Hardtの自明化定理

同義語：Hardtの自明性定理Hardtの定理(自明化)定義可能な自明化定理半代数的自明化定理Hardt's triviality theoremHardt trivialitygeneric triviality (o-minimal)

概要

前提知識: o-極小構造, 胞体分解定理(o-極小), ファイバー束, 半代数的集合

Hardt の自明化定理（Hardt's triviality theorem）は、o-極小構造で定義可能な連続写像 $f\colon A\to\mathbb{R}^n$ について、像 $f(A)$ を有限個の定義可能な集合 $C_1,\dots,C_l$ に分けると、各 $C_i$ の上で $f$ が直積の射影と同じ形になる（定義可能に自明になる）ことを述べる定理である。つまり、$f^{-1}(C_i)$ は $C_i\times F_i$ と、$f$ を第 1 成分への射影に移す定義可能な同相写像で同一視できる。半代数的な写像について R. Hardt が 1980 年に証明し、o-極小構造に一般化された。
この定理から、定義可能な族のファイバーは有限個の位相型しかもたないこと、ファイバーの連結成分の個数が一様に有界であること、ファイバーの次元が定義可能な形で決まることが導かれる。ファイバー束の局所自明性とは違い、自明になるのは分割の各片の上だけであり、片の境目ではファイバーの形が変わってよい。この記事では、定理を述べ、例と反例を挙げ、証明の骨格を所在とともに示し、帰結を完全に証明する。

定義

以下、$\mathcal{R}=(\mathbb{R},+,\cdot,<,\dots)$ を実数体の o-極小な拡大とし（o-極小構造）、「定義可能」は $\mathcal{R}$ でパラメータ付きで定義可能なことを指す。$\mathbb{R}^n$ には通常の位相を入れる。

定義可能な自明性

$A\subset\mathbb{R}^m$ を定義可能集合、$f\colon A\to\mathbb{R}^n$ を定義可能な連続写像、$C\subset\mathbb{R}^n$ を定義可能集合とする。$f$ が $C$ の上で定義可能に自明であるとは、定義可能集合 $F\subset\mathbb{R}^k$（ある $k$）と定義可能な同相写像
$$ h\colon f^{-1}(C)\to C\times F $$
で、$\mathrm{pr}_1\circ h=f|_{f^{-1}(C)}$ となるものがあることをいう。$h$ を $f$ の $C$ の上の自明化、$F$ をファイバーという。$A$ の定義可能な部分集合 $S_1,\dots,S_q$ があるとき、$F$ の部分集合 $F_1,\dots,F_q$ で $h(S_j\cap f^{-1}(C))=C\times F_j$ となるなら、$h$ は $S_1,\dots,S_q$ と両立するという。

条件 $\mathrm{pr}_1\circ h=f$ は、次の図式が可換であることである。
$$ \xymatrix{ f^{-1}(C) \ar[rr]^{h} \ar[dr]_{f} & & C\times F \ar[dl]^{\mathrm{pr}_1} \\ & C & } $$
すなわち $h(a)=(f(a),g(a))$（$g:=\mathrm{pr}_2\circ h$）の形である。特に、各 $y\in C$ について $h$ はファイバー $f^{-1}(y)$ を $\{y\}\times F$ の上へ写すので、$C$ の上のファイバーはすべて $F$ と定義可能に同相である。$C\subset f(A)$ のとき、この定義は van den Dries–Miller の「$\mathcal{S}$-自明」（定義可能な $g$ があって $a\mapsto(f(a),g(a))$ が $f^{-1}(C)$ から $C\times g(f^{-1}(C))$ への同相写像になること。vdDM96 p. 14）と同じである（$F:=g(f^{-1}(C))$ とおけばよい）。

自明性は部分集合に遺伝する

$f$ が $C$ の上で定義可能に自明で、$C'\subset C$ が定義可能なら、$f$ は $C'$ の上でも同じファイバー $F$ で定義可能に自明である。

自明化 $h\colon f^{-1}(C)\to C\times F$ は $\mathrm{pr}_1\circ h=f$ を満たすので、$h(f^{-1}(C'))=C'\times F$ である。$h$ の $f^{-1}(C')$ への制限は、$f^{-1}(C')$ から $C'\times F$ への定義可能な同相写像で、$\mathrm{pr}_1\circ h=f$ を満たす。$\square$

