2次曲面上の曲線
概要
2次曲面上の曲線（curves on a quadric surface）とは、射影直線の積 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ と同型な 2 次曲面 $Q:xy=zw$ の上の有効因子のことで、2 つの射影直線の座標について次数 $(a,b)$ の双斉次多項式の零点として書け、この組 $(a,b)$ を型という。任意の体の上で $Q$ の因子類群は 2 つの直線族の類を基底とする $\mathbb{Z}^2$ であり、型 $(a,b)$（$a,b\ge0$）の曲線は次数 $a+b$、算術種数 $(a-1)(b-1)$ をもち、$a,b\ge1$ なら連結である。$Q$ と曲面の完全交叉になるのは $a=b$ の型であり、$|a-b|\ge2$ の曲線は $\mathbb{P}^3$ の完全交叉にならない。
標数が $2$ でない代数閉体の上では、非特異な 2 次曲面 $Q\subset\mathbb{P}^3$ は射影直線の積 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ と同型であり（2次曲面 の定理「非特異な 2 次曲面は射影直線の積」）、その上の曲線は 2 つの射影直線の座標についての双斉次多項式の零点として書ける。双斉次多項式の 2 つの次数の組 $(a,b)$ を曲線の型といい、曲線の性質の多くは型だけで決まる。
この記事では、$Q$ の因子類群が 2 つの直線族の類を基底とする $\mathbb{Z}^2$ であり、型 $(a,b)$ の有効因子が次数 $(a,b)$ の双斉次多項式と 1 対 1 に対応することを証明する（thm-coq-class-group）。次に $Q$ 上の可逆層のコホモロジーを使って、型 $(a,b)$ の曲線の次数 $a+b$、算術種数 $(a-1)(b-1)$、連結性を求める（thm-coq-invariants）。最後に、$\mathbb{P}^3$ の曲線としての性質を調べ、$|a-b|\ge2$ の曲線は完全交叉でないこと、ねじれ 3 次曲線は $Q$ と曲面の交わりとして台としても書けないことを示す。
設定と記号
$k$ を体とし、$\mathbb{P}^3=\mathbb{P}^3_k$ の斉次座標を $x,y,z,w$ とする。$q:=xy-zw$、$Q:=V_+(q)$ とおく。2 つの射影直線の斉次座標を $[s_0:s_1]$、$[t_0:t_1]$ とし、
$$
\sigma\colon\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\longrightarrow Q,\qquad([s_0:s_1],[t_0:t_1])\longmapsto[s_0t_0:s_1t_1:s_0t_1:s_1t_0]
$$
とする。これは座標を並べ替えた Segre埋め込み であり、スキームの同型 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\cong Q$ を与える（射影射 の命題「Segre埋め込みは閉埋め込みである」と、Segre埋め込み の定理「Segre 多様体の定義イデアル」）。以下、この同型で $Q$ と $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ を同一視し、$p_1,p_2\colon Q\to\mathbb{P}^1$ を 2 つの射影とする。
- $a,b\in\mathbb{Z}$ について $\mathcal{O}_Q(a,b):=p_1^*\mathcal{O}(a)\otimes p_2^*\mathcal{O}(b)$ とおく。$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1)|_Q\cong\mathcal{O}_Q(1,1)$ であり（非常に豊富な可逆層 の補題「Segre 埋め込みによる引き戻し」）、$\mathcal{O}_Q(l):=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(l)|_Q\cong\mathcal{O}_Q(l,l)$ である。
- $S_{a,b}$ を、$s_0,s_1$ について $a$ 次、$t_0,t_1$ について $b$ 次の斉次式である多項式（双次数 $(a,b)$ の双斉次多項式）と $0$ のなす $k$ ベクトル空間とする（$a<0$ または $b<0$ なら $S_{a,b}=0$）。$F\in S_{a,b}$ は、各アフィン開集合 $W_{ij}:=D(s_i)\cap D(t_j)$ の上の正則関数 $F/(s_i^at_j^b)$ の組として $\mathcal{O}_Q(a,b)$ の大域切断を定める。
