射影公式(加群層)
概要
射影公式(加群層)（projection formula for sheaves of modules）とは、環付き空間の射 $f\colon X\to Y$、$X$ 上の加群層 $\mathcal{F}$、$Y$ 上の有限階数の局所自由層 $\mathcal{E}$ についての自然な同型 $f_*\mathcal{F}\otimes\mathcal{E}\cong f_*(\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{E})$ である。$\mathcal{E}$ が局所的に自由なら両辺が $f_*\mathcal{F}$ の有限直和になることから従い、高次順像についても成り立つ。Noether スキームの分離射と準連接層では $\mathcal{E}$ を平坦な準連接層に弱められる。射影束の順像の計算や引き戻しの忠実性に使われる。
環付き空間の射 $f\colon X\to Y$ と、$X$ 上の加群層 $\mathcal{F}$、$Y$ 上の有限階数の局所自由層 $\mathcal{E}$ について、自然な同型
$$
f_*\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_Y}\mathcal{E}\;\cong\;f_*\bigl(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}f^*\mathcal{E}\bigr)
$$
が成り立つ。これを射影公式（projection formula）という。$Y$ から引き戻した層とのテンソル積は、順像をとるときに外へ出せる、という主張である。$\mathcal{E}$ が局所的に $\mathcal{O}_Y^{\oplus r}$ なら両辺とも $(f_*\mathcal{F})^{\oplus r}$ になる、というのが証明の核心で、同じ理由で高次順像 $R^if_*$ についても成り立つ。Noether スキームの分離射と準連接層については、$\mathcal{E}$ を平坦な準連接層に広げることもできる。射影束 $\pi\colon\mathbb{P}(\mathcal{V})\to S$ の上の計算 $\pi_*\pi^*\mathcal{L}\cong\mathcal{L}$ や、$f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ のときの引き戻しの忠実性など、代数幾何で頻繁に使われる。
「射影公式」という名前は、ほかに集合の像と逆像の等式 $f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$（像(写像) の命題「像と逆像の射影公式」）、コホモロジーの Gysin 写像の等式（Gysin写像 の命題「射影公式」）、導来圏の六演算の同型（六演算 の定理「射影公式と固有基底変換」）にも使われる。この記事は加群層の順像についての射影公式を扱う。
定義
$f\colon(X,\mathcal{O}_X)\to(Y,\mathcal{O}_Y)$ を環付き空間の射とする。$Y$ の開集合 $V$ と $Y$ 上の $\mathcal{O}_Y$ 加群 $\mathcal{G}$ の切断 $g\in\mathcal{G}(V)$ について、$f^*g\in(f^*\mathcal{G})(f^{-1}V)$ を、自然な写像 $\mathcal{G}(V)\to(f^{-1}\mathcal{G})(f^{-1}V)\to(f^*\mathcal{G})(f^{-1}V)$ による $g$ の像とする。$X$ 上の $\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ について、$g$ をかける射
$$
m_g\colon\mathcal{F}|_{f^{-1}V}\longrightarrow(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}f^*\mathcal{G})|_{f^{-1}V},\qquad s\longmapsto s\otimes f^*g
$$
は $\mathcal{O}_X$ 線型である。$a\in\mathcal{O}_Y(V)$ について $m_{ag}=f^\#(a)\,m_g$ が成り立つ。
上の記号で、$Y$ の開集合 $V$ ごとに
$$
(f_*\mathcal{F})(V)\otimes_{\mathcal{O}_Y(V)}\mathcal{G}(V)\longrightarrow\bigl(f_*(\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{G})\bigr)(V),\qquad s\otimes g\longmapsto m_g(s)=s\otimes f^*g
$$
と定める。これは $\mathcal{O}_Y(V)$ 双線型（$f_*\mathcal{F}(V)=\mathcal{F}(f^{-1}V)$ への $\mathcal{O}_Y(V)$ の作用は $f^\#$ を通す）で制限と可換なので、前層の射を定め、層化して $\mathcal{O}_Y$ 線型な射