定理

Hardt の自明化定理

$A\subset\mathbb{R}^m$ を定義可能集合、$f\colon A\to\mathbb{R}^n$ を定義可能な連続写像とする。$f(A)$ を有限個の定義可能集合 $C_1,\dots,C_l$ に分割して、$f$ が各 $C_i$ の上で定義可能に自明であるようにできる。

定理の読み方

結論は、各片の上で $f$ のファイバーがすべて同じ $F_i$ と定義可能に同相である、ということである。したがって $f$ のファイバーの定義可能な同相型は、有限個しか現れない。片の個数 $l$ と片そのものは $f$ に依存して選ぶ。また、片を開集合にとれるとは限らない。

この記事では証明しない。o-極小な場合は vdDM96 4.11（generic triviality、p. 14。証明は同論文が引く van den Dries の本による。同 p. 11）にあり、同じ頁に「半代数的な場合は Hardt による」と注意がある。半代数的な場合は、実閉体 $R$ の上で、部分集合と両立する形で BPR16 Theorem 5.45・5.46（pp. 200–201）が証明している：

半代数的な自明化（部分集合と両立する形）

$R$ を実閉体、$S\subset R^k$、$T\subset R^m$ を半代数的集合、$f\colon S\to T$ を半代数的な連続写像、$S_1,\dots,S_q\subset S$ を半代数的集合とする。$T$ を有限個の半代数的集合 $T_1,\dots,T_r$ に分割し、各 $i$ と点 $x_i\in T_i$ について、$F_i:=f^{-1}(x_i)$ の半代数的部分集合 $F_{i,1},\dots,F_{i,q}$ と、半代数的な同相写像 $\theta_i\colon T_i\times F_i\to f^{-1}(T_i)$ で、$f\circ\theta_i$ が射影 $T_i\times F_i\to T_i$ に等しく、$\theta_i(T_i\times F_{i,j})=S_j\cap f^{-1}(T_i)$ となるものがとれる。

部分集合との両立の意味

条件 $\theta_i(T_i\times F_{i,j})=S_j\cap f^{-1}(T_i)$ は、同じ自明化が与えられた有限個の半代数的部分集合 $S_1,\dots,S_q$ を同時に保つことを表す。この性質があるから、分割をさらに細かくしたり、部分集合に制限したりしても自明性が保たれる。

（BPR16 Theorem 5.46、p. 201。$\theta_i$ の逆写像が上の定義の $h$ である。）Hardt の原論文は "Semi-algebraic local-triviality in semi-algebraic mappings"（Amer. J. Math. 102, 1980）で、BPR16 p. 209 の文献の注がこれを原典として挙げている。
prop-ht-restriction により、分割 $C_1,\dots,C_l$ はいくらでも細かくしてよい。特に、胞体分解定理(o-極小) により $C_1,\dots,C_l$ と両立する分解をとれば、分割の各片を胞体にとれる。分割の片は一般に開集合にとれず、次元の低い片が必要になる（下の ex-ht-sum-of-squares）。

例

2 乗和

$f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$、$f(x,y)=x^2+y^2$ とする。$f(\mathbb{R}^2)=[0,+\infty)$ を $C_1=\{0\}$、$C_2=(0,+\infty)$ に分けると、$f$ は各片の上で定義可能に自明である。$C_2$ の上の自明化は
$$ h\colon f^{-1}(C_2)=\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\to(0,+\infty)\times S^1,\qquad h(p)=\bigl(\lvert p\rvert^2,\ p/\lvert p\rvert\bigr) $$
で、逆写像 $(t,u)\mapsto\sqrt t\,u$ も連続かつ半代数的であり、$\mathrm{pr}_1\circ h=f$ である。$C_1$ の上ではファイバーは 1 点で、$h(0)=(0,\ast)$ とすればよい。ファイバーは $t>0$ で円周、$t=0$ で 1 点なので、$f$ は $[0,+\infty)$ 全体の上では自明でない。さらに、$0$ を含むどんな開区間 $J$ についても、$J\cap[0,+\infty)$ の上で自明でない（$0$ と $t>0$ のファイバーが同相でない）ので、$f$ は $0$ の近くで局所自明でもない。