- $F\in S_{a,b}\setminus\{0\}$ について、各 $W_{ij}$ の上で $F/(s_i^at_j^b)$ で生成されるイデアルの定める閉部分スキームを $V(F)\subset Q$ と書く。
- $L_1:=V(s_0)=\{[0:1]\}\times\mathbb{P}^1$、$L_2:=V(t_0)=\mathbb{P}^1\times\{[0:1]\}$ とおく。$\mathbb{P}^3$ の中では $L_1=V_+(x,z)$、$L_2=V_+(x,w)$ であり、それぞれ 2 つの直線族の 1 本である（2次曲面 の定理「非特異な 2 次曲面の上の直線」）。
- $U:=Q\setminus(L_1\cup L_2)=W_{00}=\operatorname{Spec}k[s,t]$（$s:=s_1/s_0$、$t:=t_1/t_0$）とする。$Q$ の関数体は $K=k(s,t)$ である。
$Q$ は Noether 整で分離的な正則スキームなので、Weil因子 の条件 $(*)$ をみたし、局所環はすべて一意分解整域である。したがって有効な Weil 因子と有効な Cartier因子、すなわち局所的に $0$ でない 1 つの方程式で切り出される閉部分スキームは 1 対 1 に対応する（Weil因子 の定理「Cartier因子とWeil因子」、局所分解的スキーム の定理「局所分解性の判定」）。この記事では、空でない有効 Cartier 因子を $Q$ 上の曲線とよぶ。可約なもの・被約でないものも含める。$V(F)$（$F\ne0$）は有効 Cartier 因子である。
因子類群と双斉次多項式
$Q$ 上の Weil 因子 $D$ が $D\sim aL_1+bL_2$（線型同値）をみたすとき、$D$ は型 $(a,b)$ であるという。thm-coq-class-group の 1 により、型はすべての因子についてただ 1 つに定まる。
次の定理の証明の鍵は、$U$ の外にある 2 本の直線に沿った位数が多項式の次数で読めることである。
$h\in k[s,t]\setminus\{0\}$ について $\operatorname{ord}_{L_1}(h)=-\deg_sh$、$\operatorname{ord}_{L_2}(h)=-\deg_th$ である。ここで $\deg_s$ は $s$ についての次数である。
$W_{10}=\operatorname{Spec}k[u,t]$（$u:=s_0/s_1=1/s$）は $L_1$ の生成点を含み、その上で $L_1=V(u)$ である。$m:=\deg_sh$、$h=\sum_{i=0}^mc_i(t)s^i$（$c_m\ne0$）と書くと
$$
h=u^{-m}\sum_{i=0}^mc_i(t)u^{m-i}=u^{-m}h_1,\qquad h_1\in k[u,t],\quad h_1(0,t)=c_m(t)\ne0
$$
である。$u$ は $k[u,t]$ の素元で $h_1$ を割らないので、$\operatorname{ord}_{L_1}(h)=-m$ である。$L_2$ も同様である。$\square$
$k$ を体とする。
- $(a,b)\mapsto[aL_1+bL_2]$ は同型 $\mathbb{Z}^2\xrightarrow{\sim}\operatorname{Cl}(Q)$ を与える。
- $F\in S_{a,b}\setminus\{0\}$ なら、$V(F)$ に対応する Weil 因子は $aL_1+bL_2+\operatorname{div}(F(1,s;1,t))$ であり、$V(F)$ は型 $(a,b)$ である。
- $a,b\ge0$ とする。型 $(a,b)$ の有効因子はすべてある $F\in S_{a,b}\setminus\{0\}$ によって $V(F)$ と書け、$V(F)=V(F')$ となるのは $F'\in k^\times F$ のときに限る。$a<0$ または $b<0$ なら型 $(a,b)$ の有効因子は存在しない。
1。 $Q\setminus U=L_1\cup L_2$ であり、$\operatorname{Cl}(U)=\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^2_k)=0$（Weil因子 の系「アフィン空間の因子類群」）なので、同記事の定理「開集合への制限の完全列」により $\mathbb{Z}^2\to\operatorname{Cl}(Q)$ は全射である。単射性を示す。$aL_1+bL_2=\operatorname{div}(g)$（$g\in K^\times$）とすると、$\operatorname{div}(g)$ は $U$ と交わる素因子に沿って位数 $0$ なので、$U$ が正規であることから $g$ と $g^{-1}$ はともに $U$ 上正則である（Weil因子 の命題「主因子の準同型性と有効性」の 2）。よって $g\in k[s,t]^\times=k^\times$ であり、$\operatorname{div}(g)=0$、$a=b=0$ である。
