Vietoris完全列

段 1（鎖複体の短完全列）．各次数の列
$$ 0\to C_n(A\cap B)\xrightarrow{\ \varphi\ }C_n(A)\oplus C_n(B)\xrightarrow{\ \psi\ }C_n(A+B)\to0,\qquad\varphi(x)=(x,-x),\quad\psi(x,y)=x+y $$
は完全である。$\varphi$ は明らかに単射で、$\psi\circ\varphi=0$ である。$\psi(x,y)=0$ なら $x=-y$ は $A$ の鎖でも $B$ の鎖でもあり、自由アーベル群の基底を比べると、像が $A$ と $B$ の両方に含まれる単体、すなわち $A\cap B$ の単体の一次結合である。よって $(x,y)=\varphi(x)$。$\psi$ の全射性は $C_n(A+B)$ の定義そのものである。$\varphi,\psi$ は境界作用素と可換なので、これは鎖複体の短完全列である。
段 2（長完全列）．鎖複体の短完全列はホモロジーの長完全列を誘導する（長完全列 の記事の定理（複体の短完全列の長完全列）、あるいは 相対ホモロジーと長完全列 の記事の補題（蛇の補題による長完全列の導出））。$C_\bullet(A)\oplus C_\bullet(B)$ のホモロジーは $H_n(A)\oplus H_n(B)$ なので、
$$ \cdots\to H_n(A\cap B)\xrightarrow{\varphi_*}H_n(A)\oplus H_n(B)\xrightarrow{\psi_*}H_n(C_\bullet(A+B))\xrightarrow{\partial}H_{n-1}(A\cap B)\to\cdots $$
は完全である。$\varphi_*=\Phi$ である。
段 3（$X$ への置き換え）．$\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B=X$ なので、切除定理(特異ホモロジー) の記事の定理（小さい単体の鎖への変形）により、包含 $\iota\colon C_\bullet(A+B)\hookrightarrow C_\bullet(X)$ はホモロジーの同型 $\iota_*$ を誘導する。$\iota_*\circ\psi_*=\Psi$ なので、$H_n(C_\bullet(A+B))$ を $\iota_*$ で $H_n(X)$ に置き換え、$\partial$ を $\partial\circ\iota_*^{-1}$ に置き換えた列も完全であり、これが主張の列である。右端は $H_{-1}(A\cap B)=0$ による。
段 4（接続準同型の形）．$\iota_*$ は全射なので、$H_n(X)$ の類は $C_n(A+B)$ の輪体 $z=x+y$ で代表される。$\psi$ による持ち上げとして $(x,y)$ をとると、その境界 $(\partial x,\partial y)$ は $\varphi$ の像に入り（$\partial x+\partial y=\partial z=0$）、$(\partial x,\partial y)=\varphi(\partial x)$ である。長完全列の接続準同型の作り方（持ち上げて境界をとり、$\varphi$ で引き戻す）により $\partial[z]=[\partial x]$ である。

段 1 の短完全列を、添加された鎖複体（相対ホモロジーと長完全列 の記事の定義（被約ホモロジー））に広げる。次数 $-1$ には
$$ 0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\ (1,-1)\ }\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\xrightarrow{\ (a,b)\mapsto a+b\ }\mathbb{Z}\to0 $$
を置く。これは完全であり、$\varphi,\psi$ は添加写像と両立する（$C_\bullet(A+B)$ の添加写像は $C_\bullet(X)$ の添加写像の制限とする）。$A\cap B\ne\emptyset$ なので $A$、$B$、$A+B$ も空でなく、各添加写像は全射である。こうして得た短完全列の長完全列は、$C_\bullet(A+B)$ の項を除けば被約ホモロジーの列である。
残るのは、包含 $\iota$ が $\tilde H_0$ でも同型を誘導することである。次数 $1$ 以上では添加しても変わらない。次数 $0$ では $\tilde H_0=\ker\bigl(\varepsilon_*\colon H_0\to\mathbb{Z}\bigr)$ であり（$\varepsilon_*$ は添加写像が誘導する写像）、$\iota_*\colon H_0(C_\bullet(A+B))\to H_0(X)$ は同型で $\varepsilon_*$ と両立するので、核の同型を誘導する。

中央の同型は 切除定理(特異ホモロジー) の記事の定理（切除定理）の (2) を、$A$ と $B$ の役割を入れ替えて使ったものである（$\operatorname{int}B\cup\operatorname{int}A=X$）。$[z]\in H_n(X)$ を $z=x+y$（$x\in C_n(A)$、$y\in C_n(B)$）で代表させる。$j_*[z]$ は $C_n(X)/C_n(B)$ での $z$ の類であり、$y$ は $B$ の鎖なので $x$ の類に等しい。$x$ は $A$ の鎖で、$\partial x=-\partial y$ は $A\cap B$ の鎖なので、$x$ は対 $(A,A\cap B)$ の相対輪体であり、包含でその類 $[x]\in H_n(A,A\cap B)$ は $H_n(X,B)$ の $[x]=j_*[z]$ に写る。よって切除の同型の逆で $j_*[z]$ は $[x]$ に写り、対の接続準同型で $[\partial x]$ に写る。これは thm-mayer-vietoris-main の $\partial[z]=[\partial x]$ に等しい。

$n$ に関する帰納法で示す。$n=0$ では $S^0$ は 2 点の離散空間で、特異単体はすべて定値写像なので $C_\bullet(S^0)$ は一点の特異鎖複体 2 つの直和である。一点のホモロジー（相対ホモロジーと長完全列 の記事の「特異鎖の約束」）から $H_0(S^0)\cong\mathbb{Z}^2$、$H_k(S^0)=0$（$k\ne0$）であり、$\tilde H_0(S^0)\cong\mathbb{Z}$ である。
$n\ge1$ とし、北極 $N$ と南極 $S$ をそれぞれ除いた開集合 $U:=S^n\setminus\{N\}$、$V:=S^n\setminus\{S\}$ をとる。$U\cup V=S^n$ で、$U$、$V$ は立体射影により $\mathbb{R}^n$ と同相なので可縮であり、被約ホモロジーはすべて $0$ である。$U\cap V=S^n\setminus\{N,S\}$ は、点 $(x',x_{n+1})$（$x'\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$）を赤道上の点 $(x'/\lvert x'\rvert,0)$ へ大円に沿って動かす変形で赤道 $S^{n-1}$ に強変位レトラクトするので、$S^{n-1}$ とホモトピー同値である。$U\cap V\ne\emptyset$ なので prop-mayer-vietoris-reduced が使え、部分
$$ \tilde H_k(U)\oplus\tilde H_k(V)\to\tilde H_k(S^n)\xrightarrow{\partial}\tilde H_{k-1}(U\cap V)\to\tilde H_{k-1}(U)\oplus\tilde H_{k-1}(V) $$
の両端が $0$ だから、$\partial$ は同型である。よって $\tilde H_k(S^n)\cong\tilde H_{k-1}(U\cap V)\cong\tilde H_{k-1}(S^{n-1})$ であり、帰納法の仮定から主張が従う。