2 次方程式の実根

$A:=\{(b,c,x)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+bx+c=0\}$ と射影 $f(b,c,x)=(b,c)$ を考える。$f(A)=\{b^2\ge4c\}$ を $C_1:=\{b^2>4c\}$ と $C_2:=\{b^2=4c\}$ に分ける。$C_1$ の上では、根は $x=(-b\pm\sqrt{b^2-4c})/2$ の 2 つで、$2x+b=\pm\sqrt{b^2-4c}\ne0$ である。
$$ h\colon f^{-1}(C_1)\to C_1\times\{-1,1\},\qquad h(b,c,x)=\bigl((b,c),\ \operatorname{sgn}(2x+b)\bigr) $$
は連続で（$f^{-1}(C_1)$ の上で $2x+b$ は $0$ にならない）、逆写像 $((b,c),\varepsilon)\mapsto\bigl(b,c,(-b+\varepsilon\sqrt{b^2-4c})/2\bigr)$ も連続なので、自明化である。$C_2$ の上ではファイバーは 1 点 $x=-b/2$ で、$h(b,c,x)=((b,c),0)$ が自明化である。根が存在する条件 $b^2-4c\ge0$ は Tarski–Seidenbergの定理の例「2 次方程式の実数解の存在」にある。上の自明化は、それに加えて、根の個数と大小の並びが片 $C_1,C_2$ の上で一定であることを表している。

双曲線と原点

$A:=\{(x,y)\mid xy=1\}\cup\{(0,0)\}$、$f(x,y)=x$ とする。$f$ は $A$ から $\mathbb{R}$ への連続な全単射で、ファイバーはすべて 1 点である。それでも $f$ は $\mathbb{R}$ 全体の上では自明でない：自明化 $h\colon A\to\mathbb{R}\times F$ があれば $F$ は 1 点で、$f$ は同相写像になるが、$A$ は 3 つの連結成分をもち $\mathbb{R}$ は連結である。$C_1=(-\infty,0)$、$C_2=\{0\}$、$C_3=(0,+\infty)$ に分ければ、各片の上で $f$ は同相写像なので自明である。ファイバーがすべて同相でも、分割が必要になることがある。

証明の骨格

この記事では、半代数的な場合の BPR16 の証明（Theorem 5.46 の証明、pp. 201–203）の骨格を述べる。

帰着：$x\mapsto x/(1+\lvert x\rvert)$ の形の半代数的同相で $S,T$ を有界にし、$S$ を $f$ のグラフに替えて、$f$ を射影 $R^{m+k}\to R^m$ の制限としてよい。$(m,k)$ の辞書式順序についての帰納法を行う。
悪い所の除去：$S$ を定める多項式を、ファイバーの変数 $X_k$ についての多項式と見て、最高次の係数の積 $A(Y)$ を作る。$\{A=0\}$ は $T$ の中で次元が $m$ より小さいので、帰納法の仮定で処理できる。
ファイバーの三角形分割：残りの所では、変数を取り替えて多項式を $X_k$ について最高次の係数が定数の形にし、射影と両立する三角形分割（同 Proposition 5.44、p. 200）で $S$ と $\pi(S)$ を同時に三角形分割する。$\pi(S)$ に帰納法の仮定（$k$ が 1 つ小さい）を当てはめる。
自明化の構成：$\pi(S)$ の上の自明化を、ファイバー方向の各線分の上で 1 次関数として持ち上げる。
o-極小な場合の証明は van den Dries の本にある（vdDM96 p. 11 の注意）。

帰結

この節の命題は、thm-ht-main から完全に導く。

ファイバーの位相型の有限性

定義可能な連続写像 $f\colon A\to\mathbb{R}^n$ のファイバー $f^{-1}(y)$（$y\in f(A)$）は、同相を除いて有限個の型しかもたない。さらに、$f(A)$ を有限個の定義可能集合 $C_1,\dots,C_l$ に分割して、同じ $C_i$ に属する $y,y'$ のファイバーは定義可能に同相である。

thm-ht-main の分割 $C_1,\dots,C_l$ と自明化 $h_i\colon f^{-1}(C_i)\to C_i\times F_i$ をとる。$y\in C_i$ なら $h_i$ の制限 $f^{-1}(y)\to\{y\}\times F_i$ は定義可能な同相写像である。よって $C_i$ の上のファイバーはすべて $F_i$ と定義可能に同相であり、型は $F_1,\dots,F_l$ の高々 $l$ 通りである。$\square$

連結成分の個数の一様な有界性

$A\subset\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n$ を定義可能集合とし、$x\in\mathbb{R}^m$ について $A_x:=\{z\in\mathbb{R}^n\mid(x,z)\in A\}$ とする。自然数 $N$ があって、すべての $x$ について $A_x$ の連結成分は $N$ 個以下である。

