開写像定理(非アルキメデス体)

1．超距離不等式から $D_V(r)$ は和で閉じ、$\|-v\|=\|v\|$ である。$\|v\|\le r$、$\|u-v\|< r$ なら $\|u\|\le\max(\|v\|,\|u-v\|)\le r$ なので開集合であり、ノルムの連続性から閉集合である。
2．部分和 $s_n$ について $\|s_m-s_n\|\le\max_{n< k\le m}\|v_k\|$ なので、$\|v_k\|\to0$ なら $(s_n)$ は Cauchy 列で収束する。逆は $v_k=s_k-s_{k-1}\to0$ による。不等式は $\|s_n\|\le\max_{k\le n}\|v_k\|$ で極限をとればよい。
3．有界なら $\|Tv-Tv'\|\le M\|v-v'\|$ なので連続である。

$S:=T(D_V(1))$ とおく。任意の $v$ は十分大きい $m$ で $\|\pi^mv\|\le1$ を満たすので $V=\bigcup_{m\ge0}\pi^{-m}D_V(1)$ であり、$T$ は全射なので $W=\bigcup_{m\ge0}\pi^{-m}\overline S$ である。$\pi^{-m}$ を掛ける写像は $W$ の同相写像なので、右辺は閉集合の可算和である。$W$ は空でない完備距離空間なので、Baireの範疇定理 の系「閉集合による可算被覆」により、ある $\pi^{-m}\overline S$、したがって $\overline S$ が開球 $\{w\mid\|w-w_0\|<\varepsilon\}$ を含む。
$D_V(1)$ は加法部分群なので（lem-open-mapping-theorem-non-archimedean-basic の 1）$S$ も加法部分群であり、引き算の連続性から $\overline S$ も加法部分群である。$\|w\|<\varepsilon$ なら $w_0+w$ と $w_0$ はともに $\overline S$ に属するので、$w=(w_0+w)-w_0\in\overline S$ である。$\square$

段 1（近似）：すべての $w$ について、$\|u\|\le C\|w\|$ かつ $\|w-Tu\|\le|\pi|\,\|w\|$ を満たす $u\in V$ がある。$w=0$ なら $u=0$ でよい。$w\ne0$ なら、$\varepsilon|\pi|\le|\pi|^k\|w\|<\varepsilon$ となる $k\in\mathbb{Z}$ をとる。$\pi^kw\in\overline{T(D_V(1))}$ なので、$\|u'\|\le1$ かつ $\|\pi^kw-Tu'\|\le\varepsilon|\pi|^2$ を満たす $u'$ がある。$u:=\pi^{-k}u'$ とおくと、$|\pi|^{-k}\le\|w\|/(\varepsilon|\pi|)=C\|w\|$ から
$$ \|u\|\le|\pi|^{-k}\le C\|w\|,\qquad\|w-Tu\|=|\pi|^{-k}\|\pi^kw-Tu'\|\le C\|w\|\cdot\varepsilon|\pi|^2=|\pi|\,\|w\| $$
である。
段 2（反復）：$w_0:=w$ とし、$w_j$ に段 1 を当てて得た $u$ を $u_j$、$w_{j+1}:=w_j-Tu_j$ とおく。帰納的に $\|w_j\|\le|\pi|^j\|w\|$、$\|u_j\|\le C|\pi|^j\|w\|$ であり、$\|u_j\|\to0$ である。$V$ は Banach 空間なので lem-open-mapping-theorem-non-archimedean-basic の 2 により $v:=\sum_ju_j$ は収束し、$\|v\|\le\max_j\|u_j\|\le C\|w\|$ である。$T$ は連続なので $Tv=\lim_n\sum_{j\le n}Tu_j=\lim_n(w-w_{n+1})=w$ である。$\square$

lem-open-mapping-theorem-non-archimedean-baire で $\varepsilon$ をとり、lem-open-mapping-theorem-non-archimedean-iteration を当てれば、$C=1/(\varepsilon|\pi|)$ で主張の評価が成り立つ。開写像であること：$G\subset V$ を開集合、$x\in G$ とし、$x+D_V(r)\subset G$（$r>0$）とする。$\|w\|\le r/C$ なら $\|v\|\le r$、$Tv=w$ となる $v$ があるので $Tx+w=T(x+v)\in T(G)$ である。よって $T(G)$ は $Tx$ の近傍を含み、開集合である。$\square$

thm-open-mapping-theorem-non-archimedean の $v$ は $T^{-1}w$ しかないので、$\|T^{-1}w\|\le C\|w\|$ である。$\square$

