Jacobi–Zariski完全列

部分複体であること。$x\in N_nZ$ なら $\partial x=d_0x$ であり、$i\ge1$ について $d_id_0x=d_0d_{i+1}x=0$ だから $\partial x\in N_{n-1}Z$ である。$\partial s_jy=\sum_i(-1)^id_is_jy$ では、$i=j$ と $i=j+1$ の項はともに $y$ で符号が逆なので消える。$i< j$ の項は $s_{j-1}d_iy$、$i>j+1$ の項は $s_jd_{i-1}y$ で、どちらも退化部分に入る。
$N_nZ+D_nZ=Z_n$ を示す。$x\in Z_n$ について $d_ix\ne0$ となる最大の $i=k\ge1$ があれば、$x'=x-s_{k-1}d_kx$ とおく。$d_ks_{k-1}=\operatorname{id}$ より $d_kx'=0$ であり、$i>k$ では $d_is_{k-1}d_kx=s_{k-1}d_{i-1}d_kx=s_{k-1}d_kd_ix=0$ だから $d_ix'=0$ のままである。$x-x'\in D_nZ$ なので、この操作を $k$ について降順に繰り返せば $x\in N_nZ+D_nZ$ を得る。
$N_nZ\cap D_nZ=0$ を示す。$x\in N_nZ$ が $x=\sum_{j=0}^ts_jy_j$（$t\le n-1$）と書けたとする。$d_{t+1}x=0$ であり、$d_{t+1}s_t=\operatorname{id}$、$j< t$ では $d_{t+1}s_j=s_jd_t$ だから $y_t=-\sum_{j< t}s_jd_ty_j$ となる。すると $s_ts_j=s_js_{t-1}$（$j< t$）を使って
$$ s_ty_t=-\sum_{j< t}s_ts_jd_ty_j=-\sum_{j< t}s_j\,s_{t-1}d_ty_j $$
であり、$x$ は $s_0,\dots,s_{t-1}$ の像の和で書ける。$t$ を一つずつ下げると、最後は $x=s_0y_0$ と $0=d_1x=y_0$ になり $x=0$ である。
$D(Z)$ の完全性を示す。$D^p_nZ=\sum_{j\le\min(p,n-1)}s_j(Z_{n-1})$ とおく（$D^{-1}Z=0$）。上の計算から $D^pZ$ も部分複体である。$j< p$ なら $s_ps_j=s_js_{p-1}$ なので $s_p$ は $D^{p-1}Z$ を $D^{p-1}Z$ へ、$D^pZ$ を $D^pZ$ へ送る。従って $h=(-1)^ps_p$ は商 $D^pZ/D^{p-1}Z$ 上の写像を定める。商の元は $x=s_py$ の類である。単体恒等式で各項を計算すると、$\partial s_px$ の項のうち $i< p$ のものは $s_{p-1}d_ix\in D^{p-1}Z$、$i=p,p+1$ の二項は相殺し、$i\ge p+2$ のものは $(-1)^is_pd_{i-1}x$ である。$s_p\partial x$ の項のうち $i< p$ のものは $s_ps_{p-1}d_iy=s_{p-1}s_{p-1}d_iy\in D^{p-1}Z$、$i=p,p+1$ の二項はともに $s_py=x$ で相殺し、残りは $(-1)^is_pd_ix$（$i\ge p+2$）である。二つを足すと $i=p+2,\dots$ の項が対になって消え、$D^{p-1}Z$ を法として
$$ \partial s_px+s_p\partial x\equiv(-1)^{p+2}s_pd_{p+1}x=(-1)^ps_pd_{p+1}s_py=(-1)^px $$
が残る。よって $\partial h+h\partial=\operatorname{id}$ となり、$D^pZ/D^{p-1}Z$ は完全である。短完全列 $0\to D^{p-1}Z\to D^pZ\to D^pZ/D^{p-1}Z\to0$ の長完全列により、$p$ についての帰納で各 $D^pZ$ は完全である。$D^pZ$ は次数 $p+1$ 以下で $D(Z)$ と一致するので、$H_n(D(Z))=H_n(D^{n}Z)=0$ である。
自然性は $N$ と $D$ が顔と退化だけで定義されることによる。$C(f)=N(f)\oplus D(f)$ で $D$ のホモロジーが零だから、$H(C(f))$ と $H(N(f))$ は同じ写像である。$\square$