2。 $g_F:=F(1,s;1,t)=F/(s_0^at_0^b)\in k[s,t]$ とおく。$W_{ij}$ の上の局所方程式は
$$
\frac{F}{s_i^at_j^b}=g_F\cdot\Bigl(\frac{s_0}{s_i}\Bigr)^a\Bigl(\frac{t_0}{t_j}\Bigr)^b
$$
であり、$W_{ij}$ の上で $s_0/s_i$ の因子は $i=1$ なら $L_1\cap W_{ij}$、$i=0$ なら $0$ である（lem-coq-order の $u$）。$t_0/t_j$ も同様なので、$V(F)$ の Weil 因子は $\operatorname{div}(g_F)+aL_1+bL_2$ であり、型は $(a,b)$ である。
3。 $D\ge0$ を型 $(a,b)$ の因子とし、$D=aL_1+bL_2+\operatorname{div}(g)$ と書く。$D|_U=\operatorname{div}(g)|_U\ge0$ なので、上と同じ理由で $g\in k[s,t]\setminus\{0\}$ である。$L_1,L_2$ に沿った位数が $0$ 以上であることは、lem-coq-order により $\deg_sg\le a$、$\deg_tg\le b$ と同値である。とくに $a<0$ または $b<0$ ならそのような $g$ はない。$a,b\ge0$ なら $F:=s_0^at_0^b\,g(s_1/s_0,t_1/t_0)$ は $S_{a,b}$ の $0$ でない元で $g_F=g$ なので、2 により $V(F)$ の Weil 因子は $D$ である。有効 Cartier 因子は Weil 因子で決まるので $D=V(F)$ である。$V(F)=V(F')$ なら $\operatorname{div}(g_F/g_{F'})=0$ で、1 の議論により $g_F/g_{F'}\in k^\times$、すなわち $F'\in k^\times F$ である。$\square$
型を数える目安として、$L_1$ の族の直線 $\{p\}\times\mathbb{P}^1$ は型 $(1,0)$、$L_2$ の族の直線は型 $(0,1)$ であり、平面 $V_+(x)$ との交わりは $V(s_0t_0)=L_1+L_2$ で型 $(1,1)$ である。同じく、$Q$ を含まない次数 $d$ の曲面 $V_+(G)$ との交わり $V(\sigma^*G)$（$\sigma^*G:=G(s_0t_0,s_1t_1,s_0t_1,s_1t_0)\in S_{d,d}$）は型 $(d,d)$ である。型 $(a,b)$ の曲線 $V(F)$ と直線 $\{p\}\times\mathbb{P}^1$（$V(F)$ に含まれないもの）の交わりは、$t_0,t_1$ の $b$ 次式 $F(p;t_0,t_1)$ の零点であり、重複度込みで $b$ 点である。
可逆層のコホモロジー
$k$ を体、$a,b\in\mathbb{Z}$ とし、$h^i:=\dim_kH^i(Q,\mathcal{O}_Q(a,b))$ とおく。
- $H^0(Q,\mathcal{O}_Q(a,b))=S_{a,b}$ であり、$h^0=(a+1)(b+1)$（$a,b\ge0$ のとき）、それ以外は $h^0=0$ である。
- $a\ge0$ かつ $b\le-2$ なら $h^1=(a+1)(-b-1)$、$a\le-2$ かつ $b\ge0$ なら $h^1=(-a-1)(b+1)$、それ以外は $h^1=0$ である。
- $a,b\le-2$ なら $h^2=(a+1)(b+1)$、それ以外は $h^2=0$ である。
- つねに $\chi(\mathcal{O}_Q(a,b))=(a+1)(b+1)$ である。
Künneth の公式（Stacks Tag 0BED、Lemma 33.29.1。この記事では証明しない）により
$$
H^n(Q,\mathcal{O}_Q(a,b))\cong\bigoplus_{i+j=n}H^i(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(a))\otimes_kH^j(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(b))
$$
