順序型

1. 順序同型 $f\colon A\to A'$、$g\colon B\to B'$ があれば、和では $(0,a)\mapsto(0,f(a))$、$(1,b)\mapsto(1,g(b))$、積では $(b,a)\mapsto(g(b),f(a))$ が順序同型である。どちらも各成分で順序を保つ全単射なので、比べ方の定義から 2 元の大小をそのまま移す。
2. 型が $\sigma,\tau,\rho$ の全順序集合 $A,B,C$ をとる。和の結合法則では、どちらの辺も「$A$ の元、$B$ の元、$C$ の元をこの順に置き、同じ集合の中では元の順序」という全順序と順序同型である。積では、$(\sigma\cdot\tau)\cdot\rho$ の代表は型 $\sigma\cdot\tau$ の集合 $B\times A$ を $C$ の形に並べた $C\times(B\times A)$、$\sigma\cdot(\tau\cdot\rho)$ の代表は $A$ を型 $\tau\cdot\rho$ の集合 $C\times B$ の形に並べた $(C\times B)\times A$ である。どちらの順序も「まず $C$ の成分、次に $B$ の成分、最後に $A$ の成分を比べる」ものなので、$((c,b),a)\mapsto(c,(b,a))$ が順序同型である。分配法則では、$B+C$ の形に $A$ を並べることは、$B$ の形に $A$ を並べた後ろに $C$ の形に $A$ を並べることと同じであり、$(\,(0,b),a)\mapsto(0,(b,a))$、$(\,(1,c),a)\mapsto(1,(c,a))$ が順序同型を与える。
3. $A+B$ の順序を逆にすると、$B$ の元がすべて $A$ の元より前に来て、各部分の中の順序は逆になる。これは $B^\ast+A^\ast$ である。$\square$

$A$ を可算で稠密な全順序集合とし、$A^\circ$ を $A$ から最小元と最大元（あれば）を除いたものとする。$A$ は 2 元 $a< b$ をもち、稠密性から $a< c< b$ となる $c$ があるので、$c\in A^\circ$ であり $A^\circ\ne\emptyset$ である。$A^\circ$ の 2 元 $x< y$ の間の $A$ の元は端点でないので $A^\circ$ に属し、$A^\circ$ は稠密である。$A^\circ$ の元 $x$ は $A$ の最大元でないので $x< y$ となる $y\in A$ があり、$x< z< y$ となる $z\in A^\circ$ がとれる。同様に $x$ より小さい元もあるので、$A^\circ$ に端点はない。$A^\circ$ は可算集合 $A$ の部分集合なので可算である。thm-order-type-cantor により $\operatorname{type}(A^\circ)=\eta$ であり、$A$ の型は端点の有無に応じて四つのいずれかになる。四つは、最小元の有無と最大元の有無で区別される。$\square$

$A$ の元を重複なく $a_0,a_1,\dots$（有限個で終わってもよい）と並べ、$\mathbb Q$ の元を $q_0,q_1,\dots$ と並べておく。$f(a_0),f(a_1),\dots$ を順に定め、各段階で「$f$ を $\{a_0,\dots,a_{k-1}\}$ に制限したものは順序を保つ」ことを保つ。
$f(a_0),\dots,f(a_{k-1})$ が定まったとする。$a_k$ より小さい $a_i$（$i< k$）全体を $L$、大きいもの全体を $U$ とする。$A$ は全順序で $a_k$ はこれまでの元と異なるので、$\{a_0,\dots,a_{k-1}\}=L\cup U$ である。$L$ の元はすべて $U$ の元より小さく、帰納法の仮定から $f(L)$ の元はすべて $f(U)$ の元より小さい。そこで有理数 $r$ で
$$ f(\ell)< r< f(u)\quad(\ell\in L,\ u\in U) $$
を満たすものを探す。$L,U$ がともに空でなければ、$\max f(L)<\min f(U)$ の間に $\mathbb Q$ の稠密性で $r$ がある。一方だけが空なら、$\mathbb Q$ に端点がないことから $r$ がある。両方とも空なら（$k=0$）任意の $r$ でよい。条件を満たす $q_m$ のうち $m$ が最小のものを $f(a_k)$ とする。このとき $a_i< a_k\iff f(a_i)< f(a_k)$ が $i< k$ について成り立つので、$\{a_0,\dots,a_k\}$ 上でも $f$ は順序を保つ。
こうして定めた $f$ は、任意の 2 元 $a_i,a_j$ について、$\max(i,j)$ 番目までの段階で大小を保つので、$a< a'\iff f(a)< f(a')$ を満たす。全順序なので、これから $f$ は単射でもある。$\square$