$x\in X_n$、$y\in Y_n$、$n\ge1$ とする（$n=0$ では両辺とも零）。$X_0$、$Y_0$ 上の微分は零なので、面の規則の一つ目から
$$ \partial_T\operatorname{AW}(x\otimes y) =\sum_{p=1}^{n}\sum_{i=0}^{p}(-1)^i\,x|_{\{0,\dots,p\}\setminus\{i\}}\otimes y|_{\ge p} +\sum_{p=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-p}(-1)^{p+j}\,x|_{\le p}\otimes y|_{\{p,\dots,n\}\setminus\{p+j\}} $$
である。第二の和の $(-1)^p$ は $\partial_T$ の第二因子に付く符号である。
一方、$d_ix$、$d_iy$ は次数 $n-1$ なので、面の規則の二つ目から
$$ \operatorname{AW}\partial(x\otimes y)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{r=0}^{n-1}(-1)^i\,x|_{\delta^i\{0,\dots,r\}}\otimes y|_{\delta^i\{r,\dots,n-1\}} $$
となる。

• $i\le r$ のとき、$\delta^i\{0,\dots,r\}=\{0,\dots,r+1\}\setminus\{i\}$、$\delta^i\{r,\dots,n-1\}=\{r+1,\dots,n\}$ である。$p=r+1$ とおくと $1\le p\le n$、$0\le i\le p-1$ であり、この項は第一の和の $(p,i)$ の項に等しい。この対応で第一の和の $i\le p-1$ の項にちょうど一度ずつ当たる。
• $i>r$ のとき、$\delta^i\{0,\dots,r\}=\{0,\dots,r\}$、$\delta^i\{r,\dots,n-1\}=\{r,\dots,n\}\setminus\{i\}$ である。$p=r$、$j=i-p$ とおくと $0\le p\le n-1$、$1\le j\le n-p$ であり、符号は $(-1)^i=(-1)^{p+j}$ だから、この項は第二の和の $(p,j)$ の項に等しい。この対応で第二の和の $j\ge1$ の項にちょうど一度ずつ当たる。
  従って差 $\partial_T\operatorname{AW}-\operatorname{AW}\partial$ には、第一の和の $i=p$ の項と第二の和の $j=0$ の項だけが残る。$\{0,\dots,p\}\setminus\{p\}=\{0,\dots,p-1\}$、$\{p,\dots,n\}\setminus\{p\}=\{p+1,\dots,n\}$ だから、残りは
  $$ \sum_{p=1}^{n}(-1)^p\,x|_{\le p-1}\otimes y|_{\ge p} +\sum_{p=0}^{n-1}(-1)^p\,x|_{\le p}\otimes y|_{\ge p+1} $$
  である。第一の和で $p$ を $p+1$ に置き換えると第二の和の $-1$ 倍になるので、差は零である。$\square$

$0\le\theta(0)$ なので $(0,\theta)$ は単調であり、$c$ は定義できる。次数 $m$ の基底元 $w=\theta\otimes\theta'$ について $d_0c(w)=w$ である。$m\ge1$、$1\le i\le m+1$ なら、$i$ 番目の値を除くことは、元の列の $i-1$ 番目の値を除いてから先頭に $0$ を付けることと同じなので、$d_ic(w)=c(d_{i-1}w)$ である。よって
$$ \partial c(w)=w+\sum_{i=1}^{m+1}(-1)^ic(d_{i-1}w)=w-c(\partial w) $$
