Gysin列

第 1 段：比較の複体．開集合 $U\subset M$ について $S_U:=p^{-1}(U)$ とし、
$$ C^q(U):=\Omega^q(U)\oplus\Omega^{q-n+1}(U),\qquad D(a,b):=\bigl(da-(-1)^{\deg b}\,b\wedge e,\ db\bigr),\qquad T_U(a,b):=p^*a+p^*b\wedge\psi $$
とおく。$d(b\wedge e)=db\wedge e$ から $D^2=0$ である。$d\psi=-p^*e$ を使うと $d\,T_U(a,b)=p^*da+p^*db\wedge\psi-(-1)^{\deg b}p^*(b\wedge e)=T_UD(a,b)$ なので、$T_U\colon C^\bullet(U)\to\Omega^\bullet(S_U)$ は複体の写像である。
第 2 段：$T_M$ が同型なら定理が従う．$\iota(a)=(a,0)$、$\kappa(a,b)=b$ は複体の短完全列 $0\to\Omega^\bullet(M)\xrightarrow{\iota}C^\bullet(M)\xrightarrow{\kappa}\Omega^{\bullet-n+1}(M)\to0$ を与える。閉形式 $b$ の持ち上げ $(0,b)$ に $D$ を施すと $\iota\bigl(-(-1)^{\deg b}b\wedge e\bigr)$ なので、長完全列の連結準同型は $\delta$ である。一方 $T_M\circ\iota=p^*$ であり、ファイバーに沿った積分 の系「コホモロジーへの写像」（$n-1\ge1$ なので $p_*p^*a=0$）と射影公式から $p_*T_M(a,b)=b\wedge p_*\psi=b=\kappa(a,b)$ である。したがって $T_M$ がコホモロジーの同型を誘導すれば、長完全列の $H^\bullet(C(M))$ を $H^\bullet(S)$ に置き換えて定理の列を得る。
第 3 段：$\mathbb R^m$ と微分同相な開集合．$W\cong\mathbb R^m$ とする。$H^\bullet(W)$ は $0$ 次の $\mathbb R$ だけなので（de Rhamコホモロジー の系「ホモトピー不変性と Poincaré の補題」）、第 2 段の長完全列から $H^\bullet(C(W))$ は $0$ 次と $n-1$ 次でだけ $\mathbb R$ で、それぞれ $(1,0)$ と、$da=e$ をみたす $(a,1)$ の類で生成される（$e|_W$ は閉なので完全）。一方、$V|_W$ の自明化を正規直交化すると $S_W\cong W\times S^{n-1}$ であり、ホモトピー不変性から $H^\bullet(S_W)\cong H^\bullet(S^{n-1})$ も $0$ 次と $n-1$ 次でだけ $\mathbb R$ である（de Rhamの定理 の例「原点を除いた Euclid 空間」）。$T_W(1,0)=1\ne0$ である。$T_W(a,1)=p^*a+\psi$ は $p_*T_W(a,1)=1$ をみたし、完全形式 $d\eta$ なら $p_*d\eta=dp_*\eta=0$（$p_*\eta$ は次数 $-1$ で $0$）となるので完全でない。よって $T_W$ はコホモロジーの同型を誘導する。$W=\emptyset$ でも両辺 $0$ である。
第 4 段：Mayer–Vietoris．開集合 $U,U'$ について、de Rham 複体の Mayer–Vietoris 短完全列（de Rhamの定理 の命題「de Rham 複体の Mayer–Vietoris 列」）を 2 つ並べたもの $0\to C(U\cup U')\to C(U)\oplus C(U')\to C(U\cap U')\to0$ は、制限が $d$ と $\wedge e$ と可換なので複体の短完全列である。$S_U,S_{U'}$ による $S_{U\cup U'}$ の被覆の Mayer–Vietoris 短完全列とあわせると、$T$ は制限と可換なので短完全列の射を与え、長完全列の可換な梯子ができる（長完全列）。$T$ が $U$、$U'$、$U\cap U'$ で同型を誘導すれば、五項補題 により $U\cup U'$ でも同型を誘導する。
第 5 段：帰納法．$\{U_1,\dots,U_N\}$ を束を自明化する有限の良い被覆とし、空でない有限個の交わりの全体を $\mathcal W$ とする。$\mathcal W$ の元はどれも $\mathbb R^m$ と微分同相で、交わりについて閉じている。$\mathcal W$ の高々 $k$ 個の元の和で $T$ が同型を誘導することを $k$ についての帰納法で示す。$k=1$ は第 3 段である。$A=W_1\cup\cdots\cup W_k$、$B=W_{k+1}$ なら $A\cap B=\bigcup_{i\le k}(W_i\cap B)$ は $\mathcal W$ の高々 $k$ 個の元（または空集合）の和なので、帰納法の仮定と第 4 段から $A\cup B$ で成り立つ。$M=U_1\cup\cdots\cup U_N$ に当てはめればよい。$\square$

$\delta=0$ なので長完全列が短完全列に分かれ、実ベクトル空間の短完全列は分裂する。$\square$

対 $(E,E_0)$ の長完全列 $\cdots\to H^j(E,E_0)\xrightarrow{\rho}H^j(E)\to H^j(E_0)\xrightarrow{\partial}H^{j+1}(E,E_0)\to\cdots$（対の長完全列）で、Thom 類 $u\in H^n(E,E_0)$ との積 $y\mapsto y\smile u$ が同型 $H^{j-n}(E)\cong H^j(E,E_0)$ であること（Thom 同型。MS74 Theorem 9.1、p. 97。この記事では証明しない）と、$\pi^*\colon H^\bullet(B)\cong H^\bullet(E)$（$\pi$ はホモトピー同値）を使って $H^j(E,E_0)$ と $H^j(E)$ を $H^{j-n}(B)$ と $H^j(B)$ に置き換える。置き換えた最初の写像は $x\mapsto\rho(\pi^*x\smile u)=\pi^*x\smile\rho(u)$ を $\pi^*$ で戻したもので、$\rho(u)=u|_E=\pi^*e$（Euler類 の定義「Euler 類と Euler 数」）だから $x\smile e$ である。2 つ目は $H^j(B)\xrightarrow{\pi^*}H^j(E)\to H^j(E_0)$ で、$\pi\circ(E_0\hookrightarrow E)=\pi_0$ から $\pi_0^*$ である。同型で置き換えても完全性は保たれる。$\square$