$P\subset L$ を $L$ で稠密な可算部分集合とする。
$P$ の型は $\eta$。 $L$ は空でなく端点がないので $x< y$ となる 2 元をもち、その間に $P$ の元がある。$P$ の 2 元 $p< q$ の間には $L$ での稠密性により $P$ の元があるので、$P$ は稠密である（2 元以上あることは、$P$ の元 $p$ と、端点がないことからとれる $y>p$ の間に $P$ の元があることから分かる）。$p\in P$ に対し、$L$ に $y>p$ があり、$p< p'< y$ となる $p'\in P$ があるので、$P$ に最大元はない。最小元がないことも同様である。thm-order-type-cantor により順序同型 $g\colon P\to\mathbb Q$ がある。
写像の定義。 $x\in L$ について $S_x=\{g(p)\mid p\in P,\ p< x\}$ とおく。$x$ より小さい $L$ の元と $x$ の間に $P$ の元があるので $S_x\ne\emptyset$ である。$x< y$ となる $y$ と、$x< p'< y$ となる $p'\in P$ をとると、$p< x$ なら $p< p'$ なので $S_x$ は $g(p')$ で上に有界である。$\mathbb R$ の完備性により $F(x):=\sup S_x\in\mathbb R$ が定まる。
順序を保つこと。 $x< y$ とする。稠密性を 2 回使って $x< p< q< y$ となる $p,q\in P$ をとる。$p'< x$ なら $p'< p$ なので $S_x$ の元はすべて $g(p)$ より小さく、$F(x)\le g(p)$ である。$q< y$ なので $g(q)\in S_y$ であり、$g(q)\le F(y)$ である。よって $F(x)\le g(p)< g(q)\le F(y)$ である。
全射であること。 $r\in\mathbb R$ をとり、$T=\{p\in P\mid g(p)< r\}$ とおく。$g$ は $\mathbb Q$ への全射なので、$r$ より小さい有理数から $T\ne\emptyset$ が分かる。$r$ より大きい有理数を $g(p_1)$ と書けば、$p\in T$ は $g(p)< g(p_1)$ なので $p< p_1$ であり、$T$ は上に有界である。$L$ の完備性により $x=\sup T$ がとれる。

• $F(x)\ge r$：有理数 $t< r$ をとり、$t< t'< r$ となる有理数 $t'$ をとる。$t=g(p)$、$t'=g(p')$ とすると $p< p'$ で $p'\in T$ なので、$p< p'\le x$ である。よって $t\in S_x$ で $t\le F(x)$ である。$r$ より小さい有理数がすべて $F(x)$ 以下なので、$r\le F(x)$ である。
• $F(x)\le r$：$p\in P$、$p< x$ とする。$x$ は $T$ の最小の上界なので $p$ は上界でなく、$p< p''$ となる $p''\in T$ がある。よって $g(p)< g(p'')< r$ である。$S_x$ の元はすべて $r$ より小さいので、$F(x)\le r$ である。
  以上より $F(x)=r$ である。$F$ は狭義に順序を保つ全単射なので、順序同型である（順序同型 の命題「全順序からの単調単射は順序を反映する」）。$\square$