であり、$n=0$ の同型は大域切断の積 $(G,H)\mapsto GH$ で与えられる。層コホモロジー の定理「射影空間のコホモロジー」により、$\mathbb{P}^1$ では $H^0(\mathcal{O}(m))=k[s_0,s_1]_m$ で $\dim=\max(m+1,0)$、完全な対により $\dim H^1(\mathcal{O}(m))=\dim H^0(\mathcal{O}(-m-2))=\max(-m-1,0)$ である。これを代入すると 1〜3 を得る（1 の $S_{a,b}=k[s_0,s_1]_a\otimes k[t_0,t_1]_b$ も $n=0$ の同型から従う）。4 は $\chi(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(m))=m+1$ と上の式から $\chi(\mathcal{O}_Q(a,b))=\chi(\mathcal{O}(a))\chi(\mathcal{O}(b))$ になることによる。$\square$
とくに $H^1(Q,\mathcal{O}_Q(l,l))=0$ がすべての $l\in\mathbb{Z}$ で成り立つ。一方 $H^1(Q,\mathcal{O}_Q(a,b))\ne0$ となるのは、一方の成分が $0$ 以上で他方が $-2$ 以下のときであり、この非対称性が後の thm-coq-ci の 2 の理由になる。
型から決まる不変量
$k$ を体、$a,b\ge0$、$(a,b)\ne(0,0)$ とし、$Y=V(F)$（$F\in S_{a,b}\setminus\{0\}$）を型 $(a,b)$ の曲線とする。
- $0\to\mathcal{O}_Q(-a,-b)\xrightarrow{\ \cdot F\ }\mathcal{O}_Q\to\mathcal{O}_Y\to0$ は完全である。
- $\mathbb{P}^3$ の閉部分スキームとしての $Y$ の Hilbert 多項式は $\chi(\mathcal{O}_Y(l))=(a+b)(l+1)-ab$ である。とくに $Y$ の次数は $a+b$、算術種数は $p_a(Y)=(a-1)(b-1)$ である。
- $a\ge1$ かつ $b\ge1$ なら $H^0(Y,\mathcal{O}_Y)=k$ であり、$Y$ は連結で、$\dim_kH^1(Y,\mathcal{O}_Y)=(a-1)(b-1)$ である。
1。 $W_{ij}$ の上で、$\mathcal{O}_Q(-a,-b)$ の基底 $s_i^{-a}t_j^{-b}$ を $F/(s_i^at_j^b)$ に写す写像は、整域 $\mathcal{O}(W_{ij})$ の $0$ でない元の倍なので単射であり、像は $Y$ のイデアルである。
2。 1 に $\mathcal{O}_Q(l)\cong\mathcal{O}_Q(l,l)$ をテンソルした完全列 $0\to\mathcal{O}_Q(l-a,l-b)\to\mathcal{O}_Q(l,l)\to\mathcal{O}_Y(l)\to0$ と Euler 標数の加法性、thm-coq-cohomology の 4 から
$$
\chi(\mathcal{O}_Y(l))=(l+1)^2-(l+1-a)(l+1-b)=(a+b)(l+1)-ab
$$
である。$Y$ は 1 次元なので、Hilbert 多項式の 1 次の係数 $a+b$ が次数であり、算術種数 の定義により $p_a(Y)=1-\chi(\mathcal{O}_Y)=1-(a+b)+ab=(a-1)(b-1)$ である。
3。 1 のコホモロジー長完全列の一部
$$
0\to H^0(\mathcal{O}_Q(-a,-b))\to H^0(\mathcal{O}_Q)\to H^0(\mathcal{O}_Y)\to H^1(\mathcal{O}_Q(-a,-b))\to H^1(\mathcal{O}_Q)\to H^1(\mathcal{O}_Y)\to H^2(\mathcal{O}_Q(-a,-b))\to H^2(\mathcal{O}_Q)
$$
を見る。$-a,-b\le-1$ なので thm-coq-cohomology により $H^0(\mathcal{O}_Q(-a,-b))=H^1(\mathcal{O}_Q(-a,-b))=0$、また $H^0(\mathcal{O}_Q)=k$、$H^1(\mathcal{O}_Q)=H^2(\mathcal{O}_Q)=0$ である。よって $H^0(\mathcal{O}_Y)=k$、$H^1(\mathcal{O}_Y)\cong H^2(\mathcal{O}_Q(-a,-b))$ で、後者の次元は $(-a+1)(-b+1)=(a-1)(b-1)$（$a=1$ または $b=1$ なら $0$）である。$Y$ が空でない開かつ閉な 2 つの部分に分かれれば $H^0(\mathcal{O}_Y)\supset k\times k$ となるので、$Y$ は連結である。$\square$