射影 $p\colon A\to\mathbb{R}^m$、$p(x,z)=x$ は定義可能な連続写像で、ファイバーは $p^{-1}(x)=\{x\}\times A_x$ で $A_x$ と同相である。cor-ht-finite-types により、$A_x$ は有限個の定義可能集合 $F_1,\dots,F_l$ のどれかと同相である。各 $F_i$ は定義可能集合なので、有限個の連結成分をもつ（胞体分解定理(o-極小) の系「定義可能に連結な成分の有限性」と、実数体の拡大では胞体が連結であること）。$N$ を $F_1,\dots,F_l$ の連結成分の個数の最大値とすればよい。$\square$

これは vdDM96 4.4（p. 13）の主張であり、一般の o-極小構造では Knight–Pillay–Steinhorn の定理（KPS86 Theorem 0.3、p. 593）として別の方法で証明されている。
ファイバーの次元を調べるために、定義可能集合の次元（胞体分解定理(o-極小) の定義「定義可能集合の次元」）について、次の事実を使う：次元は分解によらず、定義可能な全単射で変わらない（Edm00 p. 6 の一覧。この記事では証明しない）。特に、定義可能な同相写像は次元を保つ。

直積の次元

定義可能集合 $C\subset\mathbb{R}^n$、$F\subset\mathbb{R}^k$ について $\dim(C\times F)=\dim C+\dim F$ である。

$C$ と両立する $\mathbb{R}^n$ の分解 $\mathcal{D}$ と、$F$ と両立する $\mathbb{R}^k$ の分解 $\mathcal{E}$ をとる。胞体 $D\subset\mathbb{R}^n$ と $E\subset\mathbb{R}^k$ の積 $D\times E$ は $\mathbb{R}^{n+k}$ の次元 $\dim D+\dim E$ の胞体である。実際、$E$ の構成についての帰納法で、$E=\{a\}$ なら $D\times E$ は定数関数のグラフ、$E=(a,b)$ なら定数関数に挟まれた帯であり、$E$ が $E'$ 上の連続関数 $\varphi$ のグラフなら $D\times E$ は $D\times E'$ 上の関数 $(x,z)\mapsto\varphi(z)$ のグラフ、$E$ が $E'$ 上の帯 $(\varphi,\psi)_{E'}$ なら $D\times E$ は $D\times E'$ 上の帯である。同じ帰納法で、積の全体 $\{D\times E\}$ は $\mathbb{R}^{n+k}$ の分解であり（射影は $\{D\times\pi(E)\}$）、$C\times F$ と両立する。$C\times F$ に含まれる胞体は $D\subset C$、$E\subset F$ の積なので、その次元の最大値は $\dim C+\dim F$ である。$\square$

ファイバーの次元

定義可能な連続写像 $f\colon A\to\mathbb{R}^n$ について、各 $d$ で集合 $\{y\in f(A)\mid\dim f^{-1}(y)=d\}$ は定義可能である。さらに、thm-ht-main の分割 $C_1,\dots,C_l$ とファイバー $F_i$ について
$$ \dim f^{-1}(C_i)=\dim C_i+\dim F_i,\qquad\dim A=\max_i\bigl(\dim C_i+\dim F_i\bigr) $$
が成り立つ。

$y\in C_i$ のファイバーは $F_i$ と定義可能に同相なので $\dim f^{-1}(y)=\dim F_i$ である。よって $\{y\mid\dim f^{-1}(y)=d\}$ は $\dim F_i=d$ となる $C_i$ の和で、定義可能である。$f^{-1}(C_i)$ は $C_i\times F_i$ と定義可能に同相なので、lem-ht-product-dimension により $\dim f^{-1}(C_i)=\dim C_i+\dim F_i$ である。$A$ は $f^{-1}(C_1),\dots,f^{-1}(C_l)$ の交わらない和で、これらすべてと両立する分解で次元を計算すると、$\dim A$ は各 $\dim f^{-1}(C_i)$ の最大値である。$\square$

たとえば ex-ht-sum-of-squares では、$\dim C_2+\dim S^1=1+1=2=\dim\mathbb{R}^2$、$\dim C_1+0=0$ である。
部分集合と両立する形（thm-ht-semialgebraic）を使うと、集合族の「埋め込まれ方」まで有限個の型に分かれる。

