行列式束
概要
行列式束（determinant line bundle）とは、階数 $r$ のベクトル束 $E$ の各ファイバーの最高次の外冪を集めた直線束 $\det E=\bigwedge^rE$ であり、$E$ の変換関数が $g_{\alpha\beta}$ なら変換関数は $\det g_{\alpha\beta}$ である。直和・双対・テンソル積・引き戻しと両立し、短完全列では $\det E\cong\det E'\otimes\det E''$ となる。パラコンパクト Hausdorff 空間の上の実ベクトル束が向き付け可能であることは行列式束が自明であることと同値で、複素ベクトル束では $c_1(\det E)=c_1(E)$ が成り立つ。標準束や曲線の上のベクトル束の次数の定義に使われる。
行列式束（determinant line bundle）とは、階数 $r$ のベクトル束 $E$ の各ファイバーの最高次の外冪を集めた直線束
$$
\det E:=\textstyle\bigwedge^rE
$$
である。$E$ の局所的な枠 $e_1,\dots,e_r$ に対して $e_1\wedge\cdots\wedge e_r$ が $\det E$ の局所的な枠になり、$E$ の変換関数が $g_{\alpha\beta}$ なら $\det E$ の変換関数は $\det g_{\alpha\beta}$ である。実・複素のベクトル束、滑らかな・正則なベクトル束、局所環付き空間の上の局所自由層のどれについても同じように定義される。
行列式束は、ベクトル束から直線束へ情報を落とす最も基本的な操作である。パラコンパクト Hausdorff 空間の上の実ベクトル束が向き付け可能かどうかは行列式束が自明かどうかで決まり、複素ベクトル束の第 1 Chern 類は行列式束の第 1 Chern 類に等しい。複素多様体や滑らかな代数多様体の標準束 $K_X=\det T^*X$ も行列式束であり、代数曲線の上のベクトル束の次数は行列式束の次数として定義される。
この記事では、自由加群の行列式が係数拡大と双対の対に両立すること、主定理として行列式束が直和・双対・テンソル積・引き戻しと両立する公式を証明する。さらに、実ベクトル束の向き付け可能性の判定と、階数 $2$ の束の同型 $E\cong E^\vee\otimes\det E$ を示す。
定義
$\mathbb K=\mathbb R$ または $\mathbb C$ とし、ベクトル束は ベクトル束 の定義「ベクトル束」の意味とする。
位相空間 $X$ の上の階数 $r$ の $\mathbb K$ ベクトル束 $E$ について、各ファイバーの $r$ 次の外冪 $\bigwedge^rE_x$（外積代数）を集めた集合を $\det E$ とし、次の位相を入れたものを $E$ の行列式束という：$E$ の開集合 $U$ 上の局所的な枠 $e_1,\dots,e_r$（各点で基底をなす連続な切断）について、
$$
U\times\mathbb K\to\det E|_U,\qquad(y,c)\mapsto c\,e_1(y)\wedge\cdots\wedge e_r(y)
$$
が同相になるようにする。$r=0$ のときは $\det E:=X\times\mathbb K$ とする。
$E$ を局所自明化 $\phi_\alpha\colon E|_{U_\alpha}\to U_\alpha\times\mathbb K^r$ の族で覆い、変換関数を $g_{\alpha\beta}\colon U_\alpha\cap U_\beta\to GL(r,\mathbb K)$ とする。このとき $\det E$ は、変換関数 $\det g_{\alpha\beta}$ をもつ $\mathbb K$ 上の直線束であり、その位相は枠の選び方によらない。
要点：枠の取り替えで最高次の外積は行列式倍になる。
証明を開く