である。$m=0$ では $\partial c(w)=d_0c(w)-d_1c(w)=w-(0)\otimes(0)=w-e(w)$ であり、次数零では $c\partial=0$ である。正の次数では $e=0$ だから、全次数で $\partial c+c\partial=1-e$ となる。一つの因子でも同じ計算で $\partial c'+c'\partial=1-e'$ である。さらに $e'\partial=0$ である。実際、次数一の基底元 $\theta$ について $e'(\partial\theta)=e'(d_0\theta)-e'(d_1\theta)=(0)-(0)=0$ であり、ほかの次数では $\partial$ の像が正の次数にあるか零である。
全複体では $x\in A[\Delta^p]_a$、$y\in A[\Delta^q]_b$ とする。$e'x$ が零でないのは $a=0$ のときに限るので、$e'x$ を第一因子とする項には $\partial_T$ の符号が付かない。$\partial e'=0$ と合わせて
$$ \partial_TH(x\otimes y)=\partial c'x\otimes y+(-1)^{a+1}c'x\otimes\partial y+e'x\otimes\partial c'y, $$
$$ H\partial_T(x\otimes y)=c'\partial x\otimes y+e'\partial x\otimes c'y+(-1)^ac'x\otimes\partial y+e'x\otimes c'\partial y $$
である。$e'\partial=0$ なので第二式の第二項は消え、第三項は第一式の第二項と相殺する。足すと
$$ (\partial c'+c'\partial)x\otimes y+e'x\otimes(\partial c'+c'\partial)y=(x-e'x)\otimes y+e'x\otimes(y-e'y)=x\otimes y-e'x\otimes e'y $$
となる。
最後の主張を示す。$C(R)$ のサイクル $z$ について $z=\partial cz+c\partial z+ez=\partial cz+ez$ である。正の次数では $ez=0$、次数零では $ez=\varepsilon(z)\,(0)\otimes(0)$ である。全複体でも、正の次数では $e'\otimes e'$ は零だから $z=\partial_T(Hz)$ である。$\square$

$x\in X_p$ に対し、$\hat x\colon A[\Delta^p]\to X$ を $\hat x(\theta)=\theta^*x$ で線型に定める。$\hat x(\rho^*\theta)=(\theta\rho)^*x=\rho^*\theta^*x=\rho^*\hat x(\theta)$ だから $\hat x$ は単体加群の写像であり、$\hat x(\iota_p)=x$ である。
一意性：$\Phi$ が自然なら、組の写像 $(\hat x,\hat y)$ との可換性から $\Phi(x\otimes y)=G(\hat x,\hat y)\,\Phi(\iota_p\otimes\iota_q)$ である。$X_p\otimes Y_q$ は $x\otimes y$ の形の元で生成されるので、$\Phi$ は $\iota_p\otimes\iota_q$ での値で決まる。
存在：$u=\sum_ka_k\,\theta_k\otimes\theta'_k$（$a_k\in A$、$\theta_k,\theta'_k$ は基底の単調写像）と書き、
$$ \Phi(x\otimes y)=\sum_ka_k\,\theta_k^*x\otimes\theta_k'^*y $$
とおく。右辺は $x,y$ について $A$ 双線型なので $X_p\otimes_AY_q$ 上で定義される。単体加群の写像は $\theta^*$ と可換だから $\Phi$ は自然であり、$\theta^*\iota_p=\theta$ より $\Phi(\iota_p\otimes\iota_q)=u$ である。$\square$

前半を示す。lem-jz-aw-chain により AW は自然な鎖写像である。次数零では $T_0=X_0\otimes Y_0=C_0(X\otimes Y)$ であり、$x|_{\le0}=x$ だから $\operatorname{AW}$ は次数零で恒等写像である。