2・3 は Har77 III 演習 5.6 (b)(1)・(c)（pp. 231–232）の内容にあたり、thm-coq-ci の 2 の論法は同書 III 演習 5.5 (a)（p. 231）と演習 5.6 (a)（特に (3) の、$a\le-2$ なら $H^1(Q,\mathcal{O}_Q(a,0))\ne0$ であること）を組み合わせたものである。3 の仮定は外せない。型 $(2,0)$ の曲線 $V(s_0s_1)$ は交わらない 2 直線 $\{[0:1]\}\times\mathbb{P}^1$ と $\{[1:0]\}\times\mathbb{P}^1$ の和で、$H^0(\mathcal{O}_Y)=k\times k$ である（2 の $p_a=-1$ はこの場合も正しい）。
非特異な曲線と種数
$k$ を代数閉体とし、$a,b\ge1$ とする。$\mathcal{O}_Q(a,b)$ は非常に豊富である（非常に豊富な可逆層 の例「射影直線の積」。$a\le0$ または $b\le0$ なら豊富でもない：豊富な可逆層 の命題「射影空間の積の上の豊富な可逆層」）。対応する閉埋め込み $Q\to\mathbb{P}^N$ の超平面の引き戻しは $S_{a,b}$ の元の零点 $V(F)$ なので、Bertiniの定理（Har77 II 定理 8.18、p. 179。この記事では証明しない）により非特異な $V(F)$ がある。thm-coq-invariants の 3 によりこれは連結で、局所環が整域なので既約成分は交わらず、既約である。こうして型 $(a,b)$（$a,b\ge1$）の既約で非特異な曲線が存在し、その種数は $(a-1)(b-1)$ である（連結で非特異な射影曲線では $p_a=\dim H^1(\mathcal{O}_Y)$ が種数）。
- 型 $(1,b)$：$F=s_0G(t)-s_1H(t)$（$G,H$ は共通根のない $b$ 次式）の零点は写像 $\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$、$[t_0:t_1]\mapsto[H:G]$ のグラフで、$p_2$ により $\mathbb{P}^1$ と同型である。種数 $0$、次数 $1+b$ の有理曲線である。$b=1$ は平面切断の円錐曲線、$b=2$ は次の例のねじれ 3 次曲線である。
- 型 $(2,b)$：$p_2$ のファイバー $\mathbb{P}^1\times\{p\}$ と $Y$ の交わりは $s_0,s_1$ の 2 次式の零点なので、$p_2|_Y\colon Y\to\mathbb{P}^1$ は次数 $2$ の写像である。非特異な $Y$ の種数は $b-1$ であり、どの $g\ge0$ についても、型 $(2,g+1)$ の非特異な曲線として種数 $g$ の曲線が存在する（ただしこれらはすべて $\mathbb{P}^1$ への次数 $2$ の写像をもつので、そのような写像をもたない曲線はこの形では現れない）。
- 型 $(2,2)$・$(3,3)$：$Q$ と 2 次曲面・3 次曲面の交わりであり（thm-coq-ci の 1）、非特異なら種数 $1$・$4$ である。完全交叉 の系「算術種数」の式 $de(d+e-4)/2+1$ と一致する。
種数は標準層の随伴公式からも確かめられる。$\omega_Q\cong\mathcal{O}_Q(-2,-2)$（標準層 の命題「滑らかな射の標準層」の後の例）と同記事の定理「随伴公式」の 3 により、非特異な $Y$ について $\omega_Y\cong\mathcal{O}_Y(a-2,b-2)$ である。$\mathcal{O}_Q(1,0)|_Y$ の次数は直線との交点数 $b$、$\mathcal{O}_Q(0,1)|_Y$ の次数は $a$ なので、$2g-2=(a-2)b+(b-2)a$ となり、$g=(a-1)(b-1)$ に戻る。交点数で書いた同じ計算は 曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の例「$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$」にある。
空間曲線として見る
$\mathbb{P}^3$ の閉部分スキーム $Y$ が完全交叉であるとは、斉次多項式の正則列 $G_1,G_2$ で $Y=V_+(G_1,G_2)$ となるものがあることをいう（完全交叉 の定義「完全交叉」）。
$k$ を体、$a,b\ge0$、$(a,b)\ne(0,0)$ とし、$Y\subset Q$ を型 $(a,b)$ の曲線とする。
- $a=b=d$ なら、$q$ で割り切れない次数 $d$ の斉次多項式 $G$ によって $Y=V_+(q,G)$ と書け、$Y$ は完全交叉である。
- $|a-b|\ge2$ なら、$Y$ は $\mathbb{P}^3$ の完全交叉でない。