$e^\alpha_j(y):=\phi_\alpha^{-1}(y,\varepsilon_j)$（$\varepsilon_j$ は標準基底）とおくと、$\phi_\alpha\circ\phi_\beta^{-1}(y,v)=(y,g_{\alpha\beta}(y)v)$ から $e^\beta_k=\sum_j(g_{\alpha\beta})_{jk}\,e^\alpha_j$ である。外積代数 の系「行列式の座標によらない定義」により $e^\beta_1\wedge\cdots\wedge e^\beta_r=\det g_{\alpha\beta}\;e^\alpha_1\wedge\cdots\wedge e^\alpha_r$ であり、$\bigwedge^rE_y$ は $e^\alpha_1(y)\wedge\cdots\wedge e^\alpha_r(y)$ を基底とする 1 次元の空間である（同記事の定理「自由加群の外冪の基底」）。$\det g_{\alpha\beta}$ は連続で、$\det$ が乗法的なのでコサイクル条件をみたす。よって変換関数 $\det g_{\alpha\beta}$ から直線束が作られ（ベクトル束 の命題「変換関数の連続性・コサイクル条件と束の再構成」）、その各ファイバーは上の対応で $\bigwedge^rE_y$ と同一視される。別の局所的な枠は連続な $GL(r,\mathbb K)$ 値関数で移り合い、その行列式も連続なので、位相は枠によらない。$\square$
$E$ が滑らかな（正則な）ベクトル束なら、$\det g_{\alpha\beta}$ は滑らか（正則）なので、$\det E$ も滑らかな（正則な）直線束である。局所環付き空間 $(X,\mathcal O_X)$ の上の階数 $r$ の局所自由層 $\mathcal E$ についても $\det\mathcal E:=\bigwedge^r\mathcal E$ は可逆層であり、局所的な基底の外積が局所的な基底になる（標準層 の節「行列式の層」）。
自由加群の行列式
局所的な計算はすべて自由加群の計算に帰着する。$A$ を可換環、$M$ を階数 $r$ の自由 $A$ 加群とし、$\det M:=\bigwedge^r_AM$、$M^\vee:=\operatorname{Hom}_A(M,A)$ とおく。
- $\det M$ は階数 $1$ の自由加群で、基底 $e_1,\dots,e_r$ について $e_1\wedge\cdots\wedge e_r$ が基底である。基底を $e'_k=\sum_ja_{jk}e_j$ と取り替えると $e'_1\wedge\cdots\wedge e'_r=\det(a_{jk})\,e_1\wedge\cdots\wedge e_r$ となる。
- 任意の環準同型 $A\to B$ について、$(v_1\wedge\cdots\wedge v_r)\otimes b\mapsto b\,(v_1\otimes1)\wedge\cdots\wedge(v_r\otimes1)$ は同型 $(\det M)\otimes_AB\cong\det_B(M\otimes_AB)$ を与える。
- $\langle f_1\wedge\cdots\wedge f_r,\ v_1\wedge\cdots\wedge v_r\rangle:=\det\bigl(f_i(v_j)\bigr)$ は完全な対 $\det(M^\vee)\otimes_A\det M\to A$ を定め、同型 $\det(M^\vee)\cong(\det M)^\vee$ を与える。
1 は 外積代数 の定理「自由加群の外冪の基底」と系「行列式の座標によらない定義」である。
2：$(v_1,\dots,v_r)\mapsto(v_1\otimes1)\wedge\cdots\wedge(v_r\otimes1)$ は $A$ 多重線形で交代的なので、外積代数の普遍性（外積代数 の定理「外積代数の普遍性」）により $A$ 線形写像 $\det M\to\det_B(M\otimes_AB)$ を与え、これを $B$ 線形に延ばしたものが上の写像である。$M\otimes_AB$ は $e_j\otimes1$ を基底とする自由 $B$ 加群なので、1 により両辺はそれぞれ $(e_1\wedge\cdots\wedge e_r)\otimes1$ と $(e_1\otimes1)\wedge\cdots\wedge(e_r\otimes1)$ を基底とする階数 $1$ の自由 $B$ 加群で、写像は基底を基底に写す。よって同型である。$B$ が $A$ 上平坦である必要はない。