逆向きの鎖写像。 自然な写像 $g_n\colon T_n\to C_n(X\otimes Y)$ で、$g_0=1$ かつ $n\ge1$ で $\partial g_n=g_{n-1}\partial_T$ を満たすものを $n$ の帰納で作る。$T_n$ の成分 $X_p\otimes Y_q$（$p+q=n$）ごとに定めて足せばよい。$n\ge1$ とし、$g_k$（$k< n$）ができたとする。モデル $R=A[\Delta^p]\otimes A[\Delta^q]$ で
$$ \beta=g_{n-1}\bigl(\partial_T(\iota_p\otimes\iota_q)\bigr)\in C_{n-1}(R) $$
とおく。$n\ge2$ なら、帰納法の仮定 $\partial g_{n-1}=g_{n-2}\partial_T$ から $\partial\beta=g_{n-2}\partial_T\partial_T(\iota_p\otimes\iota_q)=0$ であり、$\beta$ は正の次数のサイクルである。$n=1$ なら $g_0=1$ であり、
$$ \partial_T(\iota_1\otimes\iota_0)=(1)\otimes(0)-(0)\otimes(0),\qquad \partial_T(\iota_0\otimes\iota_1)=(0)\otimes(1)-(0)\otimes(0) $$
だから $\varepsilon(\beta)=0$ である。どちらの場合も lem-jz-model-contraction により $\beta=\partial(c\beta)$ となる。lem-jz-universal-element により、$g_n(\iota_p\otimes\iota_q)=c\beta$ となる自然な $g_n\colon X_p\otimes Y_q\to C_n(X\otimes Y)$ をとる。$\partial g_n$ と $g_{n-1}\partial_T$ はともに $X_p\otimes Y_q\to C_{n-1}(X\otimes Y)$ の自然な写像であり、$\iota_p\otimes\iota_q$ での値はどちらも $\beta$ だから、同じ補題により一致する。
二つのホモトピー。 $T$ 上の $\varphi=\operatorname{AW}\circ g-1$ と、$C(X\otimes Y)$ 上の $\psi=g\circ\operatorname{AW}-1$ は自然な鎖写像であり、次数零では零である。$\varphi$ について、自然な写像 $K_n\colon T_n\to T_{n+1}$ で
$$ \partial_TK_n+K_{n-1}\partial_T=\varphi_n\qquad(K_{-1}=0) $$
を満たすものを $n$ の帰納で作る。$\varphi_0=0$ なので $K_0=0$ とする。$n\ge1$ とし、$K_k$（$k< n$）ができたとする。成分 $X_p\otimes Y_q$ の普遍元 $u=\iota_p\otimes\iota_q$ について、恒等写像との差から低い次数のホモトピーの寄与を引いた
$$ z=\varphi(u)-K_{n-1}\partial_Tu\in T_n(A[\Delta^p],A[\Delta^q]) $$
を考える。$\varphi$ は鎖写像であり、帰納法の仮定から $\partial_TK_{n-1}=\varphi_{n-1}-K_{n-2}\partial_T$ だから
$$ \partial_Tz=\varphi\,\partial_Tu-\varphi\,\partial_Tu+K_{n-2}\partial_T\partial_Tu=0 $$
である。$z$ は次数 $n\ge1$ のサイクルなので、lem-jz-model-contraction により $z=\partial_T(Hz)$ である。lem-jz-universal-element により $K_n(u)=Hz$ となる自然な $K_n$ をとる。$\partial_TK_n+K_{n-1}\partial_T$ と $\varphi_n$ はともに自然で、$u$ での値はどちらも $z+K_{n-1}\partial_Tu=\varphi(u)$ だから一致する。
