Steiner系

$I$ を固定し、組 $(T,B)$ で、$T$ は $I\subseteq T$ となる $X$ の $t$ 元部分集合、$B$ は $T\subseteq B$ となるブロックであるものの個数 $N$ を 2 通りに数える。
$T$ を先に選ぶ。$T$ は $I$ に $X\setminus I$ の $t-i$ 元を付け加えて得られるので $\binom{v-i}{t-i}$ 通りあり、各 $T$ を含むブロックは定義によりちょうど 1 つである。よって $N=\binom{v-i}{t-i}$ である。
$B$ を先に選ぶ。$I\subseteq T\subseteq B$ となるには $I\subseteq B$ が必要で、$I$ を含むブロック $B$ のそれぞれについて、$T$ は $I$ に $B\setminus I$ の $t-i$ 元を付け加えて得られるので $\binom{k-i}{t-i}$ 通りある。$I$ を含むブロックの個数を $m(I)$ とすると $N=m(I)\binom{k-i}{t-i}$ である。
2 つを比べて $m(I)=\binom{v-i}{t-i}/\binom{k-i}{t-i}$ となり、これは $I$ によらない。$\square$

thm-stein-lambda の $\lambda_i$ はブロックの個数なので整数である。$\square$

$\mathcal B_p$ の元は $k-1$ 元集合である。$X_p$ の $t-1$ 元部分集合 $T'$ について、$p$ と $T'$ を含むブロックは、$T'\cup\{p\}$ が $t$ 元集合なのでちょうど 1 つある。$B\mapsto B\setminus\{p\}$ は $p$ を含むブロックの集合から $\mathcal B_p$ への全単射で、$T'\subseteq B\setminus\{p\}$ と $T'\cup\{p\}\subseteq B$ は同値だから、$T'$ を含む $\mathcal B_p$ の元はちょうど 1 つである。$\square$

1：台を $Y,Y'$ とし、$\lvert Y\cap Y'\rvert\ge5$ とする。$i\in Y\cap Y'$ では $c_i,c'_i\in\mathbb F_3^\times=\{1,-1\}$ なので、$c'_i=\varepsilon c_i$ となる $\varepsilon\in\{1,-1\}$ が決まる。$5$ 個以上の座標のうち $3$ 個以上で同じ $\varepsilon$ がとれる。$c'-\varepsilon c$ はその $3$ 個以上の座標で $0$ で、台は $Y\cup Y'$（$7$ 個以下）に含まれるので、重みは $7-3=4$ 以下である。$c'-\varepsilon c\in\mathcal G_{12}$ の $0$ でない符号語の重みは $6$ 以上だから $c'=\varepsilon c$ である。
2：座標 $j\in X$ を除く写像 $\pi_j\colon\mathcal G_{12}\to\mathbb F_3^{11}$ を考える。$\mathcal G_{12}$ の最小距離は $6$ なので $\pi_j$ は単射で、$\pi_j(\mathcal G_{12})$ は $3^6$ 個の符号語をもち最小距離は $5$ 以上である。$3^6\bigl(1+11\cdot2+\binom{11}2\cdot2^2\bigr)=3^6\cdot243=3^{11}$ なので、半径 $2$ の球は $\mathbb F_3^{11}$ を重なりなく覆い、$\pi_j(\mathcal G_{12})$ は $2$ 個の誤りを訂正する完全符号である（$j$ が最後の座標のときが Golay符号 の定理「三元 Golay 符号」の 2 である）。
$\pi_j(\mathcal G_{12})$ の重み $5$ の符号語を数える。$\mathbb F_3^{11}$ の重み $3$ の語 $x$ は $\binom{11}3\cdot2^3=1320$ 個ある。$x$ から距離 $2$ 以下の符号語 $c'$ はただ 1 つで、$d(x,0)=3$ なので $c'\ne0$ であり、$5\le\operatorname{wt}(c')\le\operatorname{wt}(x)+2=5$ となる。$d(x,c')\ge\operatorname{wt}(c')-\lvert\operatorname{supp}c'\cap\operatorname{supp}x\rvert\ge2$ の 2 つの等号が成り立つ。2 つ目の等号から $\lvert\operatorname{supp}c'\cap\operatorname{supp}x\rvert=3=\operatorname{wt}(x)$ すなわち $\operatorname{supp}x\subseteq\operatorname{supp}c'$ であり、1 つ目の等号から $x$ と $c'$ は $\operatorname{supp}c'\setminus\operatorname{supp}x$ の外で一致する。よって $x$ は $c'$ の $0$ でない $5$ 成分のうち $2$ 個を $0$ にした語である。逆に重み $5$ の符号語 $c'$ からはこうして $\binom52=10$ 個の重み $3$ の語ができ、どれも $c'$ から距離 $2$ にある。よって重み $5$ の符号語は $1320/10=132$ 個である。
$c\in\mathcal G_{12}$ の重みは $3$ の倍数なので、$\pi_j(c)$ の重みが $5$ であることと、$c$ の重みが $6$ で $c_j\ne0$ であることは同値である。よって $j$ を台に含む重み $6$ の符号語は $132$ 個あり、1 により各ヘキサッドはちょうど 2 つの符号語 $\pm c$ の台なので、$j$ を含むヘキサッドは $66$ 個である。ヘキサッドの個数を $h$ とし、組（点、それを含むヘキサッド）を数えると $6h=12\cdot66$、すなわち $h=132$ である。各ヘキサッドは $\binom65=6$ 個の $5$ 元部分集合を含み、1 により異なるヘキサッドが同じ $5$ 元部分集合を含むことはないので、ヘキサッドに含まれる $5$ 元部分集合は $132\cdot6=792=\binom{12}5$ 個で、すべての $5$ 元部分集合が尽くされる。よってどの $5$ 元部分集合もちょうど 1 つのヘキサッドに含まれる。$\square$