3：$f$ を固定すると $\det(f_i(v_j))$ は $v$ について交代的な多重線形写像であり、$v$ を固定すると $f$ についても同様である。よって $A$ 双線形な対 $\det(M^\vee)\times\det M\to A$ が定まる。双対基底 $e_1^*,\dots,e_r^*$ について $\langle e_1^*\wedge\cdots\wedge e_r^*,e_1\wedge\cdots\wedge e_r\rangle=\det I=1$ であり、両辺は 1 の基底をもつ階数 $1$ の自由加群なので、対は完全である。$\square$
1 は Liu06 §6.4.1 の式 (4.8)（p. 236）、2 と 3 は同じ節の Lemma 4.1 (a)・(c)（pp. 236–237）にあたる。同じ補題の (b) は短完全列についての主張で、下の注意で扱う。
主定理：束の構成との両立
可換環の成分をもつ $r$ 次正方行列 $P$ と $s$ 次正方行列 $Q$ について、Kronecker 積 $P\otimes Q$（$rs$ 次）の行列式は
$$
\det(P\otimes Q)=(\det P)^s(\det Q)^r
$$
である。
$P\otimes Q=(P\otimes I_s)(I_r\otimes Q)$ である。$I_r\otimes Q$ は $Q$ を $r$ 個並べたブロック対角行列なので行列式は $(\det Q)^r$ である。$P\otimes I_s$ は、基底 $e_i\otimes f_j$ の並べ方を「$j$ を先に、$i$ を後に」並べ替える置換行列 $\Sigma$ によって $\Sigma(P\otimes I_s)\Sigma^{-1}=I_s\otimes P$ となり、行列式は $(\det P)^s$ である。$\square$
$E$、$F$ を位相空間 $X$ の上の階数 $r$、$s$ の $\mathbb K$ ベクトル束、$L$ を直線束、$f\colon Y\to X$ を連続写像とする。直線束の同型
- $\det(E\oplus F)\cong\det E\otimes\det F$
- $\det(E^\vee)\cong(\det E)^\vee$
- $\det(E\otimes F)\cong(\det E)^{\otimes s}\otimes(\det F)^{\otimes r}$、とくに $\det(E\otimes L)\cong\det E\otimes L^{\otimes r}$
- $\det(f^*E)\cong f^*\det E$
がある。滑らかな束・正則な束では、これらは滑らかな（正則な）同型である。
$E$ と $F$ を同時に自明化する開被覆 $\{U_\alpha\}$（$E$ と $F$ の自明化する開集合の交わりをとればよい）をとり、変換関数を $g_{\alpha\beta}\in GL(r,\mathbb K)$、$h_{\alpha\beta}\in GL(s,\mathbb K)$ とする。
直線束の比較．同じ被覆の上の局所的な枠 $\sigma_\alpha$、$\tau_\alpha$ をもつ 2 つの直線束 $L_1$、$L_2$ が $\sigma_\beta=c_{\alpha\beta}\sigma_\alpha$、$\tau_\beta=c_{\alpha\beta}\tau_\alpha$ と同じ変換関数 $c_{\alpha\beta}$ をもてば、$U_\alpha$ の上で $\sigma_\alpha\mapsto\tau_\alpha$ と定めた同型は重なりで一致し（$\sigma_\beta=c_{\alpha\beta}\sigma_\alpha\mapsto c_{\alpha\beta}\tau_\alpha=\tau_\beta$）、$L_1\cong L_2$ を与える。したがって両辺の変換関数が一致することを示せばよい。prop-det-transition により左辺の行列式束の変換関数は、各構成の変換関数の行列式である。
1：$E\oplus F$ の変換関数はブロック対角行列 $\operatorname{diag}(g_{\alpha\beta},h_{\alpha\beta})$ で、行列式は $\det g_{\alpha\beta}\det h_{\alpha\beta}$ であり、これは $\det E\otimes\det F$ の変換関数である。
