正多角形

(1 ⇒ 2)。凸 $n$ 角形では、$j=k+1$ として def-rpg-convex を辺 $v_{k-1}v_k$ に使うと $\operatorname{Im}(e_k/e_{k-1})>0$ であり、$e_k/e_{k-1}=\frac{\lvert e_k\rvert}{\lvert e_{k-1}\rvert}e^{i\tau_k}$ と書くと 曲がる角 $\tau_k$ は $(0,\pi)$ にとれる。内角 $\alpha_k$ は $-e_{k-1}$ と $e_k$ のなす角なので、$e_{k-1}$ と $e_k$ のなす角 $\tau_k$ と $\alpha_k=\pi-\tau_k$ の関係にある。
1 を仮定すると、辺の長さが等しく、$\alpha_k$ が等しいので $\tau_k$ も等しい。その共通の値を $\tau\in(0,\pi)$、$\zeta:=e^{i\tau}$ とおくと $e_k=\zeta e_{k-1}$、したがって $e_k=\zeta^ke_0$ である。添字は $n$ を法として考えるので $e_n=e_0$ であり、$\zeta^n=1$ である。よって $\tau=\frac{2\pi m}{n}$ と書け、$0<\tau<\pi$ から $1\le m<\frac n2$ である。$\zeta\ne1$ なので
$$ v_k=v_0+\sum_{j=0}^{k-1}e_j=v_0+e_0\frac{\zeta^k-1}{\zeta-1}=c+\rho\,\zeta^k,\qquad c:=v_0-\frac{e_0}{\zeta-1},\ \rho:=\frac{e_0}{\zeta-1} $$
である。あとは $m=1$ を示せばよい。
$d:=\gcd(m,n)>1$ なら $\zeta^{n/d}=1$ なので $v_{n/d}=v_0$ となり、頂点が相異なることに反する。よって $m$ と $n$ は互いに素で、$\{\zeta^k\}$ は $1$ の $n$ 乗根全体 $\{\omega^j\}$ と一致する（1の冪根）。とくに $\omega=\zeta^{k_0}$ となる $k_0$ があり、$v_{k_0}=c+\rho\,\omega$ は頂点である。$m\ge2$ と仮定すると $\omega\ne1,\zeta$ なので $k_0\ne0,1$ である。ここで
$$ \frac{v_{k_0}-v_0}{v_1-v_0}=\frac{\omega-1}{\zeta-1} =\frac{e^{\pi i/n}\cdot 2i\sin\frac{\pi}{n}}{e^{\pi i m/n}\cdot 2i\sin\frac{\pi m}{n}} =\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi m}{n}}\,e^{-\pi i(m-1)/n} $$
であり（$e^{ix}-1=e^{ix/2}\cdot2i\sin\frac x2$ を使った）、$0<\frac{\pi(m-1)}n<\pi$ なので虚部は負である。これは $v_{k_0}$ が辺 $v_0v_1$ の右側にあることを意味し、凸性に反する。よって $m=1$、$\zeta=\omega$ で、2 が成り立つ。
(2 ⇒ 3)。$g(z):=c+\omega(z-c)$ は点 $c$ のまわりの角 $\frac{2\pi}n$ の回転で、$g(c+\rho\,\omega^k)=c+\rho\,\omega^{k+1}$ である。
(3 ⇒ 1)。回転は長さと角を保つ。$g$ は辺 $v_kv_{k+1}$ を辺 $v_{k+1}v_{k+2}$ に、頂点 $v_k$ の 2 辺を頂点 $v_{k+1}$ の 2 辺に移すので、$\lvert e_{k+1}\rvert=\lvert e_k\rvert$、$\alpha_{k+1}=\alpha_k$ である。
(後半)。$w_k:=c+\rho\,\omega^k$ とおく。$\rho\ne0$ で $\omega^k$（$0\le k< n$）は相異なるので、$w_k$ も相異なる。$j\ne k,k+1$ について
$$ \frac{w_j-w_k}{w_{k+1}-w_k}=\frac{\omega^{j-k}-1}{\omega-1} =\frac{\sin\frac{\pi(j-k)}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}}\,e^{\pi i(j-k-1)/n} $$
である。$j-k$ を $2\le j-k\le n-1$ の範囲の代表にとると、$\sin\frac{\pi(j-k)}n>0$ かつ $0<\frac{\pi(j-k-1)}n<\pi$ なので虚部は正である。よって凸 $n$ 角形であり、2 ⇒ 1 から正 $n$ 角形である。辺ベクトルは $e_k=\rho\,\omega^k(\omega-1)$ なので曲がる角は $\frac{2\pi}n$、内角は $\pi-\frac{2\pi}n=\frac{(n-2)\pi}{n}$ である。$\square$