$$
\mu_{\mathcal{F},\mathcal{G}}\colon f_*\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_Y}\mathcal{G}\longrightarrow f_*(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}f^*\mathcal{G})
$$
を与える。これを射影公式の射と呼ぶ。$\mu$ は $\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ について自然である。
主定理
$f\colon X\to Y$ を環付き空間の射、$\mathcal{F}$ を $\mathcal{O}_X$ 加群、$\mathcal{E}$ を有限階数の局所自由 $\mathcal{O}_Y$ 加群とする。このとき $\mu_{\mathcal{F},\mathcal{E}}\colon f_*\mathcal{F}\otimes\mathcal{E}\to f_*(\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{E})$ は同型である。
層の射が同型であることは局所的なので、$Y$ の開集合 $V$ で $\mathcal{E}|_V$ が基底 $e_1,\dots,e_r$ をもつものの上で示せばよい。順像は開集合への制限と可換であり、$(f_*\mathcal{H})|_V=(f|_{f^{-1}V})_*(\mathcal{H}|_{f^{-1}V})$ である。
$f^*$ は直和と可換で $f^*\mathcal{O}_Y=\mathcal{O}_X$ なので、$f^*\mathcal{E}|_{f^{-1}V}$ は $f^*e_1,\dots,f^*e_r$ を基底とする自由加群である。したがって
$$
\alpha\colon(\mathcal{F}|_{f^{-1}V})^{\oplus r}\xrightarrow{\ \cong\ }(\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{E})|_{f^{-1}V},\qquad(s_1,\dots,s_r)\longmapsto\sum_ks_k\otimes f^*e_k
$$
は同型であり、$f_*$ は有限直和と可換なので、$f_*\alpha\colon(f_*\mathcal{F}|_V)^{\oplus r}\to f_*(\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{E})|_V$ も同型である。同様に
$$
\beta\colon(f_*\mathcal{F}|_V)^{\oplus r}\xrightarrow{\ \cong\ }(f_*\mathcal{F}\otimes\mathcal{E})|_V,\qquad(t_1,\dots,t_r)\longmapsto\sum_kt_k\otimes e_k
$$
は同型である。$V$ に含まれる開集合 $W$ と $t_k\in f_*\mathcal{F}(W)=\mathcal{F}(f^{-1}W)$ について、定義から
$$
\mu\Bigl(\sum_kt_k\otimes e_k\Bigr)=\sum_kt_k\otimes f^*e_k=\alpha(t_1,\dots,t_r)
$$
であるから、$\mu\circ\beta=f_*\alpha$ が成り立つ。$\beta$ と $f_*\alpha$ が同型なので、$\mu$ は $V$ の上で同型である。$\square$
$\mathcal{F}$ に何の仮定もいらないこと、$f$ にも何の仮定もいらないことに注意する。必要なのは $\mathcal{E}$ が局所的に有限個の基底をもつことだけである（ex-projection-formula-counterexamples）。この形は Har77 II 演習 5.1 (d)（p. 124）にある。
$f\colon X\to Y$ を環付き空間の射とし、$f^\#\colon\mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X$ が同型であるとする。
- 有限階数の局所自由層 $\mathcal{E}$ について、単位射 $\mathcal{E}\to f_*f^*\mathcal{E}$（$e\mapsto f^*e$）は同型である。
- 有限階数の局所自由層 $\mathcal{E},\mathcal{E}'$ について、$\varphi\mapsto f^*\varphi$ は全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{E},\mathcal{E}')\to\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathcal{E},f^*\mathcal{E}')$ である。とくに $f^*\mathcal{E}\cong f^*\mathcal{E}'$ なら $\mathcal{E}\cong\mathcal{E}'$ であり、$f^*\colon\operatorname{Pic}(Y)\to\operatorname{Pic}(X)$ は単射である。