次に $\psi$ について、自然な写像 $K'_n\colon C_n(X\otimes Y)\to C_{n+1}(X\otimes Y)$ で
$$ \partial K'_n+K'_{n-1}\partial=\psi_n\qquad(K'_{-1}=0) $$
を満たすものを $n$ の帰納で作る。定義域 $C_n(X\otimes Y)=X_n\otimes Y_n$ は lem-jz-universal-element の $p=q=n$、$G=C(-\otimes-)$ の場合であり、モデルは対角 $R_n=A[\Delta^n]\otimes A[\Delta^n]$、普遍元は $u'=\iota_n\otimes\iota_n\in C_n(R_n)$ である。次数零では $\operatorname{AW}$ も $g_0$ も恒等写像なので $\psi_0=0$ であり、$K'_0=0$ とおけば $n=0$ の式が成り立つ。
$n\ge1$ とし、$K'_k$（$k< n$）ができたとする。普遍元での $\psi$ の値は
$$ \psi(u')=\sum_{p+q=n}g_n\bigl(\iota_n|_{\le p}\otimes\iota_n|_{\ge p}\bigr)-\iota_n\otimes\iota_n $$
である。ここで $\iota_n|_{\le p}=(0,1,\dots,p)\in A[\Delta^n]_p$、$\iota_n|_{\ge p}=(p,p+1,\dots,n)\in A[\Delta^n]_q$ であり、和の $(p,q)$ の項は、$g_n$ の $(p,q)$ 成分の構成で得た元 $c\beta\in C_n(A[\Delta^p]\otimes A[\Delta^q])$ を、この二つの面 $x,y$ が定める単体写像の組 $(\hat x,\hat y)$ で $R_n$ へ移したものである。また
$$ \partial u'=\sum_{i=0}^n(-1)^i\,d_i\iota_n\otimes d_i\iota_n\in C_{n-1}(R_n) $$
である。$\psi(u')$ から低い次数のホモトピーの寄与 $K'_{n-1}\partial u'$ を引いた
$$ z'=\psi(u')-K'_{n-1}\partial u'\in C_n(R_n) $$
を考える。$g$ と AW は鎖写像だから $\psi$ も鎖写像で、$\partial\psi(u')=\psi(\partial u')$ である。帰納法の仮定の次数 $n-1$ の式 $\partial K'_{n-1}=\psi_{n-1}-K'_{n-2}\partial$ を $\partial u'$ に当てると
$$ \partial z'=\psi(\partial u')-\psi(\partial u')+K'_{n-2}\partial\partial u'=0 $$
となる。$n=1$ のときは $K'_0=0$、$\psi_0=0$ なので、直接 $\partial z'=\psi_0(\partial u')-\partial K'_0\partial u'=0$ である。$z'$ の次数は $n\ge1$ なので係数和の条件は要らず、lem-jz-model-contraction により $z'=\partial(cz')$ である（$\partial cz'+c\partial z'=z'-ez'$ で、$\partial z'=0$、正の次数では $e=0$）。
lem-jz-universal-element により、$K'_n(u')=cz'$ となる自然な $K'_n\colon X_n\otimes Y_n\to C_{n+1}(X\otimes Y)$ をとる。$\partial K'_n+K'_{n-1}\partial$ と $\psi_n$ はともに $X_n\otimes Y_n\to C_n(X\otimes Y)$ の自然な写像であり、$u'$ での値は
$$ \partial K'_n(u')+K'_{n-1}\partial u'=\partial(cz')+K'_{n-1}\partial u'=z'+K'_{n-1}\partial u'=\psi(u') $$
で一致する。同じ補題により $\partial K'_n+K'_{n-1}\partial=\psi_n$ が全ての $X,Y$ で成り立ち、帰納が進む。