2：$E^\vee$ の変換関数は双対の枠について ${}^tg_{\alpha\beta}^{-1}$ で、行列式は $(\det g_{\alpha\beta})^{-1}$、すなわち $(\det E)^\vee$ の変換関数である。
3：$E\otimes F$ の変換関数は $g_{\alpha\beta}\otimes h_{\alpha\beta}$ で、lem-det-kronecker によりその行列式は $(\det g_{\alpha\beta})^s(\det h_{\alpha\beta})^r$、すなわち右辺の変換関数である。$F=L$（$s=1$）とすれば後半を得る。
4：$f^*E$ は $\{f^{-1}(U_\alpha)\}$ の上で変換関数 $g_{\alpha\beta}\circ f$ をもち、$\det(g_{\alpha\beta}\circ f)=(\det g_{\alpha\beta})\circ f$ は $f^*\det E$ の変換関数である。
滑らかな束・正則な束では局所的な枠を滑らかに（正則に）とれば、上の同型は局所的に枠を枠に写すので滑らか（正則）である。$\square$
1 と 2 の同型は、外積 $(u,w)\mapsto u\wedge w$ と prop-det-free-module の 3 の対によって、枠によらない形でも書ける。
短完全列．ベクトル束（または局所自由層）の短完全列 $0\to E'\to E\to E''\to0$ について、$\det E\cong\det E'\otimes\det E''$ が成り立つ。これは $E''$ の局所的な基底を $E$ に持ち上げて外積をとる対応で与えられ、持ち上げの選び方によらない（標準層 の補題「短完全列の行列式」、Liu06 §6.4.1 Lemma 4.1 (b)・Corollary 4.2 (b)、p. 237）。前者の証明はスキームの場合に書かれているが、使っているのは $E''$ の局所的な基底が局所的に $E$ へ持ち上がることだけであり、正則ベクトル束でも同じ議論で成り立つ。パラコンパクト Hausdorff 空間の上の位相的なベクトル束では短完全列は分裂する（計量で $E'$ の直交補空間をとる）ので、主定理の 1 に帰着する。
向き付け可能性
実ベクトル束の向きは Euler類 の定義「ベクトル束の向き」の意味とする。
$X$ をパラコンパクト Hausdorff 空間、$E$ を $X$ の上の階数 $r\ge1$ の実ベクトル束とする。$E$ が向き付け可能であることと、$\det E$ が自明であることは同値である。より詳しく、$\det E$ の至るところ $0$ でない切断 $s$ は、「基底 $v_1,\dots,v_r$ が正の向き $\iff$ $v_1\wedge\cdots\wedge v_r$ が $s(x)$ の正の数倍」によって $E$ の向きを定め、$E$ のすべての向きはこうして得られる。
切断から向きへ．prop-det-free-module の 1 により、$E_x$ の 2 つの基底の最高次の外積の比は基底の取り替えの行列式なので、上の規則は各 $E_x$ の向きを定める。点 $x_0$ の近くで局所的な枠 $e_1,\dots,e_r$ をとり、$e_1\wedge\cdots\wedge e_r=c\,s$ と書くと、$c$ は $0$ にならない連続関数である。$c(x_0)<0$ なら $e_1$ を $-e_1$ に取り替えて $c(x_0)>0$ とし、開集合 $\{c>0\}$ の上に制限すれば、各ファイバーで正の向きの枠が得られる。この枠の定める局所自明化は向きを保つので、規則は $E$ の向きである。
向きから切断へ．$E$ に向きが与えられたとする。$\det E$ に Euclid 計量 $|\cdot|$ をとる（ベクトル束の計量 の命題「計量の存在と凸性」）。各 $x$ について、正の向きの基底 $v_1,\dots,v_r$ をとって $s(x):=v_1\wedge\cdots\wedge v_r/|v_1\wedge\cdots\wedge v_r|$ とおく。正の向きの基底どうしは行列式が正の行列で移り合うので、$s(x)$ は基底の選び方によらない。向きの定義により各点の近くに正の向きの局所的な枠 $e_1,\dots,e_r$ があり、その上で $s=e_1\wedge\cdots\wedge e_r/|e_1\wedge\cdots\wedge e_r|$ は連続である。よって $s$ は至るところ $0$ でない切断で、$s$ から上の規則で定まる向きは与えられた向きである。