要点：射影公式を $\mathcal{F}=\mathcal{O}_X$ に当て、$\mathcal{H}om$ の層に適用して大域切断をとる。
詳しい証明を開く
1。$\mathcal{E}\cong\mathcal{O}_Y\otimes\mathcal{E}\xrightarrow{f^\#\otimes1}f_*\mathcal{O}_X\otimes\mathcal{E}\xrightarrow{\ \mu\ }f_*(\mathcal{O}_X\otimes f^*\mathcal{E})=f_*f^*\mathcal{E}$ は $e\mapsto1\otimes e\mapsto1\otimes f^*e=f^*e$ であり、単位射に等しい。第 2 の射は thm-projection-formula により、第 1 の射は仮定により同型である。
2。$\mathcal{H}:=\mathcal{H}om(\mathcal{E},\mathcal{E}')$ は有限階数の局所自由層であり、$\mathcal{E}$ が有限階数の局所自由層なので自然な射 $f^*\mathcal{H}\to\mathcal{H}om(f^*\mathcal{E},f^*\mathcal{E}')$（局所切断 $\varphi$ の引き戻しを、引き戻した層の間の射 $f^*\varphi$ に送る）は同型である（局所的に基底をとれば行列の環の引き戻しの同型になる）。1 を $\mathcal{H}$ に当てて大域切断をとると、$\varphi\mapsto f^*\varphi$ は $\Gamma(Y,\mathcal{H})\to\Gamma(Y,f_*f^*\mathcal{H})=\Gamma(X,f^*\mathcal{H})\cong\Gamma(X,\mathcal{H}om(f^*\mathcal{E},f^*\mathcal{E}'))$ の全単射である。同型 $\psi\colon f^*\mathcal{E}\to f^*\mathcal{E}'$ があれば、$\psi=f^*\varphi$、$\psi^{-1}=f^*\varphi'$ となる $\varphi,\varphi'$ がとれ、$f^*(\varphi'\varphi)=\mathrm{id}=f^*(\mathrm{id})$ と単射性から $\varphi'\varphi=\mathrm{id}$、同様に $\varphi\varphi'=\mathrm{id}$ である。$\square$
例
$\pi\colon\mathbb{P}(\mathcal{V})\to S$ を階数 $r\ge1$ の局所自由層 $\mathcal{V}$ の射影束とすると、$n\ge0$ について $\pi_*\mathcal{O}(n)\cong\operatorname{Sym}^n\mathcal{V}$、とくに $\pi_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{V})}=\mathcal{O}_S$ である（射影束 の命題「標準可逆層の順像と対称冪」）。射影公式により、$S$ 上の可逆層 $\mathcal{L}$ について
$$
\pi_*\bigl(\mathcal{O}(n)\otimes\pi^*\mathcal{L}\bigr)\cong\operatorname{Sym}^n\mathcal{V}\otimes\mathcal{L},\qquad\pi_*\pi^*\mathcal{L}\cong\mathcal{L}
$$
である。cor-projection-formula-faithful により $\pi^*\colon\operatorname{Pic}(S)\to\operatorname{Pic}(\mathbb{P}(\mathcal{V}))$ は単射である。これは 射影束 の定理「射影束の Picard 群」の証明で使われている。
$f\colon X\to Y$ をスキームの射で、$f_*\mathcal{O}_X$ が階数 $d$ の局所自由層であるものとする。射影公式により、階数 $r$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ について $f_*f^*\mathcal{E}\cong f_*\mathcal{O}_X\otimes\mathcal{E}$ は階数 $dr$ の局所自由層である。たとえば $k$ を体とし、$k[u]\to k[t]$、$u\mapsto t^2$ が定める射 $f\colon\mathbb{A}^1_k\to\mathbb{A}^1_k$ では、$k[t]=k[u]\oplus k[u]\,t$ なので $f_*\mathcal{O}$ は $1,t$ を基底とする自由層で $d=2$ である。
高次順像の射影公式