まず各点を含むブロックの個数が一定であることを示す。点 $p$ を含むブロックの個数を $r_p$ とし、組 $(q,B)$（$q\ne p$、$p,q\in B$）を数えると、$q$ を先に選べば $(v-1)\lambda$、$B$ を先に選べば $r_p(k-1)$ である。よって $r_p=r:=\lambda(v-1)/(k-1)$ は $p$ によらない。$k< v$ なので $r>\lambda$ である。
点を行、ブロックを列とし、$p\in B$ のとき $1$、そうでないとき $0$ を成分とする $v\times b$ 実行列 $N$ を 接続行列 という。$NN^{\mathsf T}$ の $(p,q)$ 成分は $p,q$ をともに含むブロックの個数なので、$J$ を成分がすべて $1$ の $v$ 次正方行列として
$$ NN^{\mathsf T}=(r-\lambda)I+\lambda J $$
である。$J$ は成分がすべて $1$ のベクトル $\mathbf 1$ を固有値 $v$ の固有ベクトルにもち、$\mathbf 1$ に直交するベクトルを $0$ に移すので、$NN^{\mathsf T}$ の固有値は $r-\lambda+\lambda v$（1 重）と $r-\lambda$（$v-1$ 重）であり、行列式 は
$$ \det(NN^{\mathsf T})=(r+\lambda(v-1))(r-\lambda)^{v-1}=rk\,(r-\lambda)^{v-1}>0 $$
である（$\lambda(v-1)=r(k-1)$ を使った）。よって $v=\operatorname{rank}(NN^{\mathsf T})\le\operatorname{rank}N\le b$ である。
$S(t,k,v)$（$t\ge2$）は、thm-stein-lambda により相異なる 2 点を含むブロックが $\lambda_2\ge1$ 個ずつあるので、2-$(v,k,\lambda_2)$ デザインである。$t\le k$ と $k< v$ から $2\le k< v$ で、前半から $b\ge v$ となる。$\square$