直線束が自明であることと至るところ $0$ でない切断をもつことは同値である（ベクトル束 の命題「自明性の判定」）ので、主張が従う。$\square$
$X$ が滑らかな $n$ 次元多様体なら、余接束に当てはめて「$X$ が向き付け可能 $\iff$ $\det T^*X=\bigwedge^nT^*X$ が自明 $\iff$ 至るところ $0$ でない $n$ 形式がある」が得られる（$\det T^*X\cong(\det TX)^\vee$ は主定理の 2）。複素ベクトル束の実化は向き付け可能である（複素ベクトル束 の命題「実化の標準的な向き」）。$S^1$ 上の Möbius 束 $\mu$ では、$\det(\mu\oplus\varepsilon)\cong\mu\otimes\varepsilon\cong\mu$（主定理の 1、$\varepsilon$ は自明な直線束）が自明でないので、$\mu\oplus\varepsilon$ は向き付けできない。
階数 2 の束
$E$ を位相空間 $X$ の上の階数 $2$ の $\mathbb K$ ベクトル束とする。$\Phi(v)(w):=v\wedge w$ で定まる写像
$$
\Phi\colon E\to\operatorname{Hom}(E,\det E)=E^\vee\otimes\det E
$$
は束の同型である。
$\Phi$ は各ファイバーで線形である。局所的な枠 $e_1,e_2$ と双対の枠 $e_1^*,e_2^*$ をとり、$v=ae_1+be_2$、$w=ce_1+de_2$ とすると $v\wedge w=(ad-bc)\,e_1\wedge e_2$ なので
$$
\Phi(v)=(a\,e_2^*-b\,e_1^*)\otimes(e_1\wedge e_2)
$$
である。$\Phi$ はこの枠で定数行列 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ で表されるので、連続で、逆写像も連続な束写像である。$\square$
一般に、階数 $r$ の局所自由層について外積 $\bigwedge^k\mathcal E\otimes\bigwedge^{r-k}\mathcal E\to\det\mathcal E$ は完全な対であり、$\bigwedge^k\mathcal E\cong(\bigwedge^{r-k}\mathcal E)^\vee\otimes\det\mathcal E$ を与える（Har77 II 演習 5.16 (b)、pp. 127–128。この記事では証明しない）。prop-det-rank-two は $r=2$、$k=1$ の場合である。とくに $\det E$ が自明な階数 $2$ の束は自分の双対と同型である。
例と応用
$\mathbb{CP}^n$ の接束 $T$ について、複素ベクトル束の同型 $T\oplus\underline{\mathbb C}\cong\mathcal O(1)^{\oplus(n+1)}$ がある（Chern類 の例「複素射影空間の接束」の証明）。主定理の 1 を繰り返し使うと
$$
\det T\cong\det T\otimes\det\underline{\mathbb C}\cong\det\bigl(\mathcal O(1)^{\oplus(n+1)}\bigr)\cong\mathcal O(1)^{\otimes(n+1)}=\mathcal O(n+1)
$$
であり、主定理の 2 から標準束は $K=\det T^*\cong\mathcal O(-n-1)$ である。正則な同型 $K_{\mathbb P^n}\cong\mathcal O(-n-1)$ は、Euler 列と短完全列の行列式から得られる（標準層 の例「アフィン空間と射影空間」）。
Chern 類．複素ベクトル束 $E$ について $c_1(\det E)=c_1(E)$ である（Chern類 の命題「双対束と行列式束のChern類」）。直線束は第 1 Chern 類で分類される（同記事の定理「直線束の分類」）ので、パラコンパクト Hausdorff 空間の上では $\det E$ は $c_1(E)$ で位相的に決まる。上の例では $c_1(T\mathbb{CP}^n)=(n+1)h$ と $c_1(\mathcal O(n+1))=(n+1)h$ が一致している。