$R^if_*$ を $\mathcal{O}_X$ 加群の圏から $\mathcal{O}_Y$ 加群の圏への順像の右導来関手とする（高次順像、Har77 III.8.4、p. 251）。$R^if_*\mathcal{F}$ は前層 $V\mapsto H^i(f^{-1}V,\mathcal{F}|_{f^{-1}V})$ の層化であり（高次順像 の定理「開集合上のコホモロジーとの関係」、Har77 III.8.1、p. 250）、とくに $(R^if_*\mathcal{F})|_V=R^i(f|_{f^{-1}V})_*(\mathcal{F}|_{f^{-1}V})$ である（同 III.8.2、p. 251）。def-projection-formula-map と同じく、$g\in\mathcal{G}(V)$ と $c\in H^i(f^{-1}V,\mathcal{F})$ に $H^i(m_g)(c)\in H^i(f^{-1}V,\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{G})$ を対応させて層化すると、自然な $\mathcal{O}_Y$ 線型射
$$
\mu^i_{\mathcal{F},\mathcal{G}}\colon R^if_*\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_Y}\mathcal{G}\longrightarrow R^if_*(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}f^*\mathcal{G})
$$
を得る（$\mu^0=\mu$）。
$f\colon X\to Y$ を環付き空間の射、$\mathcal{F}$ を $\mathcal{O}_X$ 加群、$\mathcal{E}$ を有限階数の局所自由 $\mathcal{O}_Y$ 加群とする。このとき、すべての $i\ge0$ について $\mu^i_{\mathcal{F},\mathcal{E}}$ は同型である。
$y\in Y$ をとり、$\mathcal{E}$ が基底 $e_1,\dots,e_r$ をもつ $y$ の開近傍 $V$ をとる。層化は茎を変えないので、$\mu^i$ の $y$ での茎は、$V$ に含まれる $y$ の開近傍 $W$ についての帰納極限
$$
\varinjlim_{W}\,H^i(f^{-1}W,\mathcal{F})\otimes_{\mathcal{O}_Y(W)}\mathcal{E}(W)\longrightarrow\varinjlim_{W}\,H^i(f^{-1}W,\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{E})
$$
である（テンソル積の層はテンソル積の前層の層化であり、茎はそれぞれの茎のテンソル積である）。prf-projection-formula の同型 $\alpha\colon(\mathcal{F}|_{f^{-1}W})^{\oplus r}\to(\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{E})|_{f^{-1}W}$ は $m_{e_1},\dots,m_{e_r}$ を並べたものであり、$H^i(f^{-1}W,-)$ は有限直和と可換なので、
$$
H^i(f^{-1}W,\mathcal{F})^{\oplus r}\xrightarrow{\ \cong\ }H^i(f^{-1}W,\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{E}),\qquad(c_1,\dots,c_r)\longmapsto\sum_kH^i(m_{e_k})(c_k)
$$
は同型である。一方 $\mathcal{E}(W)$ は $e_1,\dots,e_r$ を基底とする自由 $\mathcal{O}_Y(W)$ 加群なので、$H^i(f^{-1}W,\mathcal{F})\otimes\mathcal{E}(W)\cong H^i(f^{-1}W,\mathcal{F})^{\oplus r}$（$\sum_kc_k\otimes e_k\leftrightarrow(c_k)_k$）であり、この同一視のもとで $\mu^i$ の前層の射は上の同型に一致する。帰納極限をとっても同型なので、$\mu^i$ は各点の茎で同型であり、同型である。$\square$
これは Har77 III 演習 8.3（p. 253）の主張で、Stacks Cohomology of Sheaves, Lemma 20.54.2（Tag 01E8、pp. 1922–1923）にもある。Noether スキームの分離射と準連接層については、局所自由性を平坦性に弱めることができる。
$X$ を Noether スキーム、$f\colon X\to Y$ をスキームの分離射、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の準連接層、$\mathcal{G}$ を $Y$ 上の平坦な準連接層（各点の茎が $\mathcal{O}_{Y,y}$ 上の平坦加群）とする。このとき、すべての $i\ge0$ について $\mu^i_{\mathcal{F},\mathcal{G}}\colon R^if_*\mathcal{F}\otimes\mathcal{G}\to R^if_*(\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{G})$ は同型である。