従って $\operatorname{AW}\circ g$ と $g\circ\operatorname{AW}$ はそれぞれ恒等写像と自然に鎖ホモトピックであり、AW は自然な鎖ホモトピー同値である。逆向きの $g$ の具体的な形は以下で使わない。
最後に後半を示す。$f\colon X\to X'$ を加法群の擬同型とし、各 $Y_q$ を自由 $A$ 加群とする。
第一に、lem-jz-normalization により $C(f)\colon C(X)\to C(X')$ は擬同型である。鎖写像 $g\colon K\to K'$ の写像錐を $\operatorname{Cone}(g)_n=K_{n-1}\oplus K'_n$、$d(a,b)=(-da,db-ga)$ とすると、短完全列 $0\to K'\to\operatorname{Cone}(g)\to K[-1]\to0$ の長完全列の接続写像は $-H(g)$ であるから、$g$ が擬同型であることと $\operatorname{Cone}(g)$ が完全であることは同値である。よって $E=\operatorname{Cone}(C(f))$ は負の次数で零の完全な複体である。
第二に、全複体の写像 $\operatorname{Tot}(C(f)\otimes1)\colon T(X,Y)\to T(X',Y)$ が擬同型であることを示す。項と微分を符号まで比べると、$E$ と $C(Y)$ から上と同じ式で作った全複体 $\operatorname{Tot}(E\otimes C(Y))$ は、この写像の写像錐に一致する。実際、$a\in X_{p-1}$、$y\in Y_q$ について $(a\otimes y,0)$ の微分は $(-\partial_T(a\otimes y),-f(a)\otimes y)$ となる。従って $\operatorname{Tot}(E\otimes C(Y))$ の完全性を示せばよい。$F_s=\bigoplus_{q\le s}E\otimes_AY_q$ とおくと、$\partial_Y$ は $q$ を下げるので $F_s$ は部分複体であり、$F_{-1}=0$ である。商 $F_s/F_{s-1}$ は次数を $s$ ずらした $E\otimes_AY_s$ に微分 $\pm\partial_E\otimes1$ を付けたものである。$Y_s$ は自由なので、これは $E$ の直和であり完全である。長完全列による $s$ の帰納で各 $F_s$ は完全となる。全次数 $m$ の成分は $q\le m$ の項しか含まないから、$\operatorname{Tot}(E\otimes C(Y))$ と $F_{n+1}$ は次数 $n+1$ 以下で一致し、$H_n(\operatorname{Tot}(E\otimes C(Y)))=H_n(F_{n+1})=0$ である。
第三に、AW は顔写像だけで定まるので $X,Y$ について自然であり、
$$ \operatorname{Tot}(C(f)\otimes1)\circ\operatorname{AW}_{X,Y}=\operatorname{AW}_{X',Y}\circ C(f\otimes1) $$
が成り立つ。ここで $f\otimes1$ は対角の単体加群の写像 $X\otimes Y\to X'\otimes Y$ である。前半から $\operatorname{AW}_{X,Y}$ と $\operatorname{AW}_{X',Y}$ は鎖ホモトピー同値なので擬同型であり、左辺の $\operatorname{Tot}(C(f)\otimes1)$ も第二段で擬同型である。ホモロジーをとると、$H(C(f\otimes1))$ は三つの同型の合成で書けるから同型である。最後に lem-jz-normalization を対角 $X\otimes Y\to X'\otimes Y$ に適用すれば、その正規化複体の写像も擬同型、すなわち $X\otimes Y\to X'\otimes Y$ は加法群の擬同型である。

セルの新変数の総多項式次数が $a$ 以下の加法部分を $F_a$ とする。顔は新変数を新変数または次数零の指定境界へ送るため次数を上げず、退化は次数を保つ。従って $F_a$ は単体加群のフィルトレーションとなる。