$c=0$、$\rho=R$ としてよい（平行移動と回転は長さと面積を変えない）。1 辺の長さは $\lvert R\omega-R\rvert=R\lvert e^{2\pi i/n}-1\rvert=2R\sin\frac{\pi}{n}$ である。辺 $v_kv_{k+1}$ の中点は $\frac R2(\omega^k+\omega^{k+1})=R\cos\frac{\pi}{n}\,\omega^{k+\frac12}$（$\omega^{k+\frac12}:=e^{\pi i(2k+1)/n}$）で、中心からの距離は $R\cos\frac{\pi}{n}$ である。中心と辺の両端は二等辺三角形をなすので、中心から辺への垂線の足は中点であり、中心から辺の直線までの距離は $r$ である。辺の上の中点以外の点は中点より遠いので、半径 $r$ の円は辺と中点だけで交わり、そこで接する。面積は、中心と各辺の作る $n$ 個の三角形（頂角 $\frac{2\pi}n$、等辺 $R$）の面積の和で $n\cdot\frac12R^2\sin\frac{2\pi}{n}$ であり、$\frac12 s r\cdot n=nR^2\sin\frac\pi n\cos\frac\pi n$ とも等しい。$\square$

どの場合も、すべての $\theta_k$ が $\frac{2\pi}n$ に等しいことを示せば、$v_k=c+\rho\,\omega^k$（$\rho:=v_0-c$）となり、thm-rpg-main の 2 から正 $n$ 角形である。
(1) $\sin\frac{\theta_k}2$ がすべて等しいので、その値を $\sin\frac\theta2$（$0<\theta\le\pi$）と書くと、各 $\theta_k$ は $\theta$ か $2\pi-\theta$ である。$\theta=\pi$ ならすべて $\pi$ で、和が $2\pi$ なので $n=2$ となり矛盾する。$\theta<\pi$ とし、$2\pi-\theta$ に等しい $\theta_k$ が $l$ 個あるとする。$l\ge2$ なら和は $2(2\pi-\theta)>2\pi$ を超えて矛盾する。$l=1$ なら $(n-1)\theta+2\pi-\theta=2\pi$ から $(n-2)\theta=0$ で矛盾する。よって $l=0$ で、すべて $\theta$ に等しく、$n\theta=2\pi$ である。
(2)・(3) 内角がすべて等しいことは、$\theta_{k-1}+\theta_k$ が $k$ によらないことと同値である。これは $\theta_{k+1}=\theta_{k-1}$（すべての $k$）と同値である（$\theta_k+\theta_{k+1}=\theta_{k-1}+\theta_k$ による）。$n$ が偶数なら、これが 3 の条件である。$n$ が奇数なら、$k\mapsto k+2$ を繰り返すとすべての剰余類を通るので、すべての $\theta_k$ が等しく、$\frac{2\pi}n$ である。$\square$

中心を原点にとり、$v_k=Re^{i\varphi_k}$ と書く。反時計回りの凸多角形の面積は 靴ひも公式 により $\frac12\sum_k\operatorname{Im}(\overline{v_k}\,v_{k+1})$ で、$\overline{v_k}\,v_{k+1}=R^2e^{i\theta_k}$ なので
$$ S=\frac{R^2}2\sum_{k=0}^{n-1}\sin\theta_k $$
である。$t_0:=\frac{2\pi}n\in(0,\pi)$ とし、$\sum_k\sin\theta_k\le n\sin t_0$ と等号条件を示す。
場合 1（すべての $\theta_k<\pi$）。$h(\theta):=\sin t_0+(\theta-t_0)\cos t_0-\sin\theta$ とおくと $h(t_0)=0$、$h'(\theta)=\cos t_0-\cos\theta$ は $[0,\pi]$ で $\theta< t_0$ なら負、$\theta>t_0$ なら正なので、$h\ge0$ で等号は $\theta=t_0$ のときだけである。$k$ について足すと、$\sum_k\theta_k=nt_0$ より $\sum_k\sin\theta_k\le n\sin t_0$ で、等号はすべての $\theta_k=t_0$ のときだけである。
場合 2（ある $\theta_j\ge\pi$）。$\sin\theta_j\le0$ である。残りの $n-1$ 個は和が $2\pi-\theta_j\le\pi$ なので、どれも $(0,\pi)$ にあり、$\sin x\le x$ より $\sum_{k\ne j}\sin\theta_k<\sum_{k\ne j}\theta_k\le\pi$ である。$n=3$ のときは、さらに $\sin\theta_k\le1$ から和は $2$ 以下で、$3\sin\frac{2\pi}3=\frac{3\sqrt3}2>2$ である。$n\ge4$ のときは、$[0,\frac\pi2]$ で $\sin x\ge\frac{2}{\pi}x$（正弦の凹性）を $x=t_0\le\frac\pi2$ に使って $n\sin t_0\ge4>\pi$ である。どちらでも $\sum_k\sin\theta_k< n\sin t_0$ である。
よって $S\le\frac n2R^2\sin t_0$ で、等号はすべての $\theta_k=\frac{2\pi}n$ のとき、すなわち（prf-rpg-cyclic の冒頭と同じく）正 $n$ 角形のときだけである。$\square$

$1\le m\le n-1$ で $\gcd(m,n)=1$ となる $m$ は $\varphi(n)$ 個ある。$\gcd(m,n)=\gcd(n-m,n)$ なので、$m\mapsto n-m$ はこれらを組にし、$n\ge3$ なら $m=\frac n2$ は（$n$ が奇数なら整数でなく、偶数なら $\gcd(\frac n2,n)=\frac n2\ge2$ なので）この中にない。よって各組のちょうど一方が $m<\frac n2$ を満たし、その個数は $\frac{\varphi(n)}2$ である。$m=1$ が凸な正 $n$ 角形で、残りが星形である。$\square$