曲線の上の次数．代数閉体上の非特異射影曲線 $X$ の上の階数 $r$ の局所自由層 $\mathcal E$ の次数を $\deg\mathcal E:=\deg(\det\mathcal E)$ と定める。短完全列 $0\to\mathcal E'\to\mathcal E\to\mathcal E''\to0$ について $\deg\mathcal E=\deg\mathcal E'+\deg\mathcal E''$、また $\deg(\mathcal E\otimes\mathcal F)=s\deg\mathcal E+r\deg\mathcal F$（$\mathcal F$ は階数 $s$）が成り立つ。前者は短完全列の行列式と、可逆層のテンソル積の次数が和になること（可逆層 の命題「Cartier因子の加法とテンソル積」）から、後者は主定理の 3 と同じ変換関数の計算から従う。局所自由でない連接層にも、局所自由層による分解を使って $\det$ と次数を延ばせる（Har77 II 演習 6.11・6.12、p. 149。この記事では証明しない）。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 局所自由であること | $\mathbb A^2_k=\operatorname{Spec}k[x,y]$ の原点のイデアル層 $\mathfrak m=(x,y)$ | 階数の外冪 $\bigwedge^1\mathfrak m=\mathfrak m$ が可逆層であること |
| 実ベクトル束であること（thm-det-orientation） | $\mathbb{CP}^1$ 上の複素直線束 $\mathcal O(1)$ | 「向き付け可能なら複素の $\det$ が自明」 |
| 階数が $2$ であること（prop-det-rank-two） | $\mathbb{CP}^1$ 上の $E=\mathcal O(1)\oplus\underline{\mathbb C}^{\oplus2}$（階数 $3$） | $E\cong E^\vee\otimes\det E$ |
1 行目：$\mathfrak m$ は原点以外では階数 $1$ の自由層であるが、原点での剰余体へのファイバー $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は $2$ 次元なので、原点の近くで局所自由でない（局所自由層 の例「反例：ファイバー次元が跳ぶ連接層」）。
2 行目：$\mathcal O(1)$ の実化は複素構造による標準的な向きをもつ。一方、複素直線束としての $\det_{\mathbb C}\mathcal O(1)=\mathcal O(1)$ は $c_1=h\ne0$ なので自明でない。thm-det-orientation の「自明」は実の $\det E_{\mathbb R}$ についてのものである。
3 行目：$E^\vee\otimes\det E=(\mathcal O(-1)\oplus\underline{\mathbb C}^{\oplus2})\otimes\mathcal O(1)=\underline{\mathbb C}\oplus\mathcal O(1)^{\oplus2}$ で、$c_1$ が $2h$ となり、$c_1(E)=h$ と違う。
行列式は束を決めない．$\det E$ が自明でも $E$ は自明とは限らない。$S^2$ の接束 $TS^2$ は向き付け可能なので $\det TS^2$ は自明であるが、Euler 数が $2\ne0$ なので $TS^2$ は自明でない（Euler類 の定理「接束の Euler 数と Euler 標数」）。正則な束でも、$\mathbb P^1$ 上の $\mathcal O(1)\oplus\mathcal O(-1)$ は行列式が自明であるが、正則に自明でない（正則ベクトル束 の命題「$\mathbb P^1$ 上の 2 つの階数 2 の束」）。
関連項目
参考文献
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