$V\times W$ に $\|(v,w)\|:=\max(\|v\|,\|w\|)$ を入れると $K$ 上の Banach 空間であり、閉部分空間 $\Gamma$ も Banach 空間である。射影 $p\colon\Gamma\to V$ は連続な線形全単射なので、cor-open-mapping-theorem-non-archimedean-inverse により $p^{-1}$ は連続である。$T$ は $p^{-1}$ と射影 $\Gamma\to W$ の合成なので連続である。$\square$

恒等写像 $(E,\|\cdot\|_1)\to(E,\|\cdot\|_2)$ は連続な全単射なので、cor-open-mapping-theorem-non-archimedean-inverse を当てればよい。$\square$

2 は 1 と cor-open-mapping-theorem-non-archimedean-inverse から従う（誘導された写像の連続性は $\|Tx\|=\|T(x+u)\|\le M\|x+u\|$ の下限をとればよい）。1 は実数の場合と同じだが、完備性を級数で確かめる。

$\mathfrak a$ をイデアルとする。閉包 $\bar{\mathfrak a}$ もイデアルで、$B$ は Noether 環なので $\bar{\mathfrak a}=(f_1,\dots,f_r)$ と書ける。$B^r$ に成分の最大のノルムを入れると、$\varphi(b_1,\dots,b_r):=\sum_ib_if_i$ は Banach 空間 $B^r$ から閉部分空間 $\bar{\mathfrak a}$ への連続な全射線形写像なので、thm-open-mapping-theorem-non-archimedean の定数 $C$ がとれる。$\mathfrak a$ の元 $g_i$ で $f_i$ を近似し、$\theta:=C\max_i\|f_i-g_i\|<1$ とする。$\psi(b_1,\dots,b_r):=\sum_ib_ig_i$ の像は $\mathfrak a$ に含まれ、$\psi$ が $\bar{\mathfrak a}$ の元をすべて表すことを、誤差を $\theta$ 倍ずつ縮める反復で示す。

$f$ は射影 $q\colon V\to V/I$ と線形写像 $\bar f\colon V/I\to E$ の合成で、$q$ は連続である（prop-open-mapping-theorem-non-archimedean-quotient の 1）。$V/I$ の基底 $e_1,\dots,e_d$ をとり、$S\colon K^d\to V/I$、$(c_i)\mapsto\sum_ic_ie_i$ とおく。$\|S(c)\|\le\max_i|c_i|\max_i\|e_i\|$ なので $S$ は Banach 空間の間の連続な線形全単射であり、cor-open-mapping-theorem-non-archimedean-inverse により $S^{-1}$ も連続である。$\bar f\circ S$ は同じ評価で連続なので、$\bar f=(\bar f\circ S)\circ S^{-1}$ も連続である。$\square$

cor-open-mapping-theorem-non-archimedean-closed-graph により、$x_j\to0$ かつ $\phi(x_j)\to y$ なら $y=0$ であることを示せばよい。$B$ の極大イデアル $\mathfrak n$ と $k\ge1$ をとり、$q\colon B\to B/\mathfrak n^k$ を射影とする。$\mathfrak n^k$ は閉なので（prop-open-mapping-theorem-non-archimedean-ideals）$B/\mathfrak n^k$ に剰余ノルムが入り、$q$ は連続である。$B/\mathfrak n^k$ は有限次元である（affinoid代数 の例「有限次元の代数」）。$\psi:=q\circ\phi$ の核 $I$ は $A$ のイデアルで閉であり、$A/I$ は $B/\mathfrak n^k$ に単射に写るので有限次元である。lem-open-mapping-theorem-non-archimedean-finite により $\psi$ は連続で、
$$ q(y)=\lim_jq(\phi(x_j))=\lim_j\psi(x_j)=0 $$
となる。よって $y$ は、すべての極大イデアル $\mathfrak n$ とすべての $k$ について $\mathfrak n^k$ に属する。Krullの交叉定理 の 1（$M=B$、イデアル $\mathfrak n$）により $(1-b)y=0$ となる $b\in\mathfrak n$ があるので、$y$ の零化イデアルは $\mathfrak n$ に含まれない。$\mathfrak n$ は任意なので零化イデアルは $B$ 全体で、$y=0$ である。
1 は、affinoid 代数が Noether 環である Banach 代数であることによる。2 は、表示 $\alpha,\beta$ について恒等写像 $(B,|\cdot|_\alpha)\to(B,|\cdot|_\beta)$ とその逆が 1 により連続、したがって有界であること（lem-open-mapping-theorem-non-archimedean-basic の 3）による。$\square$