要点：$Y$ のアフィン開集合の上で、両辺を有限アフィン被覆の Čech 複体で計算すると、右辺の Čech 複体は左辺の Čech 複体と平坦加群のテンソル積になる。
詳しい証明を開く
主張は $Y$ 上局所的なので、$Y$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ の上で示す。$X_V:=f^{-1}V$ は Noether であり、$f$ が分離的で $V$ がアフィンなので $X_V$ は分離的である。$\mathcal{G}|_V=\widetilde{M}$ とおくと、$M$ は平坦な $A$ 加群である（Liu06 Lemma 5.2.31 (a)、p. 190）。準連接層 $\mathcal{H}$ について $R^if_*\mathcal{H}|_V\cong H^i(X_V,\mathcal{H})^\sim$ である（Har77 III.8.5、p. 251）。したがって $V$ の上で $\mu^i$ は準連接層の射 $(H^i(X_V,\mathcal{F})\otimes_AM)^\sim\to H^i(X_V,\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{G})^\sim$ であり（Har77 II.5.2 (b)）、大域切断の上の写像 $c\otimes m\mapsto H^i(m_m)(c)$ が同型であることを示せばよい。
$X_V$ の有限個のアフィン開集合による被覆 $\mathfrak{U}=\{U_k\}$ をとる。$X_V$ は分離的なので交わり $U_{k_0\cdots k_p}$ はアフィンであり、アフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}B$ の上で $(\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{G})(U)=\mathcal{F}(U)\otimes_B(B\otimes_AM)=\mathcal{F}(U)\otimes_AM$ である（Har77 II.5.2 (b)(e)）。有限直積は直和なので、Čech 複体について $\check{C}^\bullet(\mathfrak{U},\mathcal{F}\otimes f^*\mathcal{G})=\check{C}^\bullet(\mathfrak{U},\mathcal{F})\otimes_AM$ であり、微分も $d\otimes\mathrm{id}_M$ に一致する。$m\in M$ に対する $m_m$ は Čech 複体の上で $c\mapsto c\otimes m$ を誘導する。$M$ は平坦なので $-\otimes_AM$ は完全であり、コホモロジーと可換である。よって $H^i(\check{C}^\bullet(\mathfrak{U},\mathcal{F}))\otimes_AM\to H^i(\check{C}^\bullet(\mathfrak{U},\mathcal{F})\otimes_AM)$、$[c]\otimes m\mapsto[c\otimes m]$ は同型である。$X_V$ は Noether かつ分離的なので Čech コホモロジーは準連接層のコホモロジーと自然に同型であり（Har77 III.4.5、p. 222）、この同型のもとで上の写像は $c\otimes m\mapsto H^i(m_m)(c)$ である。$\square$
$\mathcal{G}$ が有限階数の局所自由層なら平坦なので、Noether スキームの分離射については thm-projection-formula-higher の準連接な場合を含む。Liu06 Proposition 5.2.32（p. 190）は、分離的かつ準コンパクトな射 $f$ について、Čech コホモロジーで定めた高次順像（同 Proposition 5.2.28、p. 189）に対して同じ主張を述べている。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\mathcal{E}$ が有限階数 | $X=\coprod_{n\in\mathbb{N}}\operatorname{Spec}k\to Y=\operatorname{Spec}k$、$\mathcal{F}=\mathcal{O}_X$、$\mathcal{E}=k^{(\mathbb{N})}$（無限階数の自由層） | thm-projection-formula：$\mu$ は全射でない |
| $\mathcal{E}$ が局所自由 | $j\colon X=\mathbb{A}^2_k\setminus\{0\}\to Y=\mathbb{A}^2_k$、$\mathcal{F}=\mathcal{O}_X$、$\mathcal{E}=\mathcal{O}_L$（$L=V(x)$） | thm-projection-formula：$\mu$ は全射でない |