1。 完全交叉 の定理「構造層のひねりのコホモロジー」の 1 を超曲面 $Q$ に使うと、制限 $k[x,y,z,w]_d\to H^0(Q,\mathcal{O}_Q(d))$ は全射で核は $q\cdot k[x,y,z,w]_{d-2}$ である。$H^0(Q,\mathcal{O}_Q(d))=H^0(Q,\mathcal{O}_Q(d,d))=S_{d,d}$（thm-coq-cohomology の 1）で、制限は $G\mapsto\sigma^*G$ である。thm-coq-class-group の 3 により $Y=V(F)$、$F\in S_{d,d}$ なので、$F=\sigma^*G$ となる $G\notin(q)$ がある。このとき $Y=V(\sigma^*G)=Q\cap V_+(G)=V_+(q,G)$ であり、$q=xy-zw$ は $x$ について 1 次で、係数 $y$ と $zw$ は互いに素なので既約である。よって $(q)$ は素イデアルで、$G$ は $S/(q)$ の非零因子である。よって $q,G$ は正則列である。
2。 対称性から $a\ge b+2$ としてよい。$Y$ が完全交叉なら、完全交叉 の同じ定理の 1 により制限 $k[x,y,z,w]_l\to H^0(Y,\mathcal{O}_Y(l))$ はすべての $l$ で全射であり、これは $H^0(Q,\mathcal{O}_Q(l,l))\to H^0(Y,\mathcal{O}_Y(l))$ を経由するので、後者も全射である。prf-coq-invariants の 2 の完全列から
$$
H^0(\mathcal{O}_Q(l,l))\to H^0(\mathcal{O}_Y(l))\to H^1(\mathcal{O}_Q(l-a,l-b))\to H^1(\mathcal{O}_Q(l,l))=0
$$
なので、すべての $l$ で $H^1(\mathcal{O}_Q(l-a,l-b))=0$ となる。しかし $l=b$ では $l-a=b-a\le-2$、$l-b=0$ なので、thm-coq-cohomology の 2 により $\dim H^1(\mathcal{O}_Q(b-a,0))=a-b-1\ge1$ であり、矛盾する。$\square$
$|a-b|=1$ ではどちらも起こる。型 $(1,0)$ の直線は 2 平面の完全交叉であり、型 $(1,2)$ のねじれ 3 次曲線は完全交叉でない（完全交叉 の例「ねじれ 3 次曲線は完全交叉でない」）。$|a-b|\ge2$ の最も簡単な例は型 $(1,3)$ の有理 4 次曲線 $\{[\lambda^4:\mu^4:\lambda^3\mu:\lambda\mu^3]\}$ で、完全交叉でない。
$C:=\{[\lambda^3:\mu^3:\lambda^2\mu:\lambda\mu^2]\}$ は $xy=zw$ をみたし、$\sigma([\lambda^2:\mu^2],[\lambda:\mu])$ と書けるので $C=V(s_0t_1^2-s_1t_0^2)$、型 $(1,2)$ である。$Q$ を含まない曲面 $V_+(G)$（次数 $d\ge1$）で $Q\cap V_+(G)=C$ が台として成り立つものはない。実際、そうなら有効因子 $V(\sigma^*G)$ の台は既約な $C$ なので $V(\sigma^*G)=rC$（$r\ge1$）であり、型を比べると $(d,d)=(r,2r)$、すなわち $r=0$ となって矛盾する（Har77 II 例 6.6.3、p. 136）。$C$ が 2 つの曲面の交わりとして台では書けること（完全交叉 の例の後の段落）と比べると、その一方の曲面は $Q$ にとれない。
反例：条件を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $a\ge1$ かつ $b\ge1$（thm-coq-invariants の 3） | 型 $(2,0)$ の $V(s_0s_1)$ | 連結性（$H^0(\mathcal{O}_Y)=k\times k$） |
| $\lvert a-b\rvert\ge2$（thm-coq-ci の 2） | 型 $(1,0)$ の直線 $V_+(x,z)$ | 完全交叉でないこと |
| 局所方程式が $0$ でない（有効 Cartier 因子） | 零イデアルの定める $Y=Q$ | 型 $(a,b)$ をもち $p_a=(a-1)(b-1)$ となること |
3 行目の $Q$ は、局所的に 1 つの元（$0$）で生成されるイデアルの閉部分スキームではあるが、その元が零因子なので Cartier 因子ではなく、2 次元で、曲線の型も算術種数の式も意味をもたない。型の議論は局所方程式が非零因子である場合に限る。
関連項目
参考文献
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