次数を限った代数的集合の位相型の有限性

$k,d$ を正の整数とし、次数 $d$ 以下の有限個の実係数多項式の共通零点として表される $\mathbb{R}^k$ の部分集合の全体を $\mathcal{M}(k,d)$ とする。有限個の $V_1,\dots,V_s\in\mathcal{M}(k,d)$ があって、各 $V\in\mathcal{M}(k,d)$ について、ある $i$ と $\mathbb{R}^k$ の半代数的な同相写像 $\phi$ で $\phi(V_i)=V$ となるものがある。

$V=\{P_1=\cdots=P_r=0\}$ なら $V=\{Q=0\}$、$Q:=\sum_jP_j^2$ で、$\deg Q\le2d$ である。次数 $2d$ 以下の $k$ 変数多項式を係数の組で $\mathbb{R}^N$ の点と同一視し、$S:=\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}^k$、$S_1:=\{(Q,x)\mid Q(x)=0\}$（代数的集合）、$f\colon S\to\mathbb{R}^N$ を射影とする。thm-ht-semialgebraic により、$\mathbb{R}^N$ の分割 $T_1,\dots,T_r$、点 $Q_i\in T_i$、同相写像 $\theta_i\colon T_i\times F_i\to T_i\times\mathbb{R}^k$（$F_i=f^{-1}(Q_i)=\{Q_i\}\times\mathbb{R}^k$）で、$f\circ\theta_i$ が射影で、$\theta_i(T_i\times F_{i,1})=S_1\cap f^{-1}(T_i)$ となるものがとれる。$Q\in T_i$ について $\theta_i(Q,\cdot)\colon F_i\to\{Q\}\times\mathbb{R}^k$ は同相写像で、$F_{i,1}$ を $\{Q\}\times\{Q=0\}$ の上へ写す。したがって
$$ \phi_Q:=\theta_i(Q,\cdot)\circ\theta_i(Q_i,\cdot)^{-1}\colon\{Q_i\}\times\mathbb{R}^k\to\{Q\}\times\mathbb{R}^k $$
は半代数的な同相写像で、$\{Q_i\}\times\{Q_i=0\}$ を $\{Q\}\times\{Q=0\}$ の上へ写す。$T_i$ が $\mathcal{M}(k,d)$ の集合を表す $Q$ を含むときは、$Q_i$ をそのような $Q$ に選び直しておく（$Q_i$ は $T_i$ の任意の点でよい）。$V_i:=\{Q_i=0\}$ とすれば主張を得る。$\square$

これは BPR16 Theorem 5.47（p. 203）とその証明である。同じ頁の Theorem 5.48（局所錐構造：半代数的集合 $E$ の孤立点でない点 $x$ の十分小さい閉球の中で、$E$ は $x$ を頂点とし球面との共通部分を底とする錐と半代数的に同相）も、thm-ht-semialgebraic を距離関数 $y\mapsto\lvert y-x\rvert$ に当てはめて得られる（この記事では証明しない）。

反例

反例：o-極小でない構造

構造 $(\mathbb{R},+,\cdot,<,\sin)$ は o-極小でない（o-極小構造の反例「正弦関数を加えた構造」）。この構造で定義可能な集合
$$ A:=\{(t,y)\mid0< t\le1,\ 0\le y\le1,\ \sin(\pi y/t)=0\} $$
と連続な射影 $f(t,y)=t$ を考える。ファイバーは $f^{-1}(t)=\{t\}\times\{kt\mid k\in\mathbb{Z},\ 0\le kt\le1\}$ で、ちょうど $\lfloor1/t\rfloor+1$ 個の点からなる。$f((0,1])$ を有限個の片に分けて各片の上で自明にできたとすると、同じ片の上のファイバーは同相で点の個数が等しいので、ファイバーの点の個数は有限個の値しかとらない。しかし $\lfloor1/t\rfloor+1$ は $2$ 以上のすべての整数の値をとるので、矛盾である。o-極小性を外すと Hardt の自明化定理は成り立たない。

ex-ht-hyperbola と ex-ht-sum-of-squares は、分割を許すことが必要であることを示す反例でもある。

外す条件	反例	成り立たなくなること
o-極小性	$\sin(\pi y/t)=0$ の射影（ex-ht-sine）	有限個の片の上での自明化、ファイバーの型の有限性
分割を許すこと（像全体の上で自明にする）	双曲線と原点の射影（ex-ht-hyperbola）	自明性（ファイバーがすべて 1 点でも成り立たない）
分割の片の次元を下げること（開集合の片だけにする）	$x^2+y^2$（ex-ht-sum-of-squares）	$0$ の近くでの自明性（ファイバーの型が $0$ で変わる）