商 $F_a/F_{a-1}$ の次数 $n$ は $Z_n\otimes_AW^{(a)}_n$ である。$W^{(a)}_n$ は新変数の次数 $a$ の単項式を基底とする自由 $A$ 加群である。顔が因子の一つを境界へ送れば総次数が下がるので、その商での像は零となる。全因子が新変数として残れば対応する単項式へ送る。この規則は係数に依存しない。
pushout 後の比較は、商では $Z\otimes W^{(a)}\to Z'\otimes W^{(a)}$ である。固定した自由単体加群との対角テンソルなので、前補題から擬同型となる。各有限 $a$ の短完全列で帰納し、最後に加群のフィルター付き直極限の完全性を使うとセル全体で擬同型となる。複数セルも同じ議論を繰り返せる。極限段階では一つの元と有限関係が有限段階に現れるため、擬同型性が保持される。

次数 $n$ では $Q_n=P_n[U_n]$ である。$\Omega_{Q_n/A}$ は $dT_n$ と $dU_n$ の自由基底を持つ。$dT_n$ の部分を商すると $\Omega_{Q_n/P_n}$ となるため
$$ 0\to Q_n\otimes_{P_n}\Omega_{P_n/A}\to\Omega_{Q_n/A} \to\Omega_{Q_n/P_n}\to0 $$
は分裂短完全列である。分裂が単体写像と可換する必要はない。二つの矢印は微分の鎖則により顔・退化に両立する。
$C$ への増大でテンソルしても、項別分裂により完全性を保つ。正規化の単射と中間完全性は項別完全性から従う。正規化後の全射は、正規化サイクルとは限らない項の元を持ち上げ、正規化射影 $q_n$ を施せば得られる。$q_n$ の自然性により像は元の正規化された元へ戻る。右項は自由項の直和因子で射影なので、正規化後にも各次数の短完全列が分裂する。
第一項は正規化がテンソルと交換することから $L_{B/A}\otimes_BC$ である。第二項は $Q$ が $A$ 上の自由セル解像なので $L_{C/A}$ を表す。第三項では相対微分と環 pushout の整合を使う。$\Omega_{Q_n/P_n}$ と $\Omega_{Q_{B,n}/B}$ は同じ自由基底 $dU_n$ を持ち、顔・退化の係数である $P_n$ または $B$ の元は相対微分で零となる。従って $C$ 係数での両者は同じ単体加群であり、$Q_B$ が $B$ 上の解像なので $L_{C/B}$ を表す。

前命題の短完全列を $0\to X\to Y\to Z\to0$ と書く。任意の $M$ をテンソルしても項別分裂は保たれ、鎖複体の短完全列となる。$z\in Z_n\otimes M$ のサイクルを $y\in Y_n\otimes M$ へ持ち上げる。$dy$ の $Z$ 成分は零なので $X_{n-1}\otimes M$ のサイクルへ戻せる。そのホモロジー類を境界 $\partial[z]$ とする。
持ち上げ差は $X_n\otimes M$ の元で、その微分だけ境界が変わる。$z$ の代表を境界だけ変えたときは $Y$ の持ち上げ微分を引けば同じ類となる。従って境界は well-defined である。$Y$ から来るサイクルでは境界が零。逆に境界が零なら $X$ の境界を引いて $y$ をサイクルにできる。同じ持ち上げ操作を他の位置でも行えば全箇所の完全性を得る。
コホモロジーでは項別分裂から
$$ 0\to\operatorname{Hom}_C(Z,M)\to\operatorname{Hom}_C(Y,M) \to\operatorname{Hom}_C(X,M)\to0 $$
となる。ここでは右の Hom が全射である理由は項別分裂であり、$M$ が入射という仮定ではない。コチェインサイクルを持ち上げ、微分して左へ戻すと次数を一つ上げる境界が得られる。同じ代表変更と完全性の計算が働く。
第一項の係数については、項ごとの自然同型
$$ (L_{B/A}\otimes_BC)\otimes_CM=L_{B/A}\otimes_BM, $$
$$ \operatorname{Hom}_C(L_{B/A}\otimes_BC,M) =\operatorname{Hom}_B(L_{B/A},M) $$
を用いる。$M$ を $B$ 加群へ制限するという意味がこれで正確になる。比較の選択独立性により、他の自由セル解像を使っても同じ群・自然な列となる。全元をラベルしたセル構成と境界持ち上げの自然性から、係数写像と環三角の写像に両立する。