| $\mathcal{G}$ が平坦 | 2 行目と同じ $j$、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}=\mathcal{O}_L$、$i=0$ | thm-projection-formula-flat：$\mu^0$ は全射でない |
1 行目：$k$ を体とする。$Y$ は 1 点なので層は大域切断で決まる。$f_*\mathcal{O}_X=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\prod_nk$ であり、$\Gamma(X,\mathcal{O}_X\otimes f^*\mathcal{E})=\prod_nk^{(\mathbb{N})}$ である。$\mu$ は $(\prod_nk)\otimes_kk^{(\mathbb{N})}=\bigoplus_m\prod_nk$ から $\prod_nk^{(\mathbb{N})}$ への写像で、$(a_n)_n\otimes e_m\mapsto(a_ne_m)_n$ である（$e_m$ は $k^{(\mathbb{N})}$ の第 $m$ 基底）。像の元は有限個の $e_m$ の張る部分空間に値をとるので、$(e_n)_n$（第 $n$ 成分が $e_n$）は像に入らない。$\mathcal{E}$ は局所自由であり、外した条件は階数の有限性だけである。
2 行目：$k$ を体、$Y=\operatorname{Spec}k[x,y]$、$X=D(x)\cup D(y)$ とする。$\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ は $k[x,y]_x\cap k[x,y]_y$（$k[x,y]_{xy}$ の中で）であり、Laurent 単項式の指数を見れば $k[x,y]$ である。$f_*\mathcal{O}_X\otimes\mathcal{E}$ と $j_*(\mathcal{O}_X\otimes j^*\mathcal{E})$ はアフィンスキーム $Y$ 上の準連接層であり（Har77 II.5.8 (c)、p. 115）、大域切断はそれぞれ $k[x,y]\otimes_{k[x,y]}k[x,y]/(x)=k[y]$ と $\Gamma(X,\mathcal{O}_L|_X)=\Gamma(L\setminus\{0\},\mathcal{O})=k[y,y^{-1}]$ である（$D(x)$ の上では $\mathcal{O}_L$ は $0$）。$\mu$ の大域切断は包含 $k[y]\to k[y,y^{-1}]$ で、$y^{-1}$ は像に入らない。$\mathcal{E}$ は有限型だが、原点で局所自由でない。
3 行目：$X$ は Noether、$j$ は開埋め込みなので分離射、$\mathcal{O}_L$ は準連接層である。$x$ は $k[x,y]$ の非零因子だが $k[x,y]/(x)$ を消すので、$\mathcal{O}_L$ は原点で平坦でない。$\mu^0=\mu$ なので 2 行目の計算がそのまま当てはまる。
補足
- 平坦な底変換：平坦な射 $u\colon Y'\to Y$ による底変換 $f'\colon X'=X\times_YY'\to Y'$、$u'\colon X'\to X$ についても、$u^*R^if_*\mathcal{F}\cong R^if'_*(u'^*\mathcal{F})$ が同じ型の Čech 複体の議論で示される（Har77 III.9.3、p. 255 は Noether スキームの間の分離的で有限型の $f$ の場合。Liu06 Corollary 5.2.27、p. 189 はアフィンな底と平坦な代数の場合。この記事では証明しない）。
- 平坦性が要る理由：thm-projection-formula-flat の証明で使ったのは、$-\otimes_AM$ が Čech 複体のコホモロジーと可換であることだけである。$M$ が平坦でなければ一般に可換でない。Liu06 Example 5.3.23（p. 204）は離散付値環上の射影直線でこれが崩れる例を挙げている。
- 導来圏の版：環付き空間の射 $f$、$E\in D(\mathcal{O}_X)$ と完全複体 $K\in D(\mathcal{O}_Y)$ について $Rf_*E\otimes^{\mathbf{L}}K\cong Rf_*(E\otimes^{\mathbf{L}}Lf^*K)$ が成り立つ（Stacks Cohomology of Sheaves, Lemma 20.54.3、Tag 0B54、p. 1923。この記事では証明しない）。$K=\mathcal{E}$ が有限階数の局所自由層のときの形が thm-projection-formula-higher である。ℓ 進層の導来圏での形は 六演算 の定理「射影公式と固有基底変換」である。
関